X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Определение зависимости числа диагоналей многоугольника от количества его сторон
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Тема: Определение зависимости числа диагоналей многоугольника от числа его сторон.
Объект исследования: многоугольник
Предмет исследования: зависимость количества диагоналей от количества его сторон
Цель исследования: Определить зависимость количества диагоналей от количества сторон многоугольника
Задачи:
1. На основе чертежа посчитать количество диагоналей четырехугольника, пятиугольника,…, десятиугольника.
2. Найти формулы по которым находится количество диагоналей n-угольника.
3. Проверить их правильность для 11- угольника.
Методы:
Эксперимент
Вывод формулы на основе метода математической индукции.
Гипотезы:
1) С увеличением числа сторон увеличивается количество диагоналей. Зная количество диагоналей (n-1) -угольника можно определить количество диагоналей n - угольника
2) У многоугольника из каждой вершины выходит одинаковое количество диагоналей. Есть зависимость числа всех диагоналей многоугольника от количества диагоналей, выходящих из одной вершины.
Теоретическая часть
Мы рассмотрели многоугольники: четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник и десятиугольник. Провели в этих многоугольниках диагонали, подсчитали их количество, и результаты представили в виде таблицы.
|
Количество сторон, n |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Количество диагоналей Кn |
2 |
5 |
9 |
14 |
20 |
27 |
35 |
Заметив, что с увеличением количества сторон, количество диагоналей для каждого последующего многоугольника увеличивается на 3, 4, 5, и т.д.
Исходя из этого можно записать следующие равенства:
К5 = 2 + 3 = К4 + 3;
К6 = 5 + 4 = К5 + 4;
К7 = 9 + 5 = К6 + 5;
К8 = 14 + 6 = К7 + 6;
К9 = 20 + 7 = К8 + 7;
К10= 27 + 5 = К9 + 8.
Переписав эти равенства в виде:
К5 = К5-1 + 5 – 2;
К6 = К6-1 + 6 – 2;
….
К9=К9-1 + 9 – 2.
П олучим общую формулу для определения количества диагоналей n – угольника:
Эта формула является реккурентной и позволяет находить количество диагоналей n-угольника, зная количество диагоналей (n – 1)-угольника. Она неудобна для применения тем, что если мы не знаем количество диагоналей 13-угольника, то не сможем определить количество диагоналей 14-угольника.
Практическая часть
Проверим справедливость этой формулы для 10-угольника. Подставив вместо n число 10. Получим К10=К10-1 + 10 – 2=К9 + 8 =
=27 + 8 = 35. Формула верна.
Проводя диагонали в многоугольниках, мы заметили, что из одной вершины выходит одно и то же число диагоналей.
|
Количество сторон, n |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Количество диагоналей из одной вершины, d |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Из данных приведенных в таблице видно, что количество диагоналей, выходящих из одной вершины на 3 меньше количества сторон, т.е. можно записать d = n – 3.
Кроме того, проводя диагонали последовательно, мы увидели, что в четырехугольнике мы провели 1 диагональ из 1-й вершины и 1 диагональ из второй вершины. В пятиугольнике – 2 диагонали из 1-й вершины, 2 диагонали из 2-й вершины и одну диагональ из 3-й вершины. В шестиугольнике – 3 диагонали из 1-й вершины, 3 диагонали из 2-й вершины, 2 диагонали из 3-й вершины и 1 диагональ из 4-й вершины. Такая закономерность при проведении диагоналей наблюдалась в каждом многоугольнике.
|
n |
Ход построения |
Общее число диагоналей |
|
4 |
1, 1 |
2 |
|
5 |
2, 2, 1 |
5 |
|
6 |
3, 3, 2, 1 |
9 |
|
7 |
4, 4, 3, 2, 1 |
14 |
|
8 |
5, 5, 4, 3, 2, 1 |
20 |
|
9 |
6, 6, 5, 4, 3, 2, 1 |
27 |
|
10 |
7, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 |
35 |
|
… |
… |
… |
|
n |
n-3, n-3, n-2,…,2,1 |
Кn |
Д ля определения количества диагоналей n-угольника применим формулу суммы n первых натуральных чисел:
Т огда, получим:
Вынесем (n-3) за скобки:
Отсюда получаем формулу:
Проверим её истинность для 11-угольника. Применив также реккурентную формулу, выведенную выше.
К11 = К10 + 11 - 2=35 + 9 = 44
К11 = (11-3) · = 4 · 11 = 44
Результаты применения этих формул оказались одинаковыми. Значит можно на основании неполной математической индукции сделать вывод о том, что формулы верны.
Результат исследования
Г ипотезы, выдвинутые вначале исследования, нашли своё подтверждение. Действительно, зная количество диагоналей (n-1)-угольника, можно найти число диагоналей n-угольника, для этого применив реккурентную формулу:
Ч исло диагоналей многоугольника зависит от количества диагоналей выходящих из одной вершины, что доказывает вторая формула:
Список литературы
Л.С. Атанасян. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных школ. Москва, изд. «Просвещение», 2007г. Глава IV. «Векторы».
Н.М. Бескин «Изображения пространственных фигур». Москва, изд. «Наука», 1999г.
Э.Г. Готман. Математика 8,9,10. «Геометрия преобразования». Москва, изд. «Чистые пруды», 2007г.
8