X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Война математиков
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Математика одна из фундаментальных наук берущая свое начало с древнейших времен. Египетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. С развитием человеческого общества математика использовалась во все новых областях знаний. Разные открытиябыли результатами математического поиска, или математической обработки изучаемых явлений. Труд ученых-математиков поистине гениален.
Целью моей работы является изучение одного из самых важных событий в истории человечества - Второй мировой войне. Эта война велась не только на полях сражений, в воздухе или в море. Битва разгоралась в головах величайших математиков того времени. Именно эти невидимые бойцы могли наносить самые смертоносные удары по противнику. А как известно во все времена информация являлась самым главным оружием. И тот кто ей владеет может решить ход войны в свою пользу.
Моя работа посвящена истории, о том как математики спасали жизни во время Великой отечественной войны. Речь пойдет о самой знаменитой немецкой шифровальной машине под названием Энигма и о том как математикам удалось ее взломать.
Актуальность, задачи исследования
Современный мир нельзя представить без алгоритмов шифрования. Все электронные устройства, мессенджеры, электронная почта, мобильная связь используют протоколы шифрования. Любые банковские операции зашифрованы с помощью алгоритмов родоначальником которых были алгоритмы вроде энигмы. Изучение алгоритмов которые легли в основу современных устройств является важным и увлекательным процессом. Исследование принципов работы этих алгоритмов дает возможность понимать как устроены их современные аналоги, а также является моим первым шагом к дальнейшим работам в этой области.
Шифровальная машина ЭНИГМА
Энигма ? это электромеханическая роторная шифровальная машина, которая появилась на рынке Германии в начале 1920 года. Она была доступна широкому кругу покупателей, несмотря на то, что стоила не дешево. Первоначально Энигма использовалась в коммерческих целях. Существовало несколько модификаций Энигмы, которые отличались между собой компоновкой электромеханических схем, стоимостью и некоторыми незначительными внешними отличиями. Для нужд немецкой армии в 1927 была разработана специальная версия Энигмы. Данная версия отличалась значительно продвинутой системой шифрования над и без того совершенной на тот момент гражданской Энигмой. Нацисты с начала развязывания войны стали использовать Энигму, чтобы отправлять секретные сообщения.
Устройство Энигмы
Устройство Энигмы было одновременно и сложным и простым. Основная идея этого механизма заключалась в том, что вы вводили сообщения и получали код, а сама машинка была передатчиком. При этом любой мальчишка с помощью простого приемника мог перехватить сигнал, однако получал при этом бессмысленный набор букв.
Энигма напоминала печатную машинку. Каждая машинка была оснащена роторами то есть дисками с контактами, которые соответствовали 26 буквам алфавита от A до Z. Функция каждого ротора была проста ? элементарный шифр замены. Например, если вы нажимаете букву О, то контакт мог быть соединен с буквой Z или А и т.д.
Немцы использовали 5 видов роторов, для каждого из которых существовало 26 возможных положений. Все роторы были «шагающие», то есть каждый из них менял свое положение при любом нажатии клавиши.
Ситуация осложнялось тем, что все военные модели Энигмы были оснащены коммутаторами - еще одним видом защиты шифра, дающим возможность усложнить уровень перемешивания букв. У коммутатора было наибольшее число вариаций.
Для расшифровки сообщений необходимо было знать
- расположение роторов – выбор роторов и порядок, в котором они были установлены;
- настройки коммутационной панели ? соединения проводов в коммутационной панели.
Исходное положение роторов выбирал оператор, оно различалось для каждого сообщения/дня/периода. Прежде чем отправить зашифрованное послание, оператор набирал сообщение-ключ, содержащее буквы, видимые в исходной позиции роторов.
Все параметры настроек были расписаны на бумаге на каждый день месяца. Без этого документа никто не знал параметры Энигмы на определенный день. Интересная история - немцы писали эти коды растворимыми чернилами, поэтому если радиста захватывали в плен, он мог смочить лист, и тайна оставалась нераскрытой.
Кроме всего прочего, была надежда, что выкрав Энигму у нацистов, можно было расшифровать код. Однако педантичные немцы учитывали каждую шифровальную машинку, и если одна из них была захвачена, нацисты тут же переделывали настройки. Еще одним способом разгадывания немецких кодов, было внедрение спецагентов, которые передавали коды. Но и этот способ расшифровки немецких сообщений был ненадежен и недолговечен, так как в годы войны шпионов довольно быстро вычисляли.
Попытки расшифровки кода Энигмы
В годы войны расшифровкой кода Энигмы занимались гениальные математики разных стран. Одним из самых выдающихся ученых, внесших огромный вклад в разгадку загадочного кода, стал польский математик
Мариан Реевский. В 27-летнем возрасте он успешно закончил секретные курсы криптографии. В польском Бюро шифрования молодого ученого заметили, и именно ему поручили работать над расшифровкой кода. Реевский сразу же активно начал искать уязвимости ключа сообщений, выбирая из ежедневных шифрограмм первые шесть букв и составляя таблицы соответствий. Несмотря на то, что Реевскому удалось установить кодовые цепочки, на это было потрачено очень много времени. Энигма была усовершенствована, к ней были добавлены новые роторы, таким образом
концепция польского дешифрующего аппарата на тот момент оказалась бесполезной. Однако, благодаря Марианну Реевскому, и кропотливому труду других ученых математиков, несомненно, был проделан огромный пласт работы по разгадке секретного кода. Ученые вывели количество возможных кодовых комбинаций. Сделано это было так:
В немецком алфавите 26 букв, их можно расположить следующим образом 26х25х24х23х……… и так далее до 1, то есть 26!.
