Площадь многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге

X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка-2020

Площадь многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге

Антонова П.В. 1
1МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области»
Лебах М.Г. 1
1МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

На уроке математики нам было предложено решить задачу: «Яблоневый сад имеет форму прямоугольника со сторонами 800 м и 400 м. Найдите сколько в нём растет яблонь, если на каждую яблоню в среднем приходится 16 м2?» Формулу площади прямоугольника мы изучали и в начальной школе, и в пятом классе, поэтому решение задачи не составило труда, и мы быстро с ней справились. Учитель предложила решить эту же задачу, но с условием, что форма сада представляла многоугольник неправильной формы. План сада был расположен на рисунке в масштабе 1 см = 100 м. Мне стало интересно, какие существуют способы нахождения площади многоугольника. Оказалось, что есть несколько способов. Я решила изучить их и проверить какой из них, при наименьшем затраченном времени, даёт верный результат, т.е. самый эффективный.

Актуальность работы: изучение различных способов вычисления площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге расширяет интеллектуальный кругозор учащихся, способствует их подготовке к контрольным работам и к экзаменам в 9-м и 11-м классе.

Цель работы: изучить способы вычисления площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге и найти эффективный способ решения данной задачи.

Задачи исследования:

Изучить научную литературу и материалы Интернет- ресурсов по теме исследования.

Рассмотреть способы вычисления площади многоугольника.

Подобрать задачи и провести исследование.

Для выпускников 9-х и 11-х классов буклет «Площади фигур» и тест-тренажер «Вычисление площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге» для отработки навыков вычисления площадей.

Объект исследования: многоугольники, расположенные на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге и способы их решения

Методы работы: поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, необходимой информации в сети Интернет; практический метод выполнения вычислений при решении различных; анализ полученных в ходе исследования данных.

Гипотеза: в математике существует эффективный способ нахождения площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге.

Практическая значимость: возможность использования полученной информации на уроках и внеурочное время по математике, применение в повседневной жизни.

Научная новизна заключается в отсутствии в школьном учебнике полной информации о способах вычисления площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге.

Нахождение площади многоугольника с помощью геометрических формул

Изучая литературу и Интернет-ресурсы по данной теме, я выяснила, что в школьном курсе математики представлены формулы для нахождения площади таких многоугольников как треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция, параллелограмм. Если, изображенный на клетчатой бумаге, многоугольник представляет собой одну из этих фигур, то вычисление его площади сводится к нахождению длины его элементов (основания, стороны, высоты, диагонали и т.д.) и выполнению вычислений по формуле.

Многоугольник

Изображение многоугольника

Формула для вычисления площади

Треугольник

Прямоугольный треугольник со сторонами a и b

   

Произвольный треугольник со стороной a и высотой ha, проведенной к этой стороне

   

Произвольный треугольник со сторонами a, b, c и p – его полупериметром

   

Четырехугольник

Квадрат со стороной a и диагональю d

   

Прямоугольник со сторонами a и b

   

Ромб со стороной a, углом между сторонами и диагоналями d1 и d2

   

Параллелограмм со сторонамиa и b, высотой ha, проведенной к этой стороне

   

Трапеция с основаниями a и b, высотой h

   

Н апример, площадь данной фигуры – трапеции, с длиной оснований (a=12, b=6) и высоты (h=4) равна: .

Площадь фигуры как сумма площадей её частей

Используем следующие правила:

Многоугольник путем разрезания и перекладывания можно преобразовать в другой многоугольник с такой же площадью.

Площадь целого многоугольника равна сумме площадей его частей.

Д анная фигура состоит из двух прямоугольных треугольников (один с катетами равными 2 и 4, второй с катетами равными 4 и 4) и прямоугольника (со сторонами 6 и 4). Площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей: ;

Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

В некоторых случаях невозможно найти площадь многоугольника, используя только описанные выше формулы. И нахождение площади целой фигуры по сумме площадей ее частей оказывается слишком громоздким. Но иногда оказывается возможным использовать это свойство с точностью наоборот. То есть, можно построить около данного многоугольника – прямоугольник так, чтобы вершины многоугольника совпадали с вершинами построенного прямоугольника или лежали на его сторонах. Площадь искомой фигуры будет равна разности площади построенного прямоугольника и площадей оставшихся частей (например, площадей треугольников).

