ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ ЖИДКОСТЕЙ, КАК ОДИН ИЗ ВИДОВ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка-2020

ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ ЖИДКОСТЕЙ, КАК ОДИН ИЗ ВИДОВ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Хван П.Ю. 1
1МАОУ гимназия №16
Ушакова Л.В. 1
1МАОУ гимназия №16
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Во время участия в математических олимпиадах я обратила внимание на очень интересные задачи, которые в школьной программе подробно не изучаются и встречаются достаточно редко. Практически ни один сборник математических задач без них не обходится. Это задачи, в которых с помощью сосудов определенных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Самый простой способ их решения – перебор возможных вариантов. Но в нем сложно выделить какой-либо общий подход к решению других задач подобного вида. Поэтому я решила изучить данную тему.

Объект исследования – задачи на переливание жидкостей как вид логических заданий.

Предмет исследования – способы решения задач на переливание жидкостей.

Цель моей исследовательской работы – изучение видов логических задач на переливание жидкостей, алгоритмов их решения и применение полученных знаний при создании сборников задач.

Задачи:

изучить историю возникновения заданий на переливание жидкостей;

рассмотреть типы задач;

изучить алгоритмы решения таких задач;

научиться применять алгоритмы решения на практике;

сравнить методы решения между собой по выбранным критериям и сделать выводы об их эффективности;

разработать сборник методических рекомендаций и электронный сборник по решению задач на переливание жидкостей различными способами.

Актуальность работы состоит в том, что задачи имеют практическое значение, развивают логическое мышление, заставляют задумываться и подходить к решению проблемы с разных сторон, учат выбирать наиболее рациональный способ решения.

Гипотеза – можно допустить, что существует несколько способов решения логических задач на переливание жидкостей.

Глава I. Теоретическая часть

История возникновения задач на переливание жидкостей

Сложно определить, где и когда впервые появились задания на переливание жидкостей. Самая известная подобная задача опубликована более семи веков назад в средневековом сочинении, относящемся к XIII в. Она звучит так: «Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

Широко известна еще одна задача: «Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в 6 пинт; у него два сосуда: один в 8 пинт, а другой в 5 пинт. Спрашивается, каким образом налить 6 пинт в сосуд восьми пинт?». Эта задача получила имя знаменитого французского ученого, физика и математика Симеона Дени Пуассона (1781-1840гг.). Считается, что именно она сыграла определяющую роль в выборе профессии великого ученого. Согласно легенде, однажды знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час. Тем самым были раскрыты его выдающиеся математические способности и определен выбор будущей профессии.

Характеристика задач на переливание и алгоритм их решения

Задачи на переливание – один из видов старинных математических задач. Суть их состоит в том, что, имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-то ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. В решении необходимо указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи.

Существует два типа задач на переливание:

задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника (озеро, бесконечно большая бочка, водопровод). Можно наполнять сосуды сколь угодно большое количество раз, то есть количество жидкости не ограничено. При этом можно безбоязненно выливать воду из сосудов.

задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости (чаще всего это какая-то конкретная жидкость – молоко, сок и т.д.) с помощью нескольких меньших по объему емкостей. Жидкость можно только переливать из одной емкости в другую, проливать ее нельзя (это условие оговаривается в задаче). Если же мы можем выливать жидкость, то в условиях задачи обычно присутствует какой-либо персонаж, который может пить данный тип жидкости: Кот Баюн, сосед Гриша и т.п.

В задачах на переливание разрешены следующие действия:

- заполнение жидкостью одного сосуда до краев;

- переливание жидкости в другой сосуд или выливание.

Необходимо учитывать следующие замечания:

- разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;

- разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;

- разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

Каждую задачу на переливание можно решать двумя способами:

начать переливания с большего сосуда;

начать переливания с меньшего сосуда.

Выбор наиболее рационального способа решения зависит от условий задачи и осуществляется в каждом конкретном случае индивидуально.

При решении задач первого типа можно применить следующий алгоритм:

наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника;

перелить из большей емкости в меньшую;

вылить жидкость из меньшей емкости;

повторить действия 2-3 до тех пор, пока большая емкость не станет пустой;

повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

При решении задач второго типа используется такой алгоритм:

из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема;

перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость;

перелить жидкость из самой маленькой в самую большую емкость;

повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой;

если емкость промежуточного объема опустела, то повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

Методы решения задач на переливание жидкостей

Существует несколько способов решения задач на переливание жидкостей: метод рассуждений, табличный метод, метод бильярдного шара, метод координатной плоскости, метод блок-схем. Рассмотрим каждый из методов.

