X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Удивительный мир сгибаемых многогранников. Флексоры. Флексагоны
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг.
Ф. Хаусдорф.
Кто не любит занимательную математику? Занимательной математику делают элементы игры, головоломки, шарады, ребусы. Нестандартные задачи развивают наблюдательность, умение логически мыслить, пробуждают веру в свои силы.
Многие ребята считают, что математика скучный и неинтересный предмет. Нередко школьники испытывают затруднения при изучении математики.
Актуальность. Знакомство с флексагонами вносит разнообразие в привычные окружающие нас предметы быта и интерьера, а также способствует развитию пространственного мышления и воображения.
Я заинтересовалась этими загадочными объектами и захотела научиться их делать. Это оказался очень увлекательный процесс. Мне захотелось разгадать тайну флексагонов.
Что же это такое флексагоны? Какие загадки они татя? Как сделать флексагон?
моего исследования являются флексагоны и флексоры а предметом - история их возникновения, способы конструирования, применение.
Гипотеза. Флексагоны – это не просто игрушка, а занимательная математическая головоломка.
Так появилась цель работы: изучить информацию о флексагонах, научиться складывать тригексафлексагоны и гексагексафлексагоны, тетрафлексагоны.
Задачи исследования:
раскрыть содержание понятия «флексагон», «флексор»;
найти чертежи и шаблоны флексагонов и флексоров;
создать модели простейших флексагонов, флексоров;
выяснить где применяются флексагоны в жизни человека;
продемонстрировать одноклассникам результаты моей работы и на ее примере показать, что математика удивительная наука.
Методы исследования: сбор информации, анализ литературы, классификация, наблюдение, сравнение, создание наглядных моделей и обобщение материала.
Глава I
1 . История возникновения флексагонов.
Как и многие удивительные вещи в мире, флексагоны были открыты случайно. В конце 1939 года Артур Стоун, 23 летний аспирант из Англии, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - 82 способами…
Так что же это такое флексагон?!
Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрываемые поверхности неожиданно выходят наружу.
Существует три различных гексагексафлексагона: первый складывают из прямой полоски бумаги, второй - из полоски, сложенной в виде шестиугольника, и третий - из полоски, форма которой напоминает лист клевера.
Поверхностей может быть сколько угодно, даже 1 000 000, только такой флексагон будет почти невозможно крутить. И заготовку подобрать для такого флексагона очень сложно, потому что с каждым разом заготовки всё непонятнее.
2. Виды флексагонов
Исследуя данную тему, я столкнулась с огромным количеством видов флексагонов с очень длинными и пугающими названиями. Но всё оказалось очень просто.
Есть всего три вида флексагонов:
тетрафлексагоны (тритетрафлексагон, гексатетрафлексагон, тетратетрафлексагон),
гексафлексагоны (унагексафлексагон, дуогексафлексагон, тригексафлексагон, тетрагексафлексагон, пентагексафлексагон, гексагексафлексагон, гептагексафлексагон),
флексотрубка.
Поверхности флексагона могут состоять из треугольников, квадратов, пятиугольников и т.д. Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. При этом даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания. Общепринятой системы наименований для флексагонов нет. Мартин Гарднер использовал термины «тетрафлексагон» и «гексафлексагон» для обозначения флексагонов, состоящих из квадратов и треугольников соответственно, причём поверхности тетрафлексагона могли состоять из четырёх или шести квадратов. В результате рождается большое количество новых названий для флексагонов и иногда очень сложных для произношения.
Название флексагона содержит впереди числительное, показывающее, сколько плоскостей имеет этот флексагон, на втором месте — числительное, определяющее форму флексагона, и в заключение — известное уже слово, обозначающее, что всё это гнётся и складывается.
Вот несколько примеров приставок, образуемых из корней греческих числительных, применяемых для обозначений: 1– моно-, 2 – ди- или би-, 3 – три-, 4 – тетра-, 5 – пента-, 6 – гекса-, 7 – гепта-, 8 – окта- и т. д.
