X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Механика космических тросовых вращающихся систем
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение в проблему и анализ литературы
В настоящее время космическим технологиям и технологиям деятельности в космической среде уделяется повышенное внимание [1, с.462]. Созданные почти полвека назад космические системы и аппараты доказали свою надёжность, но постепенно подходят к пределу своих возможностей. Построение новых космических систем с учётом законов орбитального движения изучено в книгах по механике космического полёта [2,3]. Однако эти книги в основном рассматривают традиционные космические аппараты.
В Ракетно-космической корпорации «Энергия» им. С.П.Королёва уже много лет изучают новые принципы построения космических систем, в частности тросовых. В работе В.Г.Осипова и Н.Л. Шошунова содержится исторический анализ развития тросовых космических систем и перспективы их применения [4].
Об актуальности тросовых космических систем для экономики свидетельствуют многочисленные патенты на способы и устройства по этой перспективной тематике [5,6].
В этой исследовательской работе на обсуждение выносится вопрос о принципиально новых тросовых космических системах – вращающихся. В земных условиях тросовая система, как правило, считается не рациональной с позиции строительных конструкций, так как по сути представляет собой откос с повышенной силой реакции, то есть силой натяжения троса, даже при небольшой активной нагрузке. Задача расчёта нагрузки в простейших тросовых системах решается в школьном курсе физики в разделе «Статика» [7]. Расчётные задачи на исследование тросовых систем решают в курсе теоретической механики [8]. Новизной и отличительной особенностью этой работы является изучение вращающихся тросовых систем с целью их дальнейшего применения в практике освоения и использования космического пространства. Даже первые оценочные расчёты показали, что в космосе вращающиеся тросовые системы по нагрузке ведут себя принципиально иначе по сравнению с привычными для нас земными условиями.
Формулировка научно-технической задачи
Идея изучения тросовых космических систем появилась после решения школьной задачи из книги А.П.Рымкевича [7]. Эту же задачу решают студенты ВУЗов в курсе «Теоретическая механика». Она приводится в книге И.В.Мещерского в разных изданиях с не существенными различиями в числовых данных, например: «Уличный фонарь подвешен в точке Bк середине троса ABC, прикреплённого концами к крюкам А и С, находящимися на одной горизонтали. Определить натяжения Т1и Т2 в частях троса АВ и ВС, если вес фонаря равен 150 Н, длина всего троса ABC равна 20 м и отклонение точки его подвеса от горизонтали BD=0,1 м. Весом троса пренебречь. Ответ: Т1=Т2=7,5 кН». На рис.1. показана выписка этой задачи из книги И.В.Мещерского.
Рис.1. Известная задача – повод для исследования
Эта задача решается методами статики. Механическая система представляет собой плоскую систему сходящихся сил. Схождение активной силы и двух векторов сил натяжения троса происходит в узловую точку подвеса груза. Для решения достаточно применить условие равновесия плоской системы сходящихся сил, или, что то же самое, условие равновесия узловой точки. На рис.2 показана расчётная схема для решения задачи и результат.
Рис.2. Решение задачи и анализ результатов
Интересной особенностью этой задачи являются два предельных случая. Во-первых, если угол отклонения нити от горизонтали стремится к нулю, сила натяжения троса становится бесконечно большой величиной, поэтому трос оборвётся. Во-вторых, если угол отклонения троса от горизонтали достигнет максимального значения, то есть станет прямым, то сила натяжения троса, напротив, станет минимальной, равной половине веса подвешенного груза. Эта особенность подтвердила известное в строительстве правило: с позиции нагрузки откос – это очень нерациональная конструкция. Например, в решённой задаче величина активной силы равна 150 Н, а величина пассивных сил, то есть сил натяжения правой и левой частей троса, составила при этом 7500 Н, то есть в 50 раз превысила активную нагрузку на систему.
Решение этой школьной задачи позволило сразу же сформулировать гипотезу: чем меньше угол отклонения нити от ненагруженной конфигурации, тем больше сила натяжения. Задача сразу же стала исследовательской, потому что в случае вращающихся тросовых космических систем всё оказалось наоборот.
Для доказательства нерациональности откоса как строительной конструкции в земных условиях была решена ещё одна задача, но теперь уже для расчёта нагрузки стержней в простейшей ферме. Условие, расчётная схема и результаты решения задачи показаны на рис.3.
