X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрические паркеты.
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I. Введение
«С помощью математики мы только откроем дверь, ведущую в другой мир, и будем любоваться садом, лежащим за ней» - говорил Мауриц Корнелис Эшер, создавая геометрические объекты, которые пользуются спросом и считаются «писком» моды до сих пор!
Мои родители приняли решение покрыть полы нашего дома паркетом. Во время семейного совета родители долго обсуждали, какой рисунок выбрать. Посещая внеурочные занятия «Азы практической геометрии» я познакомилась с правильными многоугольниками, которые лежат в основе создания различных рисунков паркета, уже тогда меня заинтересовала тема покрытия плоскости геометрическими фигурами. Я так увлеклась этой темой, что смогла заинтересовать подружку, и уже вместе мы стали изучать все возможные способы покрытия плоскости.
У нас в гимназии в некоторых кабинетах на полу лежит паркет, состоящий из прямоугольных дощечек, уложенных путем параллельных линий, «ёлочкой» или «разбежкой».
рис.1 рис.2
рис.3
Одним из наглядных примеров использования многоугольников при покрытии пола, стал для нас пол в коридорах гимназии.
рис.4 рис.5
Мы попробовать рассчитать, какие могут быть новые варианты и сочетания многоугольников при покрытии ровной поверхности (плоскости). Какие математические законы и принципы действуют при этом.
В настоящее время в мире у большинства фирм, занимающихся производством паркета, есть свои оригинальные решения данного вопроса. Но мы считаем, что это не предел и при грамотном использовании математических свойств различных многоугольников можно получать все новые и новые композиционные решения.
Цель: Существуют ли многоугольники, которыми можно покрыть плоскость без просветов и двойных покрытий.
Задачи:
Изучить историю паркетного искусства;
Установить все возможные случаи покрытия плоскости многоугольниками;
Рассмотреть нестандартные приёмы покрытия плоскости;
Показать применение паркетов в дизайне помещений.
Методы исследования: поисковый, аналитический, сравнительный, математическое моделирование.
Актуальность темы: Актуальность данной темы «Геометрические паркеты» не вызывает сомнений. Сегодня население все больше уделяет внимание, дизайну помещений, стараясь уходить от привычных стандартов. Мы провели большую поисковую работу, изучили источники информации, указанные в работе и, думаем, смогли ответить на поставленные в работе цели и задачи.
II. Геометрические паркеты
1. Историческая справка
Знакомство с данной темой мы начали с истории появления паркета в России. Узорный паркет из цветной древесины - так называемый наборный, или художественный, имеет очень древнюю историю. Полы из различных пород дерева изготавливались еще 3 тысячи лет назад. Оказывается, в России все началось с того, что Петр I своей рукой составил орнаменты для дворцовых паркетов в проектируемом тогда Петергофе. В этот момент официально родился русский художественный паркет. Над его рисунками сначала трудились иностранцы (Леблон, Растрелли), а потом и русские мастера. Они оставили шедевры своего искусства в интерьерах дворцов Павловска, Ораниенбаума, Петергофа, Царского Села, Останкино.
Мы выяснили, что художественный паркет набирают из нескольких пород дерева, различающихся по цвету и тону. В России, кроме местных березы, ольхи, сосны, лиственницы, клена, можжевельника, вяза, яблони, груши и др., для паркета, в том числе художественного, постепенно стали широко применять привозную "заморскую" древесину: фиолетовый палисандр, розовый амарант, желтое и красное сандаловое дерево, шелковицу, черное эбеновое и табачное дерево, белый и красный кипарис, тис, чинару, тую, оливковое дерево. Использование этих непохожих, разнообразных по рисунку живых материалов позволяло создавать самые прихотливые и сложные узоры. А мы живем на Кавказе, в лесах у нас произрастает: дуб, бук, граб, ясень, поэтому для паркета используется эти породы деревьев. У нас в кабинетах гимназии лежит паркет из дуба, бука и ясеня.
Мы выяснили, что современные паркетные фирмы для создания художественного паркета идут несколькими путями.
Один из них –
копирование старых образцов из интерьеров.
рис.6
Д ругой путь –
как нам кажется, более перспективный
и разумный - создание наборного паркета
по новым оригинальным рисункам.
рис.7
Т ретий путь –
поиск в каждом конкретном случае
современного орнамента,
нового декоративного решения.
