Основные алгебраические структуры: определения, классификация, примеры

X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Основные алгебраические структуры: определения, классификация, примеры

Билюкова Т.Г. 1
159
Блюмин С.Л. 1
1ЛГТУ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Цель работы – упрощенная подача материала по основам высшей математики, в частности – алгебраическим структурам, по средствам собрания материала на тему в одном проекте

Алгебраическая структура – множество некоторых элементов вместе с операциями, определенными на нем. То есть это набор объектов, например, действительных чисел R, и операции, которые можно с этими объектами совершать, например, сложение и умножение. Приведенная выше структура обозначалась бы как (R, +, ×), где первая часть обозначения - любое обозначение множества элементов в структуре, а дальше показаны операции, которые можно на этом множестве в этой структуре выполнять. В данном проекте будут рассматриваться множества с одной и двумя операциями.

Вся информация из параграфа выше (а это лишь часть общей информации по теме алгебраических структур) собиралась в течение нескольких месяцев, переписывалась и подтверждалась научным руководителем. Смысл работы заключается как раз в том, чтобы следующему человеку, которому необходимо было бы перенять эту информацию, не нужно было тратить на это несколько обучения.

Поэтому, необходимо упорядочить и систематизировать базовые алгебраические структуры по их свойствам для более простого и быстрого освоения материала.

Задачи

Дать определения основным алгебраическим структурам

Определить какие аксиомы числового поля в них выполняются

Упорядочить алгебраические структуры по выполняемым аксиомам числового поля

2.1. Зачем систематизировать

Систематизация информации важна для каждой отрасли науки. Разложение всего объема данных на составляющие и их упорядочивание позволяет более внимательно изучить отдельные единицы. Ведь и сам анализ как метод познания предполагает рассмотрение объекта как целостную систему со своей иерархией, особыми связями и т.п.

То же является неоспоримым и для алгебраических структур. В открытом доступе существует достаточно информации на данную тему, однако в связи с ее высокой специфичностью, нередко выражающейся даже в замысловатой формулировке понятий, типичный студент технического вуза, вероятнее всего, столкнется со значительными трудностями при знакомстве с найденной информацией. Более того, нельзя гарантировать полное усвоение материала и при более детальном самостоятельном изучении.

Именно поэтому необходимость систематизации вызвана актуальными потребностями учащихся. Автор работы считает крайне полезным создание проекта, который изложил бы теорию по данной теме более подробно и доступно.

В качестве источников предполагается использование учебной литературы и работ профессоров кафедры прикладной математики ЛГТУ, Блюмина Семена Львовича

2.2. Начало описания, простейшие аксиомы

Алгебраические структуры описываются по аксиомам, применимым к ним, так, например, структура, к которой могут быть применены все аксиомы числового поля, так и называется – поле. А структура, к которой не применима ни одна аксиома – группоид, но об этом позже.

Чтобы начать описывать алгебраические структуры, нам

необходимо будет привести аксиомы, которые могут к ним быть применимы.

Аксиомы применимые к числовому полю

Ассоциативности:

Коммутативности:

Существования нейтрального элемента:

Существования симметричного элемента:

Дистрибутивности:

И так, теперь у нас есть базовый набор аксиом, по которым уже можно начать классифицировать и систематизировать структуры.

Как можно видеть, у каждой аксиомы есть несколько формул, которые могут выполняться у выбранной функции. Обычно функции обозначают символами ⊕ и ⊗ (в таблице выше этого не сделано т.к. еще не было объяснено), причем Дистрибутивную функцию обозначают знаком ⊗. Дистрибутивная функция – та функция, которая в аксиоме дистрибутивности будет иметь роль «умножения», то есть аксиома дистрибутивности с такими операциями будет выглядеть так:

2.3. Именование некоторых структур

2.3.1 Множества с одной операцией

Магма (Группоид):множество, в котором не выполняется никаких аксиом применимых к числовому полю

Полугруппа:группоид, в котором выполняется аксиома ассоциативности.

Моноид: полугруппа, в которой выполняется аксиома существования нейтрального элемента

Группа: моноид, в котором выполняется аксиома существования симметричного элемента.

Абелева группа: группа, в которой выполняется аксиома коммутативности.

(приложение 2)

2.3.2 Множества с двумя операциями:

Поле: выполняются все аксиомы применимые к числовому полю

Полуполе: поле, в котором не выполняется аксиома симметричного элемента по сложению

Кольцо: поле, в котором не выполняется аксиома симметричного элемента по умножению

Полукольцо: поле, в котором не выполняется аксиома симметричного элемента

Кольцоид: бигруппоид, не требующий выполнения аксиом кроме аксиомы дистрибутивности между операциями.

(приложение 1)

3. Заключение

В ходе работы была собрана информация о базовых алгебраических структурах. Множествам с одной и двумя операциями были определены названия и даны определения. Они были упорядочены и систематизированы по принципу выполнения на них аксиом числового поля.

В дальнейшем планируется изучение и систематизация материала по более сложным алгебраическим структурам с разнообразным набором аксиом и числом операций на них.

Материал по теме был собран в таблицы для упрощенной подачи материала. Материал из проекта может использоваться в качестве вводного материала по теме «Базовые алгебраические структуры» и для начального ознакомления с темой.

Список использованной литературы

1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая школа, 1979. — 559 с.

2. Александров П. С. Введение в теорию групп. — Т. 7. — («Библиотечка Квант»).

3. Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант. — 1976. — № 10.

4. Группа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 88-94. — 352 с.

5. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977

6. Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с

7. Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.

8. М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160

5. Приложения

Приложение 1

Алгебраическая структура

Ассоциативности

Коммутативности

Существования нейтрального элемента

Существования симметричного элемента

Магма (группоид)

-

-

-

-

Полугруппа

+

-

-

-

Моноид

+

-

+

-

Группа

+

-

+

+

Абелева группа

+

+

+

+

Приложение 2

Алгебраическая структура

Ассоциативности

Коммутативности

Существования нейтрального элемента

Существования симметричного элемента

Дистрибутивности

По сложению

По умножению

По сложению

По умножению

По сложению

По умножению

По сложению

По умножению

Поле

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Полуполе

+

+

+

+

-

+

+

+

+

Кольцо

+

+

+

+

+

-

+

+

+

Полукольцо

+

+

+

+

-

-

+

+

+

Кольцоид

-

-

-

-

-

-

-

-

+

Просмотров работы: 220