Рис.3. Расчетная схема простейшей фермы с откосом
Горизонтальный стержень АС и откос АВ соединены шарнирно друг с другом в точке А, а другими концами также шарнирно прикреплены к вертикальной стене в точках В и С. Откос составляет с горизонтальным стержнем угол . К узловой точке А подвешен груз весом F=mg. Требуется определить усилия в стержнях АС и АВ фермы. Эта механическая система тоже приводится к плоской системе сходящихся сил. Силы сходятся в узловой точке А. Для решения задачи достаточно применить условие плоской системы сходящихся сил. В результате получаются следующие усилия в стержнях АВ и АС фермы: (растяжение); (сжатие). С позиции нагрузки система из стержней с откосом ведёт себя точно так же, как и провисшая от нагрузки нить. При уменьшении угла наклона откоса усилия в стержнях стремятся к бесконечным значениям. При больших усилиях горизонтальный стержень АС разорвётся, а откос АВ сомнётся, но скорее всего, сначала откос потеряет устойчивость из-за силы сжатия. Второй пример с фермой тоже показал, что откосы с позиции нагрузки в строительных конструкциях не рациональны. Однако при небольших внешних нагрузках такие конфигурации часто применяют на практике. Например, известные всем старинные фонари Санкт-Петербурга часто висят на откосах, потому что масса системы маленькая. Принципиально другая ситуация наблюдается во вращающихся космических тросовых системах. В работе изучаются именно космические системы, находящиеся на орбите в невесомости, чтобы учитывать только инерционные силы от их вращения. Формулировка задачи для вращающихся тросовых космических систем сводится к определению силы натяжении троса для различных конфигураций.
Симметричная тросовая система из двух одинаковых грузов
Первым примером вращающейся тросовой космической системы являются два груза, соединённые абсолютно гибким невесомым тросом. Схема такой конструкции показана на рис.4.
Рис.4. Тросовая вращающаяся система с двумя одинаковыми грузами
Исходными данными для определения силы натяжения троса в такой системе служит набор следующих величин:
- общая масса системы, то есть одинаковых два груза с массами ;
- радиус вращения, то есть общая длина троса равна ;
- угловая скорость вращения системы вокруг центра масс О.
При вращении грузов вокруг центра масс О системы у каждого будет центростремительное (нормальное) ускорение величиной , направленное к центру вращения. По второму закону Ньютона это ускорение является следствием силы, действующей на груз, а этой силой может быть только сила натяжения троса, так как других тел в механической системе нет. Следовательно, сила натяжения троса, связывающего два груза, равна . В следующих задачах будет определено напряжение тросов системы, состоящей из большего числа грузов. При этом сначала грузы будут предполагаться одинаковыми, но такими, чтобы общая масса системы осталась прежней. Радиус вращения и угловая скорость вращения тоже остаются прежними для последующего сравнительного анализа полученных результатов.
Симметричная тросовая система из трёх одинаковых грузов
В такой системе угловая скорость вращения и радиус вращения грузов предполагаются прежними, каждый груз имеет массу и располагается в углах правильного треугольника. Требуется определить силу натяжения каждого из трёх соединительных тросов. Так как система симметричная, то величины сил натяжения трёх тросов будут одинаковыми. Величина каждой силы натяжения обозначена символами , где индекс обозначает количество вращающихся грузов, или число углов (сторон) правильного многоугольника. Схема симметричной вращающейся тросовой системы с тремя грузами показана на рис.5.
Рис.5. Симметричная тросовая вращающаяся система с тремя одинаковыми грузами
Методическая схема решения задачи остаётся прежней, основанной на втором законе Ньютона. Для каждого груза массой величина центростремительного (нормального) ускорения равна . Это ускорение создаётся двумя одинаковыми проекциями двух одинаковых сил натяжения тросов, прикреплённых к рассматриваемому грузу. Так как грузы находятся в вершинах правильного треугольника, то в проекции на нормаль второй закон Ньютона записывается в виде уравнения . Из этого уравнения выражаем величину силы натяжения каждого из трёх соединительных тросов . Задача решена.
Сравнение полученного результата с предыдущим случаем показывает, что величина силы натяжения тросов при уменьшении угла их «провисания» уменьшается, а не увеличивается, как это наблюдалось для строительных откосов или растяжек. Такое сравнение определило необходимость дальнейшего изучения этого интересного и важного для практики факта.
Симметричная тросовая система из четырёх одинаковых грузов
В такой системе угловая скорость вращения и радиус вращения грузов предполагаются прежними, каждый груз имеет массу и располагается в углах правильного четырёхугольника, то есть квадрата. Требуется определить силу натяжения каждого из четырёх соединительных тросов. Так как система симметричная, то величины сил натяжения четырёх тросов будут одинаковыми. Величина каждой силы натяжения обозначена символами , где индекс, как и в предыдущих двух задачах, обозначает количество вращающихся грузов, или число углов (сторон) правильного многоугольника. Схема симметричной вращающейся тросовой системы с четырьмя грузами показана на рис.6.