Итак формула вычисления:
______26!__________
6! 10! 210
Таким образом, число комбинаций на коммутаторе составило - 150 738 274 937 250. Следующим шагом ученые подсчитали общее число всех комбинаций Энигмы. Только вдумайтесь – 158 квинтиллионов 962 квадриллионов 555 триллионов 217 миллиардов 826 миллионов 360 тысяч. Это число всех ежедневных вариантов настройки Энигмы.
Изъян кода Энигмы
Казалось что брешь в обороне Энигмы невозможно найти и с помощью этой “руки смерти” враг продолжит забирать жизни. Все немецкие сообщений о дислокации войск, о предстоящих нападениях витало в воздухе. Все немецкие сообщения витали в воздухе и при этом оставались вне досягаемости. Тысячи людей подвергались огромной опасности.
Ученые бились над загадкой, но безуспешно. 18 часов в сутки было дано на то, чтобы взломать код, затем в полночь он опять менялся.
Если предположить, что 10 человек проверяли по одной комбинации в минуту – 24 часа в сутки, 7 дней в неделю, сколько же времени ушло бы на проверку всех комбинаций – это не дни и даже не годы. На это потребовалось бы 20 миллионов лет. А чтобы предотвратить возможную атаку немцев надо расшифровать код за считанные минуты.
Многие математики пытались разгадать этот код, но удалось это сделать только британскому математику Алану Тьюрингу, который возглавил работу ученых, и изобрел дешифровальную машину «Тьюринг бомб», строение которой представляло Энигму наоборот. Это была огромная шумная машина, но результаты были впечатляющими.
Немного остановлюсь на неоднозначной, но в то же время гениальной личности – Алане Тьюринге.
Алан Матисон Тьюринг (Alan Mathison Turing) родился 23 июня 1912 года в Лондоне в семье колониального чиновника, служившего в Индии. Тьюринг учился в престижной Шерборнской школе (Sherborne Public School) в Англии, где проявил незаурядные способности к математике и химии, затем в 1931 году поступил в Кингзколледж (King's College) Кембриджского университета.
В 1935 году он защитил диссертацию "Центральная предельная теорема теории вероятности" (которую он самостоятельно переоткрыл, не зная об аналогичной предшествующей работе) и был избран членом Научного общества колледжа. В то же время он впервые начал работать в области математической логики и проводить исследования, которые уже через год привели к выдающимся результатам.
В 1939 году британское военное ведомство поставило перед Тьюрингом задачу разгадать секрет "Энигмы". Тьюринг пригласил в созданный им отдел нескольких друзей шахматистов. Уже через полгода было разработано устройство, названное им "Бомбой", которое позволяло читать практически все сообщения. А спустя ещё год был "взломан" и более сложный вариант "Энигмы", использовавшийся нацистскими подводниками.Тьюринг считается основоположником не только вычислительной техники, но также и искусственного интеллекта.
Как же была взломана Энигма?
В начале работы, описывая строение Энигмы, я отметил, что если вы нажимаете букву О, то она становиться буквой А, Z и т.д. В этом и состоял изъян кода! Буква никогда не становилась сама собой!
Необходимо было только понять, какое одинаковое слово использовалось в шифровке. И это было сделано. Для разгадывания немецких шифров использовалась известная слабость всех военных и секретных служб: бессмысленное засекречивание того, что вообще не нуждалось в
секретности - немцы каждое утро передавали прогноз погоды, а заканчивали фразой Хайль Гитлер.
Ученым оставалось только выставить роторы и коммутаторы в необходимые позиции, и «Тьюринг бомб» за 20 минут путем сложных вычислений выдавал текст шифровки.
Выводы
Математика неразрывно связана с развитием человечества и во многом определяет ход истории. Ярким тому примером служит история создания и взлома Энигмы. Именно математика стала камнем преткновения в самой страшной странице истории человечества. Самоотверженный труд лучших умов человечества помог спасти жизни огромного числа людей. И тем самым помог закончить мировую войну.
Разработанные методы и модели дешифровки легли в основу множества современных технологий. Машина “Бомб” фактически является прародителем современных компьютеров, без которых невозможно представить современный мир. Новейшие системы шифрования обеспечивающие финансовые операции и свободный обмен информации в интернете стали результатом ожесточенной борьбы между математиками во время Второй Мировой войны.
Список используемой литературы
Шифровальная машина Энигма. Устройство и реализация.
Режим доступа: /shifrovalnaya_mashina_yenigma_ustroystvo_i_realizatsiya_3193200/
Правда и вымысел о немецком шифраторе Enigma. Режим доступа:https://www.tvc.ru/news/show/id/67525
Информационная безопасность времен Второй мировой: взлом
«Энигмы». Режим доступа:https://www.kaspersky.ru/blog/ww2-enigma-hack/7715/
Алан Тюринг, взломавший код «Энигмы».
Режим доступа:https://inosmi.ru/world/20130722/211183278.html
5. Презентация «Война математиков», Озеров Владислав. Режим доступа: https://yadi.sk/i/nDu3htaKi4Hrew