X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Магический квадрат – наука или магия?

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мамлин С.А. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Нерастанновская средняя общеобразовательная школа

Садовникова О.М. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Нерастанновская средняя общеобразовательная школа

Работа в формате PDF

717.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

«Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото­рыми планетными, а другими – магическими».

Пьер де Ферма

Квадраты, всем знакомое слово, а «МАГИЧЕСКИЕ» КВАДРАТЫ.… От этого словосочетания сразу веет волшебством. На занятиях по внеурочной деятельности мы часто выполняем задания необычного характера. Одним из таких заданий, это заполнение «магических» квадратов. Само название «магические» квадраты очень привлекает. Заполняя такие квадраты, думаешь, что действительно, присутствует какая-то магия. А однажды учитель предложил нам самим составить подобное задание для ребят младших классов. Но эта работа оказалась не такой простой, как нам показалось на первый взгляд. Нас заинтересовала предложенная задача. Метод перебора нам не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это вызвало у нас желание заняться исследовательской работой, чтобы раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.

Объект проекта: «магический» квадрат.

Цель проекта: раскрыть «секреты» «магического» квадрата.

Задачи исследования:

1) познакомиться с историей появления «магических» квадратов;

2) выяснить виды «магических» квадратов и способы их заполнения;

3) выявить области применения магических квадратов;

4) провести анкетирование и выполнить его анализ;

4) составить самостоятельно «магические» квадраты разных порядков;

5) создать брошюру «магических» квадратов.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро и разнообразно.

Для решения задач проекта мы использовали следующие методы:

- анализ литературы и Интернет-ресурсов по проблеме; анкетирование.

Глава I. «МАГИЧЕСКИЙ» КВАДРАТ.

Что такое «магический» квадрат.

Магическим квадратом n-го порядка называ­ется квадратная таблица размером n х n, за­полненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают маги­ческие квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоя­щих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.

Магический квадрат – квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

1.2 ИСТОРИЯ ПОЯВЛЕНИЯ «МАГИЧЕСКИХ» КВАДРАТОВ.

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Привлекающие естественной красотой, напол­ненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажу­щейся простотой множество тайн… Знакомьтесь: магические квадраты – удивительные представи­тели воображаемого мира чисел.

Понятием «магия» принято считать различные человеческие действия, которые имеют целью влиять сверхъестественным образом на тот или иной материальный предмет или явление.

Числовую фигуру обычно называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и при определенных взаимных сочетаниях дают заранее задуманный составителем результат.

Наверное, одной из первых известных человечеству магических фигур является магический квадрат. Он встречаются в культуре, истории, верованиях и в различных мистических учениях многих народов.

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис. 1). Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси.

Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Рис.1 Таблица Ло Шу

В XI в. Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию. Из Индии увлечение магическими квадратами перешло к арабам. Именно от арабов квадраты получили название «магические».

На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. Магические квадраты находят при раскопках поселений Золотой Орды (рис. 2), в Китае, Индии и Тибете, в Израиле, Турции и во всех странах Европы.

Рис.2

 Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия» (рис. 3).

Рис.3

Дата создания гравюры – 1514 год – указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

В западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы (рис. 4)

Рис.4

Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43*43, содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, еще многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

В IX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

Глава II. СПОСОБЫ СОСТАВЛЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.

2.1 Индийский способ

Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже.

Один из существующих способов сравнительно несложен весьма древний прием, придуманный в Индии еще до начала нашего летосчисления. Его можно изложить кратко в шести правилах. Пример магического квадрата из 49 клеток. (рис.5)

1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца – 2.

2. Следующие числа пишутся по порядку в диагональном направлении вправо вверх.

3. Дойдя до правого края квадрата, переходя к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.

4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца.

Примечание. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней.

5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.

6. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.

Руководясь этими правилами, можно быстро составлять магические квадраты с любым нечетным числом клеток.

Если число клеток не делится на 3, можно начинать составление магического квадрата не по правилу 1, а по другому правилу.

Единицу можно написать в любой клетке диагонального ряда, идущего от средней клетки крайнего левого столбца к средней клетке самой верхней строки квадрата. Все последующие числа вписываются согласно правилам 2 – 5.

Это дает возможность составить по индийскому способу не один, а несколько квадратов.

Рис.5

2.2 СПОСОБ БАШЕ

Индийский способ, это не единственный для составления квадратов с нечётным количеством клеток. Существует ещё способ Баше, или, как его иначе называют, «способ террас». Старинный прием составления нечетных магических квадратов, то есть квадратов из любого нечетного числа клеток: 3х3, 5х5, 7х7 и т.п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Так как способ Баше пригоден и для 9- клеточного квадрата, то удобнее всего начать исследование способа именно с этого примера. Итак, приступим к составлению 9- клеточного магического квадрата по способу Баше.

- начертив квадрат, разграфленный на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд;

- числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше). В результате получаем квадрат;

- применим правило Баше к составлению квадрата из 5х5 клеток. Квадрат состоит из 25 клеток. Сумма всех 25 чисел равна 325. Теперь 325 разделить на количество строк (325:5=65), получим 65, т.е. сумма чисел по любому направлению квадрата должна равняться 65. Начинаем с расположения чисел. Остается только числа, оказавшиеся за рамками квадрата, ввести внутрь его. Для этого нужно фигуры, образованные числами, стоящими вне квадрата («террасы»), мысленно вдвинуть в квадрат так, чтобы эти фигуры примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Получится магический 25- клеточный квадрат (рис. 6).