3. Плоские сгибаемые многоугольники
Тетрафлексагоны
Самый простой тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) –тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются две из трёх поверхностей. Более сложные – гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон – собираются из крестообразной развёртки без использования клея. Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок. Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4.
Тетрафлексагон
Гексафлексагоны
Гексафлексагон – это флексагон, имеющий форму шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных частей.
С уществует множество гексафлексагонов, различающихся по числу поверхностей. Известны гексафлексагоны с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, девятью, двенадцатью, пятнадцатью, сорока восемью плоскостями; количество плоскостей ограничено только тем, что бумага имеет некоторую толщину.
Г ексафлексагон с тремя поверхностями
Гексафлексагон с шестью поверхностями
Объёмные сгибаемые многогранники
Кольцевые флексагоны
Если флексагоны – это изгибаемые многоугольники, то кольцевой флексагон (флексор) – изгибаемый многогранник, собранный из «кольца» многоугольников.
Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон – кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая; тригемициркогексафлексагон – флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса).
Флексор
Внешне флексоры выглядят привлекательнее, чем флексагоны, но математический интерес вызывает только кольцо из 8 тетраэдров, которое по-другому называют магическим. Математик Ройал В. Хит на заготовке для кольца из 8 тетраэдров расставил числа от 1 до 32 следующим образом:
Развертка флексора
По этой заготовке изготавливается флексор. Он состоит из восьми тетраэдров. При вращении флексора, получаем четыре различные комбинации чисел с одним и тем же результатом:
1) 1+16+25+24+2+15+26+23=132; 2) 28+22+3+13+27+21+4+14=132;
3) 7+9+32+18+8+10+31+17=132; 4) 19+6+11+29+20+5+12
Кроме этого, числа расположены так, что четыре грани каждого тетраэдра в сумме дают 66.
Кольцевой флексор из 8 тетраэдров
Флексотрубка.
Самую замечательную головоломку — флексотрубку — Стоун случайно открыл, работая над флексагонами, имеющими форму прямоугольного треугольника. («Для них, — сообщал он в одном письме, — мы не стали придумывать специального названия из соображений человеколюбия»). Построив плоский флексагон в форме квадрата, Стоун к своему изумлению обнаружил, что может превратить его в трубку. Как показали дальнейшие эксперименты, трубку можно полностью вывернуть наизнанку, если воспользоваться сложной системой сгибов по сторонам прямоугольных треугольников.(Приложение 4)
Глава II. Исследование флексагонов.
1. Наблюдения за свойствами флексагонов.
Теперь попробуем разобраться в схемах и инструкциях сборки флексагонов. На это ушло много времени, куча бумаги, и, конечно же, терпения. Не всё получалось сразу: то инструкции непонятные, то размеры неправильные. Пришлось серьёзно потрудиться, чуть ошибся – и начинай заново.
Когда фигура готова, нужно научиться раскрывать все её поверхности. Чтобы "открыть" гексафлексагон, его нужно одной рукой взять за два соседних треугольника, примыкающих к какой-нибудь вершине фигуры, а другой рукой потянуть за свободный край двух противоположных треугольников. При открывании флексагон выворачивается наизнанку, и наружу выходит поверхность, которая ранее скрывалась внутри.
Если в моделях с 3-мя поверхностями (Приложение 1) отыскать каждую поверхность не составило большого труда, то с гексагексафлексагоном (Приложение 3) появились трудности. Разобраться помогла схема, разработанная Таккерманом для гексагексафлексагона. Им был найден простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она открывается, а затем переходить к следующему углу. Этот метод так и называется «путь Таккермана». Он позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагона за один цикл из 12 сгибаний.
Еще сложнее было изготовление по схеме флексора (Приложение 2).