Метод рассуждений

Этим способом решаются самые простые логические задачи. Существуют даже алгоритмы построения рассуждений.

В задачах с неограниченным количеством жидкости используется следующий алгоритм решения:

1. Из источника (озеро, водопровод и т.п.) наполняется больший сосуд.

2. Из большего сосуда жидкость переливается в меньший по объему.

3. Меньший сосуд опорожняется.

4. Содержимое большего сосуда переливаем в меньший

5. Действия 1-4 повторяются до тех пор, пока не будет получено требуемое в условии задачи количество жидкости.

В задачах с ограниченным количеством жидкости применимы два алгоритма решения. По сути, второй алгоритм соответствует действиям первого, но проведенным в обратном порядке.

Первый алгоритм:

1. Из большего сосуда наполняется меньший сосуд.

2. Из меньшего сосуда жидкость сливается в сосуд промежуточного объема.

3. Эти действия следует повторять до полного наполнения сосуда промежуточного объема. После чего жидкость из наполненного среднего сосуда сливается в самый большой.

4. Из малого переливаем в средний.

5. Процедура повторяется несколько раз до тех пор, пока не будет получено решение.

Второй алгоритм:

1. Из большего сосуда наполняется сосуд промежуточного объема.

2. Из сосуда промежуточного объема жидкость переливается в самый маленький сосуд.

3. Из наименьшего сосуда жидкость переливают в наибольший.

4. Два последних действия повторяются до тех пор, пока сосуд промежуточного объема не станет пустым.

5. Если сосуд промежуточного объема опустел, то он наполняется жидкостью из самого большого сосуда. Действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено необходимое в условии задачи количество жидкости. Решение задачи можно получить как по первому, так и по второму алгоритму. Выбирается вариант с наименьшим количеством ходов.

Можно заметить, что метод рассуждений достаточно объемный и не является наглядным.

Метод таблицы

Метод таблицы используется при решении текстовых логических задач и заключается в построении таблиц. Таблицы позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, а также помогают делать правильные логические выводы в процессе решения задачи.

При решении задач на переливание методом таблиц рассуждения записываются в таблицу по ходу решения. Такие задачи можно решить двумя способами, поэтому и таблиц может быть две.

Таблица 1

 

1 шаг

2 шаг

3 шаг

4 шаг

5 шаг

6 шаг

7 шаг

8 шаг

Банка 5л

0

5

0

4

4

5

0

5

Ведро 9л

9

4

4

0

9

8

8

3

Такой способ решения более компактный и наглядный в сравнении с методом рассуждений.

Метод блок-схем

Использование блок-схем при решении задач на переливание позволяет представить рассуждения более систематизированными и наглядными. Для этого необходимо сначала выделить операции (команды) в виде блоков, а затем установить их последовательность, которую оформляют в виде схемы. Фактически блок-схема является программой, выполнение которой приводит к решению задачи. При этом необходимо отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы, для чего заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Составим блок-схему для решения задачи 1.

Операции, возможные при решении:

НВ – наполнить ведро;

НБ – наполнить банку;

ОВ – опорожнить ведро;

ОБ – опорожнить банку;

В→Б – перелить из ведра в банку, пока ведро не опустеет или банка не наполнится;

Б→В – перелить из банки в ведро, пока банка не опустеет или ведро не наполнится;

В=0? – посмотреть, пустое ли ведро;

Б=5? – посмотреть, наполнена ли банка.

В зависимости от результата осмотра переход к следующей команде осуществляется по одному из двух ключей – «да» или «нет». В программировании такие команды называют командами «условного перехода» и изображают в блок-схемах в виде ромба с двумя ключами –выходами.

Последовательность команд изобразим в виде блок-схемы (рис. 1).

Рис. 1 Блок-схема

Метод бильярдного шара

Метод бильярдного шара (или метод математического бильярда) широко применяется при решении задач на переливание жидкостей. Представим горизонтальный бильярдный стол в виде параллелограмма без луз. При этом по нему без трения движется точечный шар, упруго отражаясь от бортов. Проходя по линиям параллелограмма по нанесенной сетке правильных треугольников, он попадает во все точки на сторонах параллелограмма (за исключением точки, противоположной начальной). Горизонтальная и вертикальная стороны параллелограмма по длине означают вместимость данных двух пустых сосудов. Каждая точка на стороне параллелограмма, в которой происходит соударение шара и борта, имеет две координаты, что характеризует количество жидкости, налитое в каждый сосуд.