;

Нахождение площади многоугольника с помощью формулы Пика

Ф ормула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. Эта формула для нахождения площади многоугольника с вершинами, расположенными в узлах клетки. Узлами называются точки пересечения вертикальных и горизонтальных линий. Формула Пика связывает площадь многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника.

,

где В – количество внутренних точек (узлов) многоугольника, Г – количество граничных точек (узлов) многоугольника.

Конечно, находить площадь параллелограмма, трапеции, ромба, треугольника быстрее и легче по формулам площадей этих фигур. Но если многоугольник имеет неправильную форму, то нам поможет формула Пика.

Эксперимент и исследование

Изучив литературу и Интернет ресурсы, я убедились, что возможны различные способы нахождения площади фигур, расположенных на клетчатой бумаге. Можно находить площади фигур, используя математические формулы, которые нужно знать и уметь их применять. Можно находить площади частей фигуры, а затем сложить их и вычислить площадь целой фигуры. Можно достроить предложенную фигуру до прямоугольника и из его площади вычитать площади «лишних» частей, а можно использовать формулу Пика.

Я решила провести исследование и выяснить, какой из способов является самым эффективным, т.е. даёт верный результат при минимально затраченном времени, а также можно ли применять формулу Пика для решения задач практического характера. Я предположила, что:

вычисление площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге с помощью формулы Пика, является самым эффективным;

решить задачу на вычисление площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге, с помощью формулы Пика, смогут учащиеся 5-8-х классов;

в задачах практического характера для нахождения площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно применять рассмотренные способы, в том числе и Формулу Пика.

Выступая перед учащимися 9Б и 9В классов и 11-х классов (базового уровня) МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области» я напомнила им способы вычисления площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге (с помощью геометрических формул, с помощью суммы площадей частей фигуры и с помощью достраивания многоугольник до прямоугольника). Затем я предложила каждому учащемуся решить 6 задач из «Открытого банка заданий по математике ФИПИ» (Приложение 2) и засечь время на их выполнение. После этого я познакомила учащихся с биографией Георга Пика (Приложение1), показала, как можно вычислить площадь многоугольника на клетчатой бумаге с помощью формулы Пика, предложила решить эти же задачи по формуле Пика и снова засечь время. Сверили ответы. После чего я проанализировали выполнение учащимся данных работ, и результаты эксперимента представили в таблице.

Общие результаты эксперимента:

Класс/

кол-во уч-ся

Вычисление площади с помощью геометрических формул, разбиением фигуры или дополнительным построением до прямоугольника

Вычисление площади по формуле Пика

Кол-во уч-ся допустивших ошибки

N/n

Время T/t

Кол-во уч-ся допустивших ошибки (N)

Время, затраченное на выполнение работы

(T, мин)

Кол-во уч-ся допустивших ошибки (n)

Время, затраченное на выполнение работы (t, мин)

11/22

12

7

4

2,5

12/4=3

2,8

9Б/23

15

9

5

3,5

15/5=3

2,6

9В/ 25

11

8

3

3

11/3=3,7

2,7

Всего/

70

38

24

12

9

38/12=3,2

2,7

Согласно полученным результатам, я могу сделать вывод, что самым эффективным способом вычисления площади многоугольника, а в некоторых случаях самым простым (например, решение заданий №5 и №6 самостоятельной работы) является способ с помощью формулы Пика.

Затем я познакомила учащихся 5Г, 6Б, 7А, 8Г классов МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области» с биографией ученого математика Георга Пика и объяснила, как можно вычислить площадь многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге с помощью формулы Пика. После этого предложили решить 4 задачи из 6, которые ранее предлагались для решения учащимся 9-х и 11-х классов.

Класс/

кол-во уч-ся

Вычисление площади многоугольника с помощью формулы Пика

Кол-во уч-ся допустивших ошибки

Время, затраченное на выполнение работы

5 Г/ 29

7

4

6Б/ 28

6

5

7А/30

8

3

8Г/30

4

3

После проведенного эксперимента я предложила учащимся 5Г, 6Б, 7А, 8Г классов МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области» дома нарисовать фигуры на клетчатой бумаге и вычислить их площадь, с помощью формулы Пика, разбиением фигуры или дополнительным построением до прямоугольника.

