X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Аликвотные дроби
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Однажды мы с друзьями пошли в магазин. И там купили кисть из 5 бананов. Но нас было 8 человек. Возникла задача: «Как разделить 5 бананов на 8 человек?». Конечно, мы разделили каждый банан на 8 частей и взяли по 1 кусочку от каждого банана. Но, придя домой, я задумался: «Есть ли способ более короткий?». Так я узнал про аликвотные дроби. Это задача из папируса Ринда.
Аликвотные дроби (от латинского aliquot – «несколько») – это дроби вида , где n – натуральное число.
И так, , следовательно, достаточно было бы разделить 4 банана на половинки и 1 банан на 8 частей. То есть мы бы сделали 11 разрезов вместо 35. Ещё вариант: . Он менее удобен, но возможен. С другой стороны, если бы нас было другое количество, то вопрос уже просто так не решался.
Рассмотрим некоторые примеры: , . Таким образом, я предположил, что аликвотные дроби являются теми «кирпичиками», на которые возможно разложение любой обыкновенной дроби. Понятно, что любую обыкновенную дробь можно разложить на сумму равных аликвотных дробей (например: ). А саму аликвотную дробь можно ли разложить на другие аликвотные? Сколькими способами это можно сделать? Таким образом, возникает гипотеза о существовании свойств относительно действий сложения и вычитания у такого математического объекта как аликвотная дробь. Это я и решил выяснить.
Краткий обзор используемой литературы. В работах Ван дер Вадена [2],
Раика А. Е. [7], Яновской С. А. [10] широко рассматривается применение аликвотных дробей в различных сферах деятельности человека древних цивилизаций. В указанных работах рассматриваются алгоритмы разложения дробей вида на сумму или разность аликвотных дробей из папируса Ринда. Суть метода: сначала определяется остаток (дробь, меньшую ) от деления n на 2, а потом этот остаток умножается на . Приведены таблица перевода дробей (n = 2k +1, ). Однако, этот метод уже не применяется для дробей, у которых в знаменателе находится составное число. Например, по методу должно быть: , а в таблице: . Общей формулы разложения не найдено. На возможный подход к решению этой проблемы указывает О. Нейгебауер [5]. Он высказывает гипотезу: исходя из одной или из двух последовательных основных дробей, возникающих в результате последовательного деления пополам, а именно и ., можно получить разложение. Например, используя дробь 1/3, он получает разложение дроби: . Нейгебауеру удалось найти суть метода, но формул получено не было.
Интересной для изучения является реконструкция Джиллингса [7]. Он предложил работать с числителем: . Раскладывая дробь на сумму аликвотных дробей и выполняя обратные преобразования (сумму в дробь), получил разложение . Итак, Джиллингс нашел метод, по которому разлагаются все дроби в папирусе Ринда, но выкладки отличаются громоздкостью и недостаточной прозрачностью.
Наиболее полную формулу привёл Фибоначчи: ,
где - частное от деления n на m, округлённое до целого в большую сторону, а - (положительный) остаток от деления -n на m [5]. Данная формула не даёт ответа при m = 1; в некоторых случаях разложение может быть получено не по формуле в виде суммы дробей с меньшими знаменателями.
Интересную идею предложил М. В. Остроградский представления рациональной дроби методом последовательных приближений через сумму аликвотных дробей [8].
При разборе заданий ЕГЭ А. В. Шевкин [9] предложил 4 формулы, по которым можно разложить любую аликвотную дробь на сумму двух аликвотных дробей.
Цель: найти закономерности разложения аликвотной дроби и способ разложения дроби на сумму (разность) аликвотных дробей.
Задачи исследования: изучить историю развития и применения аликвотных дробей, литературные источники и Интернет-ресурсы по теме;сформулировать и доказать теоремы о некоторых свойствах аликвотных дробей; предложить способ разложения дроби на сумму (разность) аликвотных дробей.
Методы исследования: сравнение, обобщение, аналогия, изучение литературных и Интернет – ресурсов, анализ и классификация найденной информации.
Гипотеза: у всех аликвотных дробей есть свойства относительно действий
сложения и вычитания.
Актуальность исследования продиктована широким применением аликвотных дробей древними цивилизациями при решении конкретных практико-ориентированных задач, отсутствием общей стройной теоретической базы по рассматриваемой тематике.