Применим все вышесказанное к задаче 1. Чертим параллелограмм со сторонами 5 отрезков по вертикали и 9 отрезков по горизонтали, что означает вместимость банки и ведра в литрах соответственно (рис. 2).

Рис. 2 Модель бильярдного стола

Представим, что шар находится в левой нижней точке 0. Это означает, что оба сосуда – и ведро, и банка – пусты. Перемещение вдоль нижней стороны будет соответствовать наполнению сосуда емкостью 9 л, т.е. ведра. В точке 9 ведро будет наполнено до краев, а банка останется пустой. Аналогично положение воображаемого шара в точке 5 по вертикальной стороне параллелограмма означает то, что полностью наполнена банка, а ведро пустое.

При наполнении ведра воображаемый шар перемещается вдоль нижней стороны в точку 9, пока не достигнет правой стороны параллелограмма, от которой упруго отразится и покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 5 по вертикали. Это означает, что в ведре осталось 4 л, а 5 л перелили в банку.

Проследив дальнейший путь шара и записав все этапы его движения в таблицу 4 до тех пор, пока он не попадет в точку 3 какой-либо стороны параллелограмма, можно получить ответ на вопрос задачи и узнать, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 3 л воды. Количество переливаний соответствует числу ударов шара о стороны параллелограмма. На рис. 3 схематично изображены переливания, которые необходимо произвести, чтобы отмерить 3 л воды.

Рис. 3 Решение задачи 1 методом бильярдного шара

Таблица 4

 

1 удар

2 удар

3 удар

4 удар

5 удар

6 удар

7 удар

8 удар

Б

0

5

0

4

4

5

0

5

В

9

4

4

0

9

8

8

3

Аналогично решают задачи на переливание сосудов конечного объема (второго типа). За стороны параллелограмма обозначают объемы меньших сосудов, а вместимость наибольшего сосуда графически представляют в виде большей диагонали, разделенной на одинаковые отрезки, количество которых равно объему сосуда.

Задача 2. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 13 л краски и хочет отлить из этого количества 6 л, но у него нет сосуда с такой вместимостью. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

Решение задачи 2 представлено на рис. 4, где стороны параллелограмма – это меньшие сосуды вместимостью 5 л и 8 л, а главная диагональ разделена на 13 отрезков и обозначает вместимость наибольшего сосуда 13 л. Каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение шара и борта, полностью характеризует количество краски в каждом из трех сосудов.

 

Рис. 4 Решение задачи 2 методом бильярдного шара Решение задачи 1 методом бильярдного шара

Пусть шар находится в левом нижнем углу. Это означает, что емкости 5 и 8 л пусты, сосуд 13 л полон. Перемещение шара вдоль нижней стороны параллелограмма будет соответствовать наполнению восьмилитрового сосуда и одновременному опустошению наибольшего. В точке 8 на нижней стороне параллелограмма восьмилитровый сосуд полон, пятилитровый сосуд пуст, а в наибольшем сосуде осталось 5 л. Здесь шар упруго отразится от борта, покатится влево и вверх и ударится о верхний борт в точке, координаты которой 3 по горизонтали и 5 по вертикали. Это означает, что краской из восьмилитрового сосуда полностью наполнили пятилитровый сосуд. При этом в восьмилитровом сосуде осталось 3 л краски, а в наибольшем (13-литровом) сосуде количество жидкости осталось неизменным – 5 л.

Проследив дальнейший путь шара до точки 6 по горизонтали, которая будет соответствовать наполнению восьмилитрового сосуда до требуемого в условии задачи количества краски в 6 л, и записывая все этапы его движения в таблицу 5, мы решим задачу. Количество ударов шара о борт будет соответствовать количеству переливаний для выполнения условия.

Таблица 5

 

1 удар

2 удар

3 удар

4 удар

5 удар

6 удар

Сосуд 13 л

5

5

10

10

2

2

Сосуд 8 л

8

3

3

0

8

6

Сосуд 5 л

0

5

0

3

3

5

Способ бильярдного шара позволяет быстро оценить, все ли объемы можно получить, т.е. во всех ли точках бильярдного стола мы сможем оказаться или же получение каких-то объемов невозможно.

Однако для решения задач методом бильярдного шара есть ограничения. Если величины объемов двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. их значения являются взаимно простыми числами), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда. Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, вы сумеете отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров.