рис.8
2. Паркеты из правильных многоугольников
Ход исследования
Давайте рассмотрим паркет из правильных многоугольников. Мы знаем, паркет (или мозаика) – это бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.
Считаем, что некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками, в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае – многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование "два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек", кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.
Следующий вопрос, который нас заинтересовал и который легко решается: «Из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет?»
Пусть плита паркета является правильным n – угольником. Сумма всех углов n – угольника равна 180°(n – 2), и, так как все углы равны между собой, то каждый из них равен 180°(n – 2)/n. Поскольку в каждой вершине паркета сходится целое число углов, то (2∙180º) должно делиться нацело на число
, получаем .
Д робь будет равна целому положительному числу, лишь тогда когда знаменатель дроби будет принимать значения 1, 2 или 4, а это выполняется при n = 3, 4, 6.
рис.9
а) б) в)
Исходя из этого можно сделать вывод:паркеты получаются, из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.
3. Паркет из правильных многоугольников с разным количеством сторон.
Мы предположили, а можно ли составить паркет, комбинируя различные правильные многоугольники. Сначала выяснили, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Так как величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая), следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°). Считаем, что существуют следующие способы укладки паркета комбинациями правильных многоугольников: (3, 12, 12); (4, 6, 12); (6, 6, 6); (3, 3, 6, 6) - два варианта паркета; (3, 4, 4, 6) - четыре варианта; (3, 3, 3, 4, 4) - четыре варианта; (3, 3, 3, 3, 6); (3, 3, 3, 3, 3, 3) (цифры в скобках – обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 – правильный треугольник, 4 – квадрат (правильный четырехугольник), 6 – правильный шестиугольник,
12 – правильный двенадцатиугольник, а количество вариантов зависит от того, какие многоугольники будут находиться рядом друг с другом, сходясь в одной вершине). Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях.
а) (3; 3; 6; 6) б)(4; 8; 8)
рис.10в) (4; 6; 12) г) (3; 4; 4; 6)
4. Паркеты из неправильных многоугольников
К роме правильных многоугольников существуют выпуклые и не выпуклые многоугольники. Можно ли их использовать для покрытия плоскости. Оказалось, что легко покрыть плоскость параллелограммами.
рис.11
Параллелограмм можно разрезать по диагонали, тогда паркет можно сложить из полученных треугольников.
рис.12рис.13
5. Паркеты из произвольных фигур
Мы знаем, что некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками, в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами. Рассмотрим оптимальные способы построения нового паркета, исходя из этого "расширенного" определения. Итак, как нарисовать паркет? (некоторые из возможных способов)
Способ первый. Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие или растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков...
П ример: паркеты, полученные нами заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.
рис.14 а)б)
Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов.
Пример: паркеты, полученные нами в результате объединения элементов квадратной сетки.
рис.15а) б) в)
Способ третий. Берём существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, совмещая или поворачивая одну сетку относительно другой, фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета.
Пример: разбиения сетки из греческих крестов.
рис.16 а) б) в) г)
С пособ четвертый. Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать... получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом №1.
Для получения следующего паркета
была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°,
а затем к получившейся фигуре был применен
параллельный перенос. рис.17
М ы выяснили, что паркеты, можно получать с помощью
параллельного переноса звездчатых многоугольников.
Совмещая вершины звездчатых многоугольников,
получаем паркеты, состоящие из правильных
восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных рис.18
т реугольников, а также из невыпуклых 16-угольников,
напоминающих крест. Или, например, мы из
прямоугольника получили «стрелку» и
заполнили плоскость. рис.19
6. Практическое применение темы: «Движение»
На внеурочных занятиях мы познакомились со свойствами и видами «Движения». Движением называется отображение плоскости на себя при котором сохраняются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств: три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.
Отрезок движения отображается на отрезок.
При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.
Треугольник движением переводится в треугольник.
Движение сохраняет величину углов.
При движении сохраняются площади многоугольных фигур.
Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.
7. Виды движений.
На плоскости существует четыре типа движений:
Параллельный перенос
Осевая симметрия
Центральная симметрия
Поворот вокруг точки
Параллельный перенос
Параллельный перенос произвольным точкам плоскости Х и У ставит в соответствие такие точки Х1 и У1, что ХХ1 = УУ1 или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.
Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки Х и У перешли в точки Х1 и У1 соответственно. Тогда выполняется равенство ХХ1=УУ1, откуда получаем, что во-первых ХУ=Х1У1, то есть параллельный перенос является движением, и во-вторых, ХУ=Х1У1, то есть при параллельном переносе сохраняются направления. Это свойство параллельного переноса – его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом.
Осевая симметрия
Точки Х и Х1 называются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если прямая а является серединным перпендикуляром отрезка ХХ1. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе (относительно прямой а) если дана прямая а, то каждой точке Х соответствует единственная точка Х1, симметричная Х относительно а.
Симметрией плоскости относительно прямой а, называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствии точка, симметричная ей относительно прямой а.
Докажем, что осевая симметрия является движением используя метод координат: примем прямую а за ось Ох в системе координат. Тогда при симметрии относительно неё точка, имеющая координаты (х; у) будет преобразована в точку с координатами (х; –у). Возьмем любые две точки
А(х1; у1) и В(х2; у2), симметричные им точки будут иметь координаты А1(х1; –у1) и В1(х2; –у2). Найдем длины отрезков АВ и А1В1.
, , значит, АВ = А1В1.
Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно, она является движением.
Центральная симметрия
Центральная симметрия с центром в точке О это такое отображение плоскости, при котором любой точке Х сопоставляется такая точка Х1, что точка О является серединой отрезка ХХ1.
Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным
случаем поворота на 180°. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки О точка Х перешла в Х1, тогда угол – развернутый, и ХО = ОХ1, следовательно такое преобразование является поворотом на 180°. Отсюда следует, что центральная симметрия также является движением.
Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное.
Поворот
Поворот плоскости относительно центра О на данный угол β в данном направлении определяется так: каждой точке Х плоскости ставится в соответствие такая точка Х1, что во-первых, ОХ = ОХ1, во-вторых равен углу поворота β и, в-третьих ОХ1 откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол β – углом поворота. Поворот является движением.
Исходя из всех расчетов выполненных нами, можно сделать вывод, что свойства движения можно и нужно применять при укладке паркета.
8. Математические мозаики
Можно придумать паркеты из разных элементов.
Существуют паркеты, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу паркета.
П ример 1.в)
рис.20
а) б) г)
Пример 2.
Элемент простого паркета, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки – элементы нового паркета.
рис.21
А на рисунке 21 показаны элементы нового паркета,
состоящие из таких фигурок.
рис.22
Это интересно!
Замечательные паркеты придумывал знаменитый голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий. Простейшим видом паркета является такой, в котором плоскость заполняется фигурами с помощью параллельного переноса.
б)
а)
рис.23 в) г)
III. Выводы по исследованию
В результате проведенного нами исследования можно сделать следующие выводы:
Движение широко применяется при покрытии плоскости паркетом.
Плоскость можно покрыть без просветов двойных покрытий правильными многоугольниками.
Плоскость покрывается произвольными многоугольниками (невыпуклыми, звездчатыми, выпуклыми неправильными многоугольниками).
Для покрытия плоскости можно использовать комбинации различных многоугольников.
В качестве элемента покрытия плоскости можно использовать фигуры животных.
IV.Заключение
Наша «Майкопская гимназия № 5»
является памятником архитектуры,
в этом году ей исполняется 120 лет со дня основания,
в семи кабинетах сохранился паркет,
положенный при строительстве здания.
Паркет дубовый, уложенный «ёлочкой».
рис.24 рис.25
Поэтому мы считаем, что в доме самым практичным, долговечным, бюджетным, менее затратным по времени исполнения заказа, будет самый простой дубовый или буковый паркет, из дощечек прямоугольной формы, уложенный в ёлочку или параллельным переносом «в разбежку».
V. Список литературы
Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций/
[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].- 5-е изд. – М., Изд.
«Просвещение», 2015.;
Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" № 3, 1970 год;
Математическая энциклопедия. – М., «Советская энциклопедия», 1977-1985;
Соловьев, К. Русский художественный паркет / К. Соловьев. - М.: ЁЁ
Медиа, 1993. - 114 c.;
5. Мир паркета: Настольная книга дизайнера. - Москва: Огни, 2001. - 520 c.