Рис.6

2.3 «МАГИЧЕСКИЙ» КВАДРАТ ПИФАГОРА

Пифагор – математик, заложивший основы нумерологии. Учёный верил, что миром правят числа. Даже человеческая сущность зависит от них, ведь дата рождения, не что иное, как число.

Магический квадрат Пифагора – фигура третьего порядка, клетки которой заполнены числами от 1 до 9. Он делится на три уровня: материальный, души и разума.

Цифры даты рождения вписываются в определённом порядке. Полученная комбинация рассказывает о заложенных природой способностях человека.

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ «МАГИЧЕСКИХ» КВАДРАТОВ.

Магические квадраты могут быть применимы в криптографии. Они позволяют создать алгоритм перевода зашифрованного текста в изображение и наоборот. Буквы сообщения расставляются в порядке, заданном магическим квадратом. Затем каждой букве сообщения ставится в соответствие цвет, тем самым в итоге получается изображение. Для того чтобы расшифровать такое сообщение, необходимо проделать обратную процедуру: вначале каждому цвету поставить в соответствие букву алфавита, а затем осуществить обратную перестановку, заданную исходным магическим квадратом. Весь описанный алгоритм реализовывает большой объем информации, а «магические» квадраты дают надежную защиту исходного открытого текста от взлома. Одним из перспективных направлений изучения применения «магических» квадратов является создание телевизоров, изображение для которых формируется по принципу «магического квадрата». Магические квадраты применяются в технологиях создания телевизоров, что позволяет обеспечить плавные цветовые переходы, полностью устраняя видимые границы на больших однотонных полях изображения.

Конечно, одно из самых доступных применений «магических» квадратов, это на уроках и внеурочной деятельности по математике. Тема математических квадратов – один из традиционных разделов занимательной математики, представляющий любознательному читателю как красивые конструкции, так и серьёзные нерешенные проблемы. Решение и составление таких квадратов развивает и расширяет познавательный кругозор и логическое мышление

Глава IV. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

4.1 МЕСТО «МАГИЧЕСКИХ» КВАДРАТОВ В ЖИЗНИ МОИХ СВЕРСТНИКОВ

Для того, чтобы выяснить, знают ли современные школьники что такое «магические» квадраты, мы провели опрос среди обучающихся 6-7 классов (31 человек) (приложение 2) и получили следующие данные.

Вывод: опрос показал, что многие ребята слышали о магических квадратах и решали их. Обучающиеся даже были уверены, что квадраты, действительно обладают магическими свойствами. Изучив ответы ребят, мы поняли, что мало кто пробовал составлять самостоятельно «магические» квадраты, именно поэтому и возникли ответы, что заполнение квадрата – это магия. Проведённый опрос убедил нас в актуальности выбранной темы, аименнов привлечении обучающихся к решению занимательных задач по математике, повышении их интереса к новым и загадочным головоломкам и одной из которых считаются магические квадраты.

Анализ анкет показал, что ребята довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Мои «магические» квадраты: 3х3, 5х5, 7х7.

Образец 1.»Магический» квадрат 3х3

Квадрат для заполнения.

Заполненный квадрат

Образец № 2. «Магический» квадрат 5х5

Квадрат для заполнения.

Заполненный квадрат.

Образец № 3. «Магический» квадрат 7х7

Квадрат для заполнения.

Заполненный квадрат.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Прочитав специальную литературу, исследовав только незначительную часть методов составления магических квадратов, можно прийти к выводу: заполнение магических квадратов представляет собой замечательную гимнастику для ума. Для меня магические квадраты – это увлекательная и занимательная математика, поэтому на данной теме я не буду останавливаться. Имеется еще не мало различных типов магических квадратов, которые я хотел бы исследовать. Работая над проблемой заполнения квадратов, я пришел к заключению, что общего способа построения квадратов нет, но очень широко применяются разные частные алгоритмы.

Если использовать один из этих методов можно заполнить квадрат любого порядка. Мне удалось хорошо познакомиться с методом построения квадратов нечетного порядка. Я полагаю, что мою работу можно использовать при подготовке к олимпиадам, на внеурочных занятиях по математике для развития логики и расширения познавательного кругозора.

«Магический квадрат» – древнекитайского происхождения.

Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

МГ является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.

С помощью МГ можно кодировать информацию.

Существует много видом МГ.

Для каждого МГ определенного порядка существуют различные способы заполнения.

Тем самым мы подтвердили нашу Гипотезу: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро и разнообразно.

Заполнение и построение «магических» квадратов это целая наука, которая в очередной раз доказывает красоту чисел и необычность их свойств, что и соответствует названию «магические» квадраты.

Список литературы и Интернет-ресурсов:

http://xreferat.ru/54/540-1-magicheskie-kvadraty.html

Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г.

http://www.informio.ru/publications/id192

http://www.coolreferat.com/Магические_квадраты_часть=3

В.В.Трошин «Магия чисел и фигур» ООО «Глобус» 2014

6. Г.И. Глейзер «История математики в школе» Москва «Просвещение» 2017

7. Е.И. Игнатьев «В царстве смекалки» Москва 2019

8. Интернет. http://ru.wikipedia.org/