Пора попробовать ответить на вопрос: что же всё-таки такое флексагон - игрушка, оригами или математическая головоломка? Сначала обратимся за помощью к словарю:
Игрушка - предмет, предназначенный для игры. Воссоздавая реальные и воображаемые предметы, образы, игрушка служит целям умственного, нравственного, эстетического и физического воспитания.
Игрушка помогает ребёнку познавать окружающий мир, приучает его к целенаправленной, осмысленной деятельности, способствует развитию мышления, памяти, речи, эмоций. Игрушка широко используется в учебно-воспитательной работе с детьми, в частности для развития детского, технического и художественного творчества.
Головоломка - непростая задача, для решения которой, как правило, требуется сообразительность, а не специальные знания высокого уровня.
Оригами (яп. 折り紙, буквально «сложенная бумага») - вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги.
Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов и флексоров, изготовив их, можно сделать вывод: в их основе лежит геометрия. Нельзя флексагоны и флексоры воспринимать как обычное оригами. Это выходит далеко за рамки привычного для нас бумагоскладывания и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны и флексоры – это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться.
Вспоминая всё, что мы узнали про флексагоны, можно сделать вывод, что это всё-таки занимательная геометрическая головоломка.
2. Применение флексагонов.
Флексагоны и флексоры применяются как средство математического развития дошкольников и школьников младших классов. Дети активно овладевают построением и использованием различных предметных, графических и мысленных моделей. Флексагоны, как средство математического моделирования, способствуют развитию мелкой моторики, пространственному воображению, памяти, вниманию, терпению и многому другому. Бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.
Но однажды я случайно наткнулась на еще один необычный способ применения этих неординарных тел. Я даже не могла предположить, что кроме как в качестве игрушек они где-то ещё применяются. Но смотрите сами.
Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники одной поверхности приклеиваются фотографии (например, учеников класса). Этой фоторамке не требуется специальная подставка.
Необычно применение флексагона и в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу.
Флексагоны и флексоры можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.
Флексоры и простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве ёлочных украшений или для обычного оформления праздника.
фффффффффффффффффффффффффффф
Флексагон Флексагон
Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других.
Широко применяется флексагон и при создании поздравительных открыток – трансформеров.
Большое применение объёмный многогранник может найти в дизайнерском искусстве, так как цикл перегибаний интересен при создании мебели – трансформера: диванов, кресел, стульев и других предметов.
В стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и их декор.
Шарнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах.
Заключение
Выполняя исследовательскую работу, я прошла трудный, но интересный путь:
я познакомилась с понятиями «флексагон» и «флексор»;
изучила вопрос о происхождении флексагонов;
нашла информацию и подробно изучила инструкции по конструированию отдельных видов флексагонов;
изготовила разнообразные модели флексагонов;
подготовила комплект развёрток флексагонов, по которым можно изготовить аналогичные модели;
познакомила одноклассников на уроке математики с флексагонами, где учащиеся попробовали сделать модель флексагона;
выявила области практического применения флексагонов в жизни человека.
Можно с уверенностью сказать, что намеченные задачи выполнены, цель – изучение мира флексагонов – достигнута. Моя работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики: при изучении свойств треугольников, шестиугольников, тетраэдров или на занятиях математического кружка. В мире существует много неоткрытых загадочных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами.
Список литературы
1.Гарднер М.Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971, С. 11.,с.235
2. Долбинин Н. Жесткость выпуклых многогранников.// Квант. 1988. №5. С. 6 - 14.
3. Панов А. А. Флексагоны, флексоры, флексманы. //Квант. 1989. №1. С. 14.
4. ВИКИПЕДИЯ. - URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон.
5. https://multiurok.ru/
Приложение 1
Развертка гексафлексагона с тремя поверхностями
Приложение 2
Схема флексора
Приложение 3
Развертка гексафлексагона с шестью поверхностями
Приложение 4
Схема сборки флексотрубки Стоуна
10