X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Золотое сечение
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Цель работы: познакомиться с необычной пропорцией, называемой золотым сечением и даже “божественной пропорцией”, узнать, какую роль играет эта пропорция в окружающем мире, как она связана с понятием гармонии и, как и почему она используется в искусстве, живописи, архитектуре, фотографии, дизайне…
Задачи:
1. Изучить понятие «золотое сечение»;
2. рассмотреть применение «золотого сечения» в природе и в строении тела человека;
3. увидеть присутствие золотого сечения в окружающей жизни.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
математические расчеты пропорциональных отношений;
сопоставление полученных данных.
История «Золотого сечения».
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).
Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
Французский архитектор ЛеKорбюзье нашел что в рельефе из храма фараона Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Его диалог «Тимей» посвящен вопросам золотого деления.
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, величайшего математика Италии и Леонардо оставил свою затею. Он прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро Лука Пачоли приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Именно Леонардо да Винчи дал золотому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии.
Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.
Золотое сечение в геометрии.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая равна 38 частям.
Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия «теоремы квадратов», золотой пропорции и, наконец, «несоизмеримых отрезков» — трех великих математических открытий, приписываемых Пифагору.
Двумерным символом золотого сечения вправе считаться пентаграмма (пентальфа, пентагерон), обычно понимаемая как пятиугольная звезда, вписанная в правильный пятиугольник В этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.
При рассмотрении роли и места золотого сечения в геометрии нужно выполнить построение деления отрезка в золотом отношении.
Дано: отрезок АВ.
Построить: золотое сечение отрезка АВ, т.е. точку Е так, чтобы =
Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС=АВ. Далее, соединим точки А и С, отложим отрезокCD=CB, и наконец AE=AD.
Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.
Широкое распространение получили так называемые «золотые фигуры», имеющие в своей основе «золотое сечение».
Икосаэдр и додекаэдр.
Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.
Формулаикосаэдра:
V= 5a³(3+√5)/12
S= 5a²√3
Грани большого икосаэдра - пересекающиеся треугольники.
Вершины большого икосаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.
Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Формула додекаэдра:
V= a³(15+7√5)/4
S= 3a²√5(5+2√5)
Грани большого додекаэдра - пересекающиеся пятиугольники.
Вершины большого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.
Грани большого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники. Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе, мы можем их наблюдать и находить в архитектуре и живописи.
Деление отрезка в золотом отношении.
Золотое сечение - деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине
a : b = b : c илис : b = b : а
Для того, чтобы разделить отрезок АВ в "золотом" отношении, достаточно выполнить следующие построения с помощью циркуля и линейки:
Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ.
Полученная точка С соединяется линией с точкой А.
На полученной прямой от точки С откладывается отрезок CD, равный ВС.
На прямой AB откладывается отрезок AE=AD. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый
a : b = b : c или с : b = b : а Эта пропорция равна: ≈1.61803398874989484…
Золотой треугольник.
«Золотой треугольник» - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618
Возможны два типа золотых треугольников:
при построении логарифмической спирали используется золотой треугольник. (Начиная с большого треугольника) делим угол при основании пополам, получаем следующую точку. Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников.
Логарифмическую спираль можно провести через полученные вершины. Эта спираль известна как равноугольная спираль. Термин предложил Рене Декарт: «Если провести прямую из полюса к любой точке на кривой, она пересечёт кривую всегда под одним и тем же углом». Золотой гномон, тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором отношение длины боковых сторон к длине основания является обратным к золотому отношению. Золотой гномон является уникальным треугольником с пропорцией углов 1:1:3. Его острые углы составляют 36°, то же значение, что и у угла при вершине золотого треугольника. Золотой треугольник может быть разрезан на золотой треугольник и золотой гномон. То же самое верно для золотого гномона. Золотой гномон и золотой треугольник с их равными сторонами (сторона гномона равна стороне треугольника) также являются тупым и острым треугольниками Робинсона. Эти равнобедренные треугольники могут быть использованы для получения мозаик Пенроуза. Плитки Пенроуза состоят из «змеев» и «дротиков». «Змей» представляет собой золотой треугольник, а «дротик» состоит из двух гномонов.
Золотой прямоугольник.
Золотой прямоугольник -это прямоугольник с длинной стороной a и короткой b, помещённый рядом с квадратом со стороной a, даёт подобный золотой прямоугольник с длинной стороной a + b и короткой стороной a. Это иллюстрирует отношение
Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции, , или (греческая буква фи), где ф примерно равно 1,618.
Золотая пентограмма.
Лучи пентаграммы делят друг друга в точном математическом соотношении, которое равно золотому сечению.
Пятиконечная звезда, кроме всего, воспроизводит силу, знание и совершенство круга. С буквами S, A, L, V, S у вершин она означает здоровье человека и пять чувств. Подобно кругу, пентаграмма способна связывать злые силы и элементами, поэтому символизирует также удачу.
В эпоху Возрождения было популярно изображение пентаграммы со вписанной в нее человеческой фигурой, связанной с пятью элементами (как уже было сказано ранее: Огонь, Вода, Воздух, Земля, Эфир/Дух). Впервые это подметил в 1531 году знаменитый маг Корнелий Агриппа в своей книге «Оккультная философия. Том 2». Именно поэтому пентаграмма иногда называется «пентаклемАгриппы».