Такая процедура невозможна, если объём большего сосуда меньше суммы объёмов двух других. Если же объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель, то цикл переливаний будет одним и тем же, вследствие чего отмерить необходимое количество жидкости не получится (рис. 5).

 

3

2

1

0

0 1 2 3 4 5 6

 

0 1 2 3 4 5 6

 

Рис. 5 Пример цикла переливаний

1.3.5. Метод координатной плоскости

Существует еще один способ решения задач на переливание жидкостей. Это геометрический метод, предполагающий использование координатной плоскости.

Для решения задач необходимо построить первую четверть координатной плоскости xOy. На оси Ох и Оу отмечают количество жидкости в сосудах. Последовательность переливаний будет представлена в виде ломаной линии. При этом если линия параллельная оси координат, то это означает, что объем жидкости в соответствующем сосуде не изменяется. Если линия проходит по диагонали, значит один сосуд наполняется, а другой опустошается, т.е. жидкость переливается из одного сосуда в другой.

Разберем решение задачи 1. Как, имея девятилитровое ведро и пятилитровую банку, набрать из реки ровно 3 литра воды?

На оси Ох будем откладывать количество жидкости в ведре, на оси Оу – количество жидкости в банке. Если ведро полное, то точка будет находиться на отрезке ЕН, т.к. х=9, если банка полная, то точка будет находиться на отрезке СН, т.к. у=5. Начало ломаной линии будет находиться в точке А (0;0). Конец ломаной должен находиться в точке с координатами х=3 или у=3, т.к. по условию задачи не сказано, в каком из сосудов должен находиться необходимый объем жидкости.

Когда мы наполним ведро водой, вершина ломаной переместится в точку Е (9;0). Теперь перельем воду в банку, при этом вершина переместится в точку с координатами (4;5), а линия ломаной пройдет по диагонали влево и вверх. Количество жидкости в сосудах будет следующим – 4 л в ведре и 5 л в банке. При выливании воды из банки линия ломаной будет параллельна оси Оу и направлена вниз к точке с координатами (4;0) Последовательность переливаний в виде ломаной линии представлена на рис. 6.

 

у

6

5

4

3

2

1

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х

Рис. 6 Решение задачи 1 методом координатной плоскости

Рассмотрим решение задачи с ограниченным количеством жидкости.

Задача 3. Как быть, если полный 16-ведерный бочонок кваса нужно разлить поровну в пустые – 11-ведерный и 6-ведерный бочонки? Построим координатную плоскость. На оси Ох будем отмечать количество кваса в 11-ведерном бочонке, а на оси Оу – в 6-ведерном, по диагонали – количество кваса в 16-ведерном бочонке.

Начало ломаной находится в точке О (0;0), поскольку меньшие бидоны пусты. Так как квас нужно разделить пополам (т.е. по 8 л), а объем меньшего бочонка 6 л, то единственной конечной точкой ломаной может быть точка, с координатами (8;0).

Если 11-ведерный бочонок полон, то точка ломаной должна находиться на отрезке СН (х=11), если полон 6-ведерный бочонок, то вершина ломаной расположена на отрезке ЕМ (у=6).

П рименяя алгоритм решения для задач второго типа, набираем квас в средний бочонок, переливаем в наименьший до тех пор, пока средний не окажется пустым, затем его снова набираем из наибольшего и продолжаем эти действия, пока в нужном бочонке не окажется 8 л кваса. При этом наименьшую емкость при наполнении опорожняем в наибольший бочонок. Графически ломаная представлена на рис. 7.

Рис. 7 Решение задачи с ограниченным количеством жидкости

Для выполнения поставленной задачи необходимо выполнить 19 переливаний (таблица 6).

Таблица 6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

16в

16

5

5

11

11

0

0

6

6

12

12

1

1

7

7

13

13

2

2

8

11в

0

11

5

5

0

11

10

10

4

4

0

11

9

9

3

3

0

11

8

8

0

0

6

0

5

5

6

0

6

0

4

4

6

0

6

0

3

3

6

0

Рис. 8 Решение задачи с ограниченным количеством жидкости

Однако если начать действия с наполнения обоих сосудов, то задачу можно решить за меньшее количество переливаний. Наполним сначала меньший бидон, затем остаток из большего бидона выльем в средний, после чего действия продолжим в соответствии с алгоритмом. В результате этого к решению задачи мы придем спустя 15 переливаний (рис. 8, таблица 7)

Таблица 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16в

16

10

0

6

6

12

12

1

1

7

7

13

13

2

2

8

11в

0

0

10

10

4

4

0

11

9

9

3

3

0

11

8

8

0

6

6

0

6

0

4

4

6

0

6

0

3

3

6

0

Метод координатной плоскости также является более наглядным способом решения задач в отличие методов рассуждения и табличного, с его помощью можно намного быстрее и легче решить сложные задания, требующие большого количества действий.