Рис.6. Симметричная тросовая вращающаяся система с четырьмя одинаковыми грузами
Методическая схема решения задачи остаётся прежней, основанной на втором законе Ньютона. Для каждого груза массой величина центростремительного (нормального) ускорения равна . Это ускорение создаётся двумя одинаковыми проекциями двух одинаковых сил натяжения тросов, прикреплённых к рассматриваемому грузу. Так как грузы находятся в вершинах правильного треугольника, то в проекции на нормаль второй закон Ньютона записывается в виде уравнения . Из этого уравнения выражаем величину силы натяжения каждого из четырёх соединительных тросов . Задача решена. Сравнение полученного результата с предыдущим случаем показывает, что величина силы натяжения тросов при уменьшении угла их «провисания» стала ещё меньше.
Симметричная тросовая система из произвольного количества n одинаковых грузов
В такой системе угловая скорость вращения и радиус вращения грузов предполагаются прежними, каждый груз имеет массу и располагается в углах правильного n-угольника. Требуется определить силу натяжения каждого из n соединительных тросов. Так как система симметричная, то величины сил натяжения всех n тросов будут одинаковыми. Величина каждой силы натяжения обозначена символами , где индекс, как и в предыдущих трёх задачах, обозначает количество вращающихся грузов, или число углов (сторон) правильного многоугольника. Схема симметричной вращающейся тросовой системы с четырьмя грузами показана на рис.7.
Рис.7. Симметричная тросовая вращающаяся система с произвольным количеством n одинаковых грузов
Методическая схема решения задачи остаётся прежней, основанной на втором законе Ньютона. Для каждого груза массой величина центростремительного (нормального) ускорения равна . Это ускорение создаётся двумя одинаковыми проекциями двух одинаковых сил натяжения тросов, прикреплённых к рассматриваемому грузу. Так как грузы находятся в вершинах правильного треугольника, то в проекции на нормаль второй закон Ньютона записывается в виде уравнения . Из этого уравнения выражаем величину силы натяжения каждого из n соединительных тросов . Задача решена. С увеличением количества n грузов, то есть числа углов и сторон правильного n-угольника, величина каждой из одинаковых сил натяжения одинаковых тросов уменьшается. После такого индукционного метода исследования закономерности уменьшения силы натяжения тросов появилась задача обобщения полученных результатов. Сначала была сформулирована первая обобщающая задача: определить силу натяжения тросов во вращающейся системе при бесконечном увеличении количества n грузов. Эта задача была решена двумя способами.
Механический метод решения задачи о силе натяжения вращающейся тяжёлой абсолютно гибкой нити
На рис.8 представлена схема решения задачи о силе натяжения тяжёлой вращающейся абсолютно гибкой цепочки.
Рис.8. Механический метод решения задачи о вращающейся цепочке
Методика решения этой задачи следующая. Из тяжёлой вращающейся абсолютно гибкой нити мысленно вырезается бесконечно малая дуга, соответствующая центральному углу . Ось координат выбирается вращающейся вместе с нитью, то есть жёстко связанной с ней и проходящей через середину изучаемой дуги. Общая масса нити равна m, то есть такая же, как во всех предыдущих изученных системах с вращающимися грузами, связанными тросами. Общая масса m нити равномерно распределена по всей окружности, то есть по центральному углу . Тогда выделенная малая дуга нити с центральным углом имеет массу . Так как из вращающегося кольца была вырезана дуга, то на концы этой дуги действует сила натяжения нити. Эта сила одинакова по величине T во всех точках кольца, но направлена всюду по-разному, по касательной к окружности. Векторы сил, действующих на верхний и нижний концы дуги со стороны исключённой из рассмотрения остальной части кольца наклонены на чертеже к вертикали пол углом . При этом оба вектора силы натяжения действуют влево, то есть в сторону исключённой из рассмотрения части кольца. Следовательно, на малую дугу массой dm действует результирующая сила, равная . Эта результирующая сила направлена к центру вращения O кольца. По второму закону Ньютона эта сила приводит к появлению центростремительного (нормального) ускорения . Получаем уравнение движения малой дуги кольца в проекциях на горизонтальную (на чертеже) ось, направленную к центру O вращения кольца, в виде: , или . Из этого уравнения выражаем силу натяжения нити: .
Для дальнейших преобразований надо учесть, что угол - это бесконечно малая величина, то есть . При таком условии можно воспользоваться первым замечательным пределом, или эквивалентностью бесконечно малых величин: ;
Вычисляем предел:
Для силы натяжения тяжёлой вращающейся абсолютно гибкой нити получена та же самая формула, что и при первом способе решения задачи, выполненном математическим предельным переходом. Совпадение результата решения одной и той же задачи, выполненного двумя различными способами, доказывает правильность выполненных математических преобразований.