Вывод: учащиеся 5-8-х классов познакомились с формулой Пика для нахождения площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге и могут ее применять для решения задач.

Ф ормулу Пика можно применять для нахождения площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, в задачах практического характера;

Решение задач практического характера на вычисление площади многоугольника

Задача 1. План яблоневого сада размещен на клетчатой бумаге в масштабе 1см - 100 м. Вычислите площадь сада. Определите, какое количество яблонь посажено в саду, если на 1 яблоню приходится 16м2.

Решение. Найдем площадь яблоневого сада (в м2), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 х 1 см в масштабе 1 см – 100 м, по формуле Пика: . Количество внутренних узлов В = 10, количество внешних узлов Г = 10, тогда площадь фигуры равна см2. Так как площадь 1 клетки равна 1 см2, то это соответствует 10000 м2 яблоневого сада.

м2= 14 га. яблонь в саду.

Ответ: в яблоневом саду площадью 14 га посажено 8750 яблонь.

З адача 2. Один гектар соснового леса может задерживать в год до 35т пыли, дубового леса – до 50т. Посчитайте сколько тонн пыли задержит сосновый лес за 5 лет. План соснового леса изображен на рисунке с квадратной сеткой 1х1 см. (масштаб 1см = 200 м).

Решение. Найдём площадь соснового леса (в м2). Воспользуемся формулой Пика. Количество внутренних узлов В = 19, количество внешних узлов Г = 8, тогда площадь фигуры равна см2. Т.к. 1 см2= 40000м2, то м2=88га. пыли в год. А за пять лет сосновый лес может задержать 15400т пыли.

О твет: сосновый лес площадью 88 га за 5 лет может задержать пыли до 15 400т.

Задача 3.

Плитка для пола размером 20 см х 20 см продается в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плитки необходимо купить, чтобы выложить пол прихожей?

Решение. Согласно плана двухкомнатной квартиры цифрами обозначены следующие помещения:

Помещения

Гостиная

спальня

Кухня

санузел

прихожая

Цифры

1

2

3

4

5

Площадь прихожей на плане равна:

Так как площадь 1 клетки плана равна: , то площадь прихожей равна . Так как размер 1 плитки 20 см х 20 см, то ее площадь равна . В 1 пачке 10 плиток. Площадь 10 плиток равна . Найдем необходимое количество упаковок:

Ответ: 20 упаковок.

Задача 4.

Муж и жена решили сделать ремонт на кухни, выложить пол декоративной плиткой квадратной формы. Длина и ширина кухни равны 2,7м. Муж предложил купить такой набор: 1 плитку со стороной 120 см, 3 плитки со стороной 90 см, 9 плиток со стороной 60 см и 2 плитки со стороной 30 см. Жена предложила купить такой набор: 2 плитки со стороной 120 см, 2 плитки со стороной 90 см и 8 плиток со стороной 60 см. Какой из вариантов (мужа или жены) оказался экономически выгодным?

Решение. Сначала вычислим площадь пола на кухни. Так как пол имеет форму квадрата, то площадь пола равна м2. Затем вычислим суммарную площадь плитки, в первом и во втором случае. Предложение мужа: , где ; ;;; .

Предложение жены: , где ; ;;; . И сравним результаты: 7,29 м2 < 7,38 м2.

Ответ: с экономической точки зрения предложение мужа оказалось более выгодным.

Вывод: для решения задач практического характера на вычисление площадей многоугольника, согласно условия задачи, учащимся рационально использовать формулу Пика, а также геометрические формулы и другие способы вычисления площадей многоугольников

Для отработки навыков нахождения площади многоугольника с применением формулы Пика я разработала тест-тренажер «Формула Пика» (Приложение 5), в котором использовали рисунки фигур на клетчатой бумаге, учащихся 5-8-х классов. Этот тест-тренажер позволяет учащимся оперативно проверить свои знания и исправить ошибку (в случае её появления). В тестировании приняли учащиеся 9Б, 9В и 11-х классов базового уровня МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области».

Также в помощь выпускникам я составила буклет «Площади фигур» (Приложение 4), который поможет им в подготовке к экзаменам.