Его современник, астролог Тихо Браге опубликовал в своем труде под названием «CalendariumNaturaleMagicumPerpetuum» в 1582 году изображение пентаграммы с буквами имени Пентаграмматона.
Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый
Д ля построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
Если в пентаграмме провести все диагонали, то в результате получим пятиугольную звезду.
Точки пересечения диагоналей в пентаграмме являются точками золотого сечения диагоналей (отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618). При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL и пять правильных треугольников (ADC, ADB,EBD, AEC,EBC)
З дание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Золотая спираль.
Золотая спираль — логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ4, где φ — золотое сечение. Коэффициент роста логарифмической спирали показывает во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360°.Свое название эта спираль получила из-за связи с последовательностью вложенных друг в друга прямоугольников с отношением сторон, равным φ, которые принято называть золотыми. Золотую спираль можно как вписать в систему таких прямоугольников, так и описать вокруг нее. Популярность золотая спираль приобрела из-за того, что известная с начала XVI века и применяющаяся в искусстве спираль, построенная по методу Дюрера, оказалась хорошей аппроксимацией для золотой спирали (см. рисунок)
В природе встречаются приближения к логарифмическим спиралям: раковины моллюсков, окаменелых аммонитов, раковины некоторых улиток. Рукава спиральных галактик, несмотря на существующие утверждения, если и описываются логарифмической, то не золотой спиралью. В данном случае, описание ею является проявлением случайной близости. Недавний анализ спиралей, встречающихся в роговичном эпителии мышей, показал, что там встречаются как золотая, так и другие логарифмические спирали.
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется спираль Архимеда.
Вклад Кеплера в теорию Золотого Сечения.
Вера в гармонию, красоту и математически обосновано устройство мироздания привела 9 июля 1595 года немецкого астронома Иоганна Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствует только шесть планет.
Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер, с точностью разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце. Кеплер попытался связать со свойствами правильных многогранников некоторые свойства Солнечной системы.
Он предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия.
Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.
Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией.
Пропорции тела человека в золотом сечении.
Существуют определенные правила, по которым изображают фигуру человека, основанные на понятии пропорциональности размеров различных частей тела.
Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение. Основные пропорции были определены Леонардо да Винчи, и художники стали сознательно их использовать.
Основное деление человеческого тела – это деление точкой пупа. Отношение расстояния от пупа до ступни к расстоянию от пупа до макушки составляют золотое сечение.
И деальной женской фигурой считается фигура Афродиты Милосской. Статистически средние размеры тел различных людей также подчинены правилу золотого сечения. Об этом свидетельствуют антропологические исследования Цейзинга, который провел измерения почти 2000 человек.
Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению.
Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными
Золотое сечение в природе.
Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии
Очень совершенна форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.
Многие насекомые (например, бабочки, стрекозы) в горизонтальном разрезе имеют простые асимметричные формы, основанные на золотом сечении.
Построенные пчелами соты строго параллельны, расстояние между ними выдерживается с удивительным постоянством. Пчелиные ячейки представляют собой шестигранные геометрические фигуры. В разрезе соты представляют сеть равных правильных шестиугольников. Из правильных n – угольников с одинаковой площадью правильные шестиугольники имеют наименьший периметр. Таким образом, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот.
У многих бабочек узоры на крыльях, соотношения размеров грудной и брюшной части тела соответствуют золотой пропорции.
Филлотаксисом называется своеобразное решетчатое расположение листьев, семян, чешуек многих видов растений. Ряды ближайших соседей в таких решетках разворачиваются по спиралям или закручиваются винтовыми линиями вокруг цилиндра.
Семечки в подсолнухе расположены по логарифмическим спиралям. При этом отношение числа левых и правых спиралей равно отношению соседних чисел Фибоначчи.
Величины отростков и лепестков цикория подчинены правилу золотой пропорции. Листья розы тоже расположены по правилу золотого сечения.
Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках «упакованы» по логарифмическим («золотым») спиралям, завивающимся на встречу друг другу, причем числа правых и левых спиралей всегда относятся друг к другу, как соединение числа Фибоначчи.
Золотое сечение в фотографии, дизайне. Основы композиции.
В живописи, фотографии, дизайне золотое сечение очень часто используется в
виде классических приемов композиции. Основная рекомендация заключается в следующем. Объект, являющийся центральной фигурой в композиции, далеко не всегда должен располагаться в центре. Определенные точки в композиции
автоматически привлекают внимание. Поэтому, для того чтобы привлечь
внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров. Таких точек 4, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев картины. Нарисовав сетку, получим эти точки в местах пересечения линий.
Заключение.
В ходе научно-исследовательской работы я выяснила, что значение «золотого сечения» в современной науке и жизни очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний. Её пытались изучить многие известные ученные и гении: Аристотель, Геродот, Леонардо Да Винчи, но никому полностью этого сделать не удалось.
В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры, взятые из областей науки и искусства, в которых отражается эта пропорция: математика, архитектура, живопись, фотография, биология.
В своей работе я продемонстрировала красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.
Список литературы:
А. Азевич “Двадцать уроков гармонии” - М., “Школа-Пресс”, 1998
Н. Васютинский “Золотая пропорция” - М.,”Молодая гвардия”, 1990
М. Гарднер “Математические головоломки и развлечения” - М., “Мир”, 1971
Д. Пидоу “Геометрия и искусство” - М., “Мир”, 1989
Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3
Интернет - ресурсы
8