Глава II. Практическая часть

Создание электронного сборника задач на переливание жидкостей

Результатом моей исследовательской работы стала разработка методических рекомендаций по решению задач на переливание и создание электронного сборника задач. Эти материалы помогут тем, кто хочет научиться решать задачи на переливания или отработать навыки. В них рассматриваются основные способы решения задач, имеются методические рекомендации.

В сборнике представлены самые простейшие задачи: задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух дополнительных пустых сосудов за наименьшее число переливаний, задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов и подборка задач на отработку навыков.

Электронный сборник задач создан в стандартном приложении Microsoft Office Power Point 2007. Запуск, управление совершаются как в стандартной презентации данного приложения. Задачи для электронного сборника были подобраны из следующих сборников задач: [1,3,8,9]. Рассмотрим содержание сборника (рис. 9-12)

Рис. 9 Главное окно электронного сборника задач

На главном окне представлено название электронного сборника задач. Чтобы продолжить работу со сборником, необходимо нажать кнопку продолжить.

На данной странице меню учащиеся выбирают необходимый им метод для решения задач, например «Метод блок-схем».

Рис. 10 Меню электронного сборника задач

Для того, что бы перейти к решению задач, учащимся необходимо ознакомиться с теоретическим материалом. Для тех, кто хорошо владеет теорией, предлагается сразу приступить к решению задач.

Рис. 11 Алгоритм решения задач методом рассуждений

Для каждого метода решения представлен соответствующий алгоритм или пояснение для решения задач. Если в процессе изучения учащиеся плохо усваивают теоретический материал, они могут перейти на страницу с полным примером и пояснениями к решению задач.

Рис. 12 Пример решения задачи

При создании электронного сборника были рассмотрены основные методы и приемы решения задач на переливание. В работе подробно рассмотрены решения одинаковых задач различными методами. Приведены модели таких задач, условия разрешимости и алгоритмы решения с помощью рассматриваемой модели.

Методические рекомендации будут полезны ученикам, которые желают расширить и углубить свои знания по математике. Так же может быть использованы учителями, как при проведении уроков, так и на факультативных занятиях и во внеурочное время.

Заключение

Для поиска наиболее универсального способа решения задач данного типа, мною были рассмотрены различные методы решения логических задач на переливание.

При изучении методов я установила, что многие задачи имеют как минимум два способа решения, одно из которых всегда более рационально, но для того, чтобы установить, какое, надо рассмотреть разные варианты решений.

Процесс решения задач на переливание был очень увлекательным, крайне полезным для меня. Поэтому результатом моей исследовательской работы стала разработка методических рекомендаций по решению задач на переливание и создание электронного сборника задач.

Анализируя изученные методы решения задач, я пришла к выводу, что метод бильярдного шара самый быстрый по времени, не нужно знать каких-либо алгоритмов рассуждения, траектория движения шара сама показывает решение любой задачи. В этом методе есть общий подход к решению задач на переливание. Метод становиться еще проще, если иметь готовый макет бильярдного стола.

Таким образом, гипотеза о том, что способ рассуждений при решении задач, несколько неудобен, нашла свое подтверждение. Метод бильярда значительно упрощает и упорядочивает решение задач на переливания, полностью подтверждает это. При использовании метода бильярда имеется возможность составления задач о переливаниях различного уровня сложности, рассмотрения возможных подходов к решению задач подобного типа. Кроме этого, исследование различных возможностей, возникающих при использовании сосудов различных объемов, с помощью метода «бильярдного шара» чрезвычайно увлекательно.

Задачи, которые были решены в процессе подготовки сборника очень часто встречаются на олимпиадах по математике. Данная работа будет полезна и поможет тем, кто желает научиться решать задачи на переливание жидкостей или тем, кто захочет отработать уже имеющиеся навыки.

Список использованной литературы

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.. Математика. Районные олимпиады. – М.: Просвещение, 2010;

Башмаков M. И.. Математика в кармане «Кенгуру».– М.: Дрофа, 2011;

Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М.:, «Просвещение», 2008.

Интернет библиотека МЦНМО.-URL: http://www.ilib.mccme.ru;

Керова Г.В. Нестандартные задачи по математике. – М.:ВАКО, 2016.