Эксперимент показал, что:

учащиеся 9Б, 9В и 11-х классов базового уровня МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области» ранее не использовали для решения задач формулу Пика;

при решении задач такими способами как с помощью геометрических формул, разбиением фигуры или дополнительным построением до прямоугольника 65% учащихся 9Б класса, 44% учащихся 9В класса и 55% учащихся 11-х классов базового уровня МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области» допустили ошибки;

при решении задач применяя формулу Пика ошибки допустили 22% учащихся 9Б класса, 12% учащихся 9В класса и 18% учащихся 11-х базового уровня классов;

при применении формулы Пика количество ошибок снизилось в 9Б и 11-х классах – в 3 раза, в 9В классе – в 3,7 раза;

время на решение задач по формуле Пика и в 11-х классах, в 9Б и 9В классах уменьшилось почти в 3 раза;

76% учащихся 5Г класса, 79% учащихся 6Б класса, 73% учащихся 7А класса и 87% учащихся 8Г класса МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области» смогли безошибочно решить задачи на вычисление площади многоугольника, используя формулу Пика.

Заключение

В ходе выполнения исследовательской работы я пришла к выводу, что в математике существует несколько способов вычисления площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге. Все эти способы интересны и хороши, но самым эффективным оказался способ с применением формулы Пика. Гипотеза подтвердилась. С решением этих задач справились даже учащиеся 5Г, 6Б, 7А, 8Г классов МБОУ «СОШ №1 г. Строитель Яковлевского городского округа Белгородской области».

Таким образом, можно сказать, что гипотеза подтвердилась. В математике существует эффективный способ нахождения площади многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге – формула Пика, является универсальной формулой для вычисления площади любого многоугольника, расположенного на клетчатой бумаге.

Для успешной подготовки к экзаменам учащихся 9-х и 11-х классов я создала буклет «Площади фигур» и тест-тренажер «Вычисление площади фигур». Тест-тренажер поможет учащимся оперативно оценить умение вычислять площади фигур.

Все задачи, представленные в данной работе, взяты из базы задач для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ «Открытый банк заданий по математике ФИПИ». Таким образом, подтвердилась и актуальность нашей работы, она будет полезна при подготовке к выпускным экзаменам по математике в 9 и 11 классах (ОГЭ и ЕГЭ). Также мы уверены, что изученный материал поможет нам на уроках геометрии при изучении темы «Площади фигур», а также при решении задач практического характера.

Список использованных источников и литературы

Одна за всех формула Пика… (материалы для самообразования учащихся) Л.В. Горина, журнал Основа, №3 (март) 2013.с. 24-28.

Открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по математике. – [Электронный ресурс] – URL: http://mathege.ru/or/ege/Main.html?level=2

Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В. Наглядная геометрия. - М., МЦНМО, 2013.

Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.

http://interneturok.ru

http://live.mephist.ru

http://mathege.ru

reshuege.ru

Приложение 1

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Георг Александр Пик – австрийский математик, родился 10 августа 1859 года в Вене. Мать его – Йозефа Шляйзингер (JosefaSchleisinger), отец – Адольф Йозеф Пик (AdolfJosefPick) – будучи руководителем частного института, предпочёл до одиннадцати лет обучать сына на дому, а затем отдал его в четвёртый класс гимназии. В 1875 году Г.А. Пик сдал выпускные экзамены и поступил в Венский университет.

В 1876 году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, университет окончил в 1879 году, получив возможность преподавать оба эти предмета. 16 апреля 1880 года Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета.

В 1882 году произошло разделение Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

В 1899 году Георг Пик открыл формулу для вычисления площади многоугольников, расположенных на клетчатой бумаге. Эта формула носит его имя.

В 1900-1901 годах Георг Пик был деканом философского факультета Карлова университета и в 1911 году Пик оказался во главе комиссии, которая приняла на кафедру математической физика Альберта Эйнштейна. Они становятся близкими друзьями, совершая длительные пешие прогулки и беседуя, вместе музицируют.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. В 1928 году, Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств. Однако в 1938 году после присоединения Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. В 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, Пик был исключён из академии. 13 июля 1942 года Георг Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Приложение 2

Задания для самостоятельной работы

Приложение 3

Р исунки и задания учащихся 5Г и 6Б классов

Задача 1. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.

З адача 2. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.

З адача 3. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.

З адача 4 Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Задача 5. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Приложение 4

Приложение 5

Просмотров работы: 41