X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Уроки Рачинского
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В Третьяковской галерее находится картина, на которой изображены крестьянские дети, решающие сложный пример. На одном из уроков математики учитель познакомила нас с этой картиной и предложила решить пример. Я сразу попытался в уме найти ответ. Задача оказалась не из лёгких, но нарисованные дети тоже должны были решать в уме, ведь картина называлась «Устный счёт».
Желая узнать что-то о картине, о её авторе, об учителе, которого изобразил художник, я нашёл информацию о замечательном русском педагоге Сергее Александровиче Рачинском, о его книге «1001 задача для умственного счёта» и даже о замечательном примере, написанном на доске. Наиболее подробно обо всём этом рассказал Д. С. Фаермарк в книге «Задача пришла с картины». Я. И. Перельман в книге «Занимательная алгебра» также затронул данный сюжет. Статья М. Королёва «Ещё раз о последовательностях Рачинского» в журнале «Наука и жизнь» была сложна для меня, но она позволила мне понять, что математики-профессионалы интересуются рядами чисел, подобных тому, который был запечатлён на картине и называют эти ряды «последовательностями Рачинского».
Я решил попробовать провести собственное математическое исследование, и самостоятельно найти несколько последовательностей Рачинского. Кроме того, оказалось, что задачи Сергея Александровича часто встречаются в нашем учебнике математики. Из книги «1001 задача для умственного счёта» я выбрал наиболее понравившиеся мне, и решил их самостоятельно.
Актуальность моего исследования связана с тем, что и задачи Рачинского и пример,написанный на доске, предназначены как раз для учеников моего возраста.
Цель моего исследования – узнать как можно больше о герое картины – Сергее Александровиче Рачинском, о картине, на которой он изображён, о его знаменитом задачнике и о последовательностях чисел, названных его именем.
Для достижения этой цели я ставлю перед собой следующие задачи:
найти информацию об авторе картины и о её герое;
изучить книгу «1001 задача для умственного счёта», выбрать наиболее интересные задачи и решить их;
выяснить, что представляют собой и найти несколько последовательностей Рачинского;
составить собственные красивые примеры, подобные задаче, «пришедшей с картины».
Кто же герой картины?
Полное название заинтересовавшей меня картины «Устный счёт в народной школе С. А. Рачинского». Прототипом учителя, изображённого на картине, был реальный человек Сергей Александрович Рачинский. В своей усадьбе в селе Татево Смоленской Губернии Сергей Александрович создал школу для крестьянских детей. Ради создания этой школы он ушёл из Московского Университета, где работал в должности профессора ботаники. В течение семнадцати лет он отдавал крестьянским детям и школе всё своё время и силы, не жалея здоровья. Его заслуги перед русским просвещением очень велики.
Этот человек обладал самыми разными талантами. Картина сделала его известным в качестве учителя математики. Сергей Александрович развивал в детях способность считать в уме, им был написан задачник «1001 задача для умственного счёта».
Художник, написавший картину, Николай Петрович Богданов – Бельский, хорошо знал героев своей картины. В детстве он был простым пастушком. Ему посчастливилось попасть в школу Рачинского, его способности были замечены. Сергей Александрович сыграл огромную роль в судьбе художника, помог талантливому ученику получить художественное образование. Сегодня имя русского художника Николая Петровича Богданова – Бельского известно всему миру.
«Устный счёт» не единственная картина, где мы можем увидеть портрет Рачинского, он изображён также в картинах «Воскресное чтение в школе», «У больного учителя». Николай Петрович не раз выражал благодарность Сергею Александровичу Рачинскому «…Удивительный человек. Учитель жизни. Я всем, всем ему обязан»[5.C. 6].
Задачи Рачинского.
Сергей Александрович придавал большое значение устному счёту крестьянских детей. И дети на уроках показывали очень высокие результаты. Ученики на уроках подходили к учителю и на ухо говорили ему ответ. Решившие задачу ученики находились справа от учителя, те, кто ещё решают – слева.
Сергей Александрович Рачинский сам придумывал задачи для своих учеников. Им даже была написана книга «1001 задача для умственного счёта».
Задачи С. А. Рачинского и сегодня встречаются в школьных учебниках. Вот, например, задача из нашего учебника для 5 класса: «Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар во второй – 2, в третий – 3 и т. д. Сколько комаров налетело за сутки?»
Для решения этой задачи необходимо знать, что в сутках 24 часа, а также пользоваться законами сложения.
1 + 2 + 3 + …. + 22 + 23 + 24= (1 + 24) + (2 + 23) + (3 + 22) + … + (12 + 13) = 25 ·12 = 300.
Ответ: 300 комаров.
Рассмотрим ещё несколько задач, к которым я приведу свои решения:
Задача 1. «Станок на фабрике делает 50 стальных перьев в одну минуту. Сколько гроссов делает станок в сутки? (Примечание: 1 гросс = 144 штук)»[4]
Решение: Узнаем, сколько минут в сутках. Для этого умножим 24 на 60, получим 1440. Значит, за сутки будет сделано перьев. Разделим это произведение на 144, получим , то есть 500.
Ответ: 500 гроссов.
Задача 2. «Два писца берутся переписать 180 листов. Первый может переписать это количество за 36 дней, а второй — за 45 дней. За сколько дней они смогут переписать это количество листов вместе?)»[4].
Решение: Найдём скорость каждого писца. Для этого разделим 180 страниц на количество дней, необходимое для их распечатки. Скорость первого писца страниц в день, а второго страницы в день. Общая скорость страниц в день. 180 разделим на 9, получим 20 дней.