Кноп К.А. Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам. – М.: МЦНМО, 2011.

Козлова Е. Г.. Сказки и подсказки. Задачи для математического кружка.– М.: МЦНМО, 2010;

Комогоров В. М., Сизова М. Ю. Задачи на переливание: от головоломки к алгоритму // Юный ученый. — 2017. — №3. — С. 4-6.

Фарков А.В.. Готовимся к олимпиадам по математике. Учебно–методическое пособие. – М.: Экзамен, 2006;

http://ru.wikipedia.org/wiki/ (ВИКИПЕДИЯ-современная энциклопедия)

https://moluch.ru/young/archive/12/897/ 

https://mirznanii.com/a/282594/metodicheskie-ukazaniya-reshenie-zadach-na-perelivaniya/

Приложение 1

Задачи на деление жидкости с помощью двух дополнительных пустых сосудов за наименьшее число переливаний

Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым?

У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?

Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт?

Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

Приложение 2

Задачи на получение некоторого количества жидкости из большого сосуда или водоема с помощью двух пустых сосудов

(при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)

Разобравшись с задачами на переливания с помощью сосудов конечного объема, можно перейти ко второму набору задач, в которых вместо одного из сосудов присутствует бесконечный источник или водоем, из которого можно набирать жидкость любое количество раз, а также сливать жидкость в него. Эти задачи можно рассматривать как дополнительные.

Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?

Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

Имеются З-литровая банка сока и 2 пустые банки:1 литровая и 2 литровая. Как разлить сок так, чтобы во всех банках было по 1 литру?

Имеются 4 литровая банка сока и 2 пустые банки:2 и З литровые. Как налить в каждую из пустых банок по 2 литра сока?

Имеются 5 литровая банка сока и 2 пустые банки:2 иЗ литровые. Как, используя только эти банки, оставить в 5 литровой банке 4 литра сока?

Имеются 6 литровая банка сока и 2 пустые банки: 3 и4; литровые. Как налить 1 литр сока в 3 литровую банку?

Имеются 2 сосуда 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из крана 7 л. воды? 23. 23. Как, имея 2 сосуда 5 л и 7 л, налить из крана 6 л воды?

Имеются 2 сосуда 17 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из крана 13 л воды?

Как с помощью семилитрового ведра и трёхлитровой банки налить в кастрюлю 5 л воды?

Как, имея 2 ведра ёмкостью 4 и 9 литров, налить из крана 6 литров воды?

В первый сосуд входит 9 л, во второй-5 л, а в третий-3 л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные 2 пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 л? Как 4 литра?

Бидон ёмкостью в 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона в 7 литровый бидон 5 л молока, используя при этом ещё 1 бидон, ёмкостью 3 л. Как это сделать?

В первый сосуд входит 8 л, и он наполнен водой. Имеются ещё 2 пустых сосуда ёмкостью 5 л и 3 л. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 литр воды?

Имеются 7 литровая банка сока и 2 пустых банки: 3 и 4 литровая. Как налить в 3 литровую 2 л сока?

Имея 2 полных 10 литровых бидона молока и пустые 4 литровую и 5литровую кастрюли, отмерьте по2 литра молока в каждую кастрюлю.

Имеются 2 сосуда 3 и 5 литров. Как с помощью этих сосудов налить из крана 4 л воды?

В бочке находится не менее 13 вёдер бензина. Как отлить из неё 8 вёдер с помощью 9вёдерной и 5вёдерной бочек?

Имеются 3 сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на 2 равные части используя только эти сосуды?

Как отмерить 4 литра воды с помощью сосудов в 3 л и 5 л?

Бочка в 12 л наполнена керосином. Необходимо разлить на 2 равные части, пользуясь при этом бочками в 5 и 9 литров.

В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л бензина, пользуясь сосудами в 9 л и 5 л?

В бочке 18 л бензина. Имеются 2 ведра ёмкостью 7 л, в которые нужно налить по 6 л бензина. Кроме этого есть черпак в 4 л. Как это сделать?

Имеются 3 бочонка ёмкостью 6 л, 3 л и 7л. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 л кваса. Требуется, пользуясь только 3 бочонками разделить квас поровну на 2 части.

Имеются 4 бочки. В первую входит 24 ведра. В начале была наполнена она одна; вторая имеет емкость 13 вёдер, третья 11 вёдер, 4-я - 5 вёдер. Требуется содержимое первой бочки разлить на три равные части так, чтобы первые три бочки содержали по восемь ведер, а четвертая оставалась пустой.

Просмотров работы: 48