X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрия на клетчатой бумаге. Формула Пика.
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В заданиях ЕГЭ по математике в первой части встречаются задачи на вычисление площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге. Существует несколько способов нахождения площадей данных многоугольников:
- применение формул планиметрии;
- разбиение фигуры на более простые фигуры;
- достраивание фигуры до прямоугольника.
Но у большинства школьников именно задачи на бумаге в клеточку вызывают затруднения при их рассмотрении. Просматривая результаты ЕГЭ 2019 года видно, что многие выпускники потеряли свои баллы при решении этих задач. Я задалась целью выяснить, в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, как же можно сэкономить время и правильно решить это задание.
Изучая литературу по данной теме, я столкнулась с формулой Пика. Эта формула меня заинтересовала, и я решила познакомиться с ней поближе. Рассматриваемые задачи с помощью этой формулы решались очень быстро и легко.
В связи с этим возникла гипотеза о том, что задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально.
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге, формула Пика.
Предмет исследования: задачи на клетчатой бумаге, методы и приемы их решения, применение формулы Пика.
Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.
Методы исследования: сравнение, обобщение.
Задачи:
1) Изучение литературы по данной теме.
2) Решение задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.
3) Решение задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.
4) Сравнение и анализ результатов исследования.
5) Создание электронной презентации работы для представления собранного материала одноклассникам.
2. Основная часть
2.1.Задачи на нахождение площади многоугольника
Рассмотрим способы вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге геометрическим методом.
Применение формул планиметрии:
S = 0,5*а*h
S = 0,5*10*8=40 кв.ед.
S= (а+в)/2*h
S = (9+14)/2*6=69 кв.ед.
S = а*h, S = 8*6=48 кв.ед.
Разбиение фигуры на более простые фигуры:
S ф.= Sтр.1+Sтр.2+Sтр.3+Sпрям.
S ф.=5+5+3+15=28 кв.ед.
Достраивание фигуры до прямоугольника:
S ф.= S прям.- S тр.1 – S тр.2
S ф. = 27-6-9=12 кв.ед.
S ф. = S прям. – S тр.1 - S тр.2 - S тр.1 - S кв.
S ф. = 45-5-5-3-4=28 кв.ед.
S ф. = S прям. – S тр.1 - S тр.2
S ф. = 42-14-14=14 кв.ед.
Рассмотренные примеры говорят о том, что площади фигур на клетчатой бумаге можно находить различными способами, но в некоторых случаях эти методы занимают довольно много времени, некоторые выпускники затрудняются правильно разбить многоугольник на более простые фигуры или достроить его до прямоугольника.
Поэтому, проведя исследования, я выяснила, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием на нахождение площади многоугольника.
2.2. Теоретическая часть
Историческая справка.(3)
Георг Алекса́ндр Пик 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов» В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.
В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге.
Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
Формула Пика.(1)
Берем обычный лист клетчатой бумаги. Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки.
Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь.
(рис. 1)
Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить. Но это займет много времени.
Пойдем другим путем. Достроим наш многоугольник до прямоугольника АВСD, который легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, площади которых легко найти.
Вывод: хотя многоугольник выглядит достаточно просто, для вычисления его площади уйдет немало времени и придется потрудиться.
Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.
Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки.
Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз.
Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна
S = В + + 4 · = В + - 1 .
Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу
|
S = В + - 1 |
Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!
Это и есть формула Пика.
Теорема Пика — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.
Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна сумме
В + Г/2 – 1,
где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Проверим формулу Пика для многоугольника на рисунке 1.
Решение.
В = 14, Г = 8.
По формуле Пика: S = В + - 1 .
S = 14 + 8/2 – 1 = 17
Ответ: 17 кв. ед.
Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных ранее примеров.
В = 33, Г = 16, S = 33+16/2-1=40 кв.ед.
В = 56, Г=28, S = 56+28/2-1=69 кв.ед.
В = 23, Г = 12, S = 23+12/2-1=28 кв.ед.
В = 23, Г = 4, S = 23+4/2-1=24 кв.ед.
В = 7, Г = 12, S = 7+12/2-1=12 кв.ед.
В = 12, Г = 6, S = 12+6/2-1=14 кв.ед.
2.3. Практическая часть
Решение задач на клетчатой бумаге.
Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.
Рассмотрим решения задач из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике 2019 года. (2)
Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В=22, Г=12, S=22+12/2-1=22+6-1=27
В=9, Г=18, S=9+18/2-1=9+9-1=17
Найдем площадь фигуры геометрическим способом. S1=0,5*2*4=4, S2=0,5*4*4=8, S3=0,5*8*2=8, S4=0,5*4*1=2, Sпрям.= 6*8=48, Sфигуры= 48-4-8-8-2=26 кв.ед.
Найдем площадь фигуры с помощью формулы Пика.
В = 19, Г = 16, S = 19+16/2-1=26 кв.ед.
Эксперимент.
Мною был проведен небольшой эксперимент. Своих одноклассников я разделила на две группы и предложила им на время решить несколько заданий из открытого банка контрольно-измерительных материалов ЕГЭ 2019 года.
1 группа решала геометрическим способом, а вторая группа использовала формулу Пика.
Первая группа решила 5 заданий, а вторая группа 9 заданий.
Выводы:
1 группа:
Затруднения в использовании нужных формул.
Затруднения при разбивке многоугольника на более простые фигуры.
2 группа:
Повышенный интерес к решению.
Нужно знание только формулы Пика.
Заключение
При выполнении работы мною были решены задачи на нахождение площади многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.
Анализ решений показал, что применение формулы Пика дает возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, быстро и легко. Это позволяет экономить время на ЕГЭ по математике. Эта работа вызвала у меня интерес и я надеюсь, что выводы, полученные в результате моих исследований, помогут моим одноклассникам при сдаче ЕГЭ по математике. Формулу Пика можно использовать на ЕГЭ для проверки решения с использованием формул геометрии.
Список использованной литературы
Жарковская, Н. М. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика [Текст]: / Н.М. Жарковская, Е.А. Рисс. // Математика. - 2009. - № 17. - с. 24-25.
Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ. – 2019.
Смирнова, И. М. Геометрия на клетчатой бумаге [Текст]: учебное пособие для учащихся 7-9 классов и учителей математики / И.М.Смирнова , В.А.Смирнов. – М.: МЦНМО, 2016. – 264 с.