В итоге получили уже известную формулу для силы натяжения тяжёлой абсолютно гибкой вращающейся нити: .
Заключение: сравнительный анализ нагрузки тросовых систем
Первая часть исследовательской работы была посвящена анализу нагрузки различных вариантов вращающихся симметрических тросовых систем с различным количеством грузов, о двух до бесконечности, то есть до распределённой массы системы. В табл.1 обобщены полученные результаты для сил натяжения соединительных тросов.
Таблица 1.
Разгрузка вращающихся тросовых систем при распределении масс
-
Число грузов
n
Угол между смежными сторонами
многоугольника
Угол откоса
Относительная нагрузка в долях
2
00
900
1
3
600
600
4
900
450
5
1080
360
6
1200
300
1800
00
Нагрузка на соединительные тросы уменьшается при увеличении количества грузов во вращающейся системе. Самая большая сила натяжения будет в системе из двух вращающихся грузов, поэтому другие тросовые системы сравнивались с указанной. Например, если силу натяжения троса во вращающейся системе с двумя грузами принять за 1, то в системе с тремя грузами сила натяжения тросов уменьшится и составит приблизительно 38,5% от первоначальной конфигурации. Но затем с увеличением количества грузов уменьшение нагрузки происходит не очень быстро. При шести вращающихся грузах сила натяжения каждого из шести тросов уменьшится ровно в три раза по сравнению с системой из двух грузов. Самая маленькая сила натяжения троса, приблизительно 31,8% от исходного варианта, будут при бесконечном количестве грузов, то есть при равномерно распределённой массе во вращающемся тяжёлом тросе.
Первым важным результатом этой части исследовательской работы стало доказательство факта уменьшения силы натяжения тросов при уменьшении угла откоса, приведённого в третьем столбце табл.1. Действительно, при увеличении количества грузов два соседних троса «распрямляются, уменьшая угол «провисания» между смежными сторонами многоугольника, если пользоваться аналогией с откосами в строительных конструкциях. В земных условиях наблюдается противоположная закономерность, то есть увеличение нагрузки на откос с уменьшением установочного угла.
Второй важный результат этой части исследования заключается в количественной оценке сил натяжения тросов в симметрической вращающейся конфигурации. Переход даже к трём грузам в системе существенно, более чем на 60%, уменьшает растягивающую нагрузку на тросы. Шесть грузов снизят силу растяжения тросов ровно в три раза. Далее увеличивать количество вращающихся грузов с позиции уменьшения силы натяжения тросов вряд ли целесообразно, потому что наблюдается быстрое приближение к пределу, то есть к самой маленькой силе натяжения троса в случае равномерно распределённой массы. Этот предел равен приблизительно 31,8% по сравнению с исходным эталонным вариантом системы из двух вращающихся грузов.
Третий важный результат заключается в содержательной формулировке задачи для исследования несимметричных геометрических тросовых систем с различными грузами. Этому вопросу посвящена вторая часть исследовательской работы и следующие разделы отчёта.
Список использованных источников и литературы
1. Меньшиков В.А., Перминов А.Н., Урлич Ю.М. Глобальные проблемы человечества и космос. – М.: «Изд. МАКД», 2010. – 570 с.
2. Акимов А., Гриценко А., Степанов А., Чазов В. Особенности построения и эксплуатации орбитальных группировок систем спутниковой связи / Спутниковая связь и вещание, 2016. – С.72-87.
3. Дубошин Г.Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1976 - 864 с.
4. Осипов В.Г., Шошунов Н.Л. Космические тросовые системы: история и перспективы / Земля и Вселенная. Космонавтика. – Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С.П.Королёва. - №4, 1998.
5. Способ транспортировки межорбитальных грузов. - Патент (RU) 2404091. – Приоритет 23.06.2009 г. – Публ. 20.11.2010 г. Авторы Малышев Г.В. (RU), Егоров Ю.Г. (RU), Кульков В.М. (RU).
6. Способ развёртывания космической тросовой системы при доставке спускаемого аппарата с орбитальной станции на Землю: Патент (RU) 2014109512. – Приоритет 12.03.2014 г. – Публ. 20.09.2015 г. Авторы Щербаков В.И. (RU), Софьин А.П. (RU).
7. Рымкевич А.П. Физика. 10-11 классы. Задачник. Учебное пособие. – М.: Дрофа, 2020. – 188 с. – ISBN 978-5-358-23138-2
8. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1981. – 480 с.
Приложение: результаты проверки статьи в двух системах «Антиплагиат» с показателями более 95%
Информационные системы TEXT.RU и ANTIPLAGIAT.RU