Ответ: 20 дней.
Задача 3. «В коробке 80 спичек, и стоит она копейку. Сколько стоят 2000 спичек?» ) [4].
Решение: спичка стоит копейки. 2000 спичек стоят .
Ответ: 25 копеек.
Задача 4. «В лавке несколько платков. Если они будут проданы по 6 рублей, то лавочник получит 24 рубля барыша. Если же они будут проданы по 3 рубля, то лавочник будет в убытке на 12 рублей. Сколько платков у лавочника и почём он их покупал?» )[4].
Решение: Найдём разницу между ценами платков. Найдём разницу между вырученными деньгами. 24 + 12 = 36 рублей. Разделив 36 на 3, получим количество платков. У лавочника 12 платков. При продаже платков по 3 рубля, он получит 36 рублей. Так как он при этом будет в убытке на 12 рублей, значит, покупал он эти платки за рублей. А каждый платок стоил рубля.
Ответ: 12 платков, по 4 рубля.
Удивительные последовательности.
И вотИиииДавайте рассмотрим пример, над которым задумались ученики. Он довольно сложен для учеников сельской школы, в которой было всего три класса.
Для чисел 10, 11, 12, 13 и 14 характерна интересная особенность:
102 + 112 + 122 = 132 + 142.
Действительно, так как 100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365, то легко рассчитать в уме, что значение написанного на доске выражения равно 2.
Сергей Александрович Рачинский часто сам придумывал задания для своих учеников. Возможно, и этот пример был составлен им самим.
Маленькая задача, написанная на доске, заставляет задуматься над более общей задачей. А нельзя ли найти другое количество чисел, обладающих подобным свойством?
Похожими свойствами обладает последовательность чисел: 3; 4; 5. Эту последовательность называют Пифагоровой тройкой. Сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату последнего.
.
Можно найти и другие последовательности чисел, для которых сумма квадратов первых чисел равна сумме квадратов следующих чисел. Такие последовательности были названы «последовательностями Рачинского» и стали предметом исследования некоторых математиков.
Заметим, что для пифагоровой тройки для последовательности, представленной на картине Теперь я попытался найти последовательность Рачинского для
Я стал искать семь чисел, идущих подряд, таких, что сумма квадратов первых четырёх равна сумме квадратов последних трёх. Мне предстояла очень большая работа, но я нашёл способ уменьшить количество вычислений. Я стал подсчитывать суммы квадратов последних цифр. Для чисел, начиная с 17, я обнаружил совпадение. Действительно, последняя цифра суммы квадратов первых четырёх чисел равна 4, так как последняя цифра выражения равна 4. Так же и последняя цифра суммы квадратов последних трёх равна 4, так как совпадает с последней цифрой выражения .
Но я понимал, что этого недостаточно, чтобы данная последовательность была последовательностью Рачинского. Я стал подсчитывать значения выражений и и получил 1374 и 1454. Увидев, что требуемое равенство не выполнено, я огорчился, но работу не бросил и стал продолжать поиск. Я понял, что гипотезы иногда не подтверждаются, но это не повод опускать руки, и надо продолжать искать решение проблемы. Когда в следующий раз последние цифры совпали, равенство было полностью выполнено. Так я нашёл третью последовательность Рачинского, а затем и четвёртую. Вот равенства, в которые входят эти последовательности:
Придумываем примеры.
В загадочном примере Рачинского получался ответ 2. А я решил придумать свои примеры, в которых в результате арифметических действий с выражениями получаются значения 0; 1 или 3.
Мои примеры (я запишу их сразу с ответами):
;
Подобные примеры можно составить с числами других последовательностей Рачинского.
;
Заключение.
Когда я начинал работать над своим исследованием, я даже не предполагал, как много нового я смогу узнать. Прежде всего, я узнал о замечательном русском педагоге Сергее Александровиче Рачинском и его школе.
Я нашёл задачи, составленные Сергеем Рачинским, выбрал из них те, что мне особенно понравились, и самостоятельно решил их.
Я познакомился с особенными числовыми последовательностями. Две последовательности Рачинского широко известны, а я нашёл третью и четвёртую последовательности.
В процессе нахождения последовательностей я придумал метод, позволяющий упростить задачу. При использовании данного метода я столкнулся с ситуацией, когда моя гипотеза не подтвердилась, но не отказался от своего исследования и продолжил поиск.
В завершение работы я придумал несколько красивых примеров с числами из второй и третьей последовательностей Рачинского.
Мои выступления перед одноклассниками и по школьному телевидению были полезны и интересны для слушателей.
Был и ещё один важный урок, который я вынес для себя в процессе работы. Сегодня числовые последовательности, о которых рассказывалось в моём исследовании, называют именем героя картины «Устный счёт», картины, на которой ученик изобразил своего учителя. Ученик таким способом выразил благодарность своему учителю.
Наверное, нам следует учиться и этому.
Надо учиться быть благодарными своим учителям.
Библиография.
Королёв М. «Ещё раз о последовательностях Рачинского» / М. Королёв // Наука и жизнь. – 2007. - №10 – с. 53 – 55.
Никольский С.М. , 5 класс: учебник для общеобразовательных организаций/С. М.Никольский, М. К. Потапев Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – 13 издание, - М-: Просвещение, 2014.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - М: Наука, 1970.
Рачинский А. С. «1001 задача для умственного счёта – изд. Белый Город.
Фаермарк Д. С. Задача пришла с картины. - М.: «Наука» , 1974.
etudes.ru, (сайт математические этюды).