Характеристика личного вклада в решение избранной проблемы. В данной работе рассматривается способ разложения аликвотной дроби на сумму (разность) аликвотных дробей в зависимости от разложения знаменателя на множители. Доказано, что если n – простое число, x, y – натуральные числа ( ), то разложения вида и - единственны, причём x, y – чётные числа ( ).Показано, что любая аликвотная дробь может быть разложена на сумму аликвотных дробей только по преобразованиям П2 – П5 [9] для каждой пары множителей a и b ( ). Получены преобразования П6 – П9 для разности. Указаны возможности совпадения разложений в зависимости от пар множителей a и b для разности и для суммы. Предложен способ разложения дроби на сумму (разность) аликвотных дробей ( ).
Глава 1. Вспомогательные теоретические сведения по теории чисел
§1. Выводы по истории развития и применения аликвотных дробей
Анализируя опыт человечества по применению аликвотных дробей можно сделать следующие выводы: некоторые аликвотные дроби или дроби вида разлагаются на сумму (разность) двух или более двух аликвотных дробей; известны идеи таких способов: разложение по остатку, либо по представлению m в виде суммы (разности) аликвотных дробей, либо по формулам.
Более того, указанные выше разложения зависят от множителей, на которые раскладывается знаменатель дроби (в литературе приведены различные результаты в зависимости от пар множителей). Поэтому возможен способ разложения, основанный на этой зависимости.
Возникают вопросы: «В каких случаях этот способ применим?», «Если он
применим, то будет ли это разложение единственным?». Для ответа на поставленный вопрос мне потребуются теоретические знания.
§2. Вспомогательные теоретические сведения
Представление натурального числа n в виде произведения двух натуральных чисел ab называется разложением числа на множители. Пример: 24=1∙24=2∙12=3∙8=4∙6 (можно разложить 4 способами: порядок множителей не играет роли); 19=1∙19 (1 способ, так как 19 - простое число).
Представление числа в виде произведения простых чисел называется разложением натурального числа на простые множители. Пример: 24=2∙2∙2∙3=23∙3.
Каноническим разложением натурального числа n (n > 1) называется представление n в виде (1), где - попарно различные простые числа, а – натуральные числа. Пример: 24=23∙3.
Основная теорема арифметики. Для каждого натурального числа n > 1
существует единственное каноническое разложение.
Теорема 1 (запись делителя натурального числа n). Пусть n - натуральное число и - его каноническое разложение на простые множители. Тогда каждый натуральный делитель a числа n может быть записан в виде , где - целые числа, удовлетворяющие условиям .
Теорема 2 (количество делителей натурального числа). Пусть - каноническое разложение на простые множители натурального числа n . Тогда число натуральных делителей числа n, включая 1 и само число n, выражается формулой (2).
Следствие 1 (о количестве делителей квадрата натурального числа). Если натуральное число n является квадратом некоторого натурального числа, то число nимеет нечётное число делителей ( - нечётное число).
Следствие 2 (о количестве делителей числа, не являющегося квадра-
том натурального числа). Если натуральное число n не является квадратом некоторого натурального числа, то число nимеет чётное число делителей ( - чётное число).
Все описанные определения, теоремы, следствия были найдены в [1], [3], [6]. Далее доказываю следствия, необходимые для дальнейшего исследования.
Следствие 3. Все делители натурального числа различны. Это следует из того, что все делители составляются по теореме 1 из различных наборов показателей степеней , а основаниями этих степеней являются простые числа (все простые числа взаимно просты).
Следствие 4. Все делители натурального числа можно расположить в порядке возрастания, так как они все различны.
Можно ввести понятие соделителя b к делителю a числа n – это такой
делитель b числа n, что ab = n. Для каждого a существует только одно b, причём
числа aи b всегда различны, если число n не является квадратом некоторого натурального числа, и они могут совпадать в противном случае.
Пример 1. 36 = 62. 36=2∙2∙3∙3=22∙32. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. . Образуем пары чисел (a, b). 36 = 1∙36 = 2∙18 = 3∙12 = 4∙9 = 6∙6 . То есть количество способов разложения числа 36 на 2 множителя равно .
Пример 2. 18 = 2∙3∙3=21∙32. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. . Образуем
пары чисел (a, b). 18 = 1∙18 = 2∙9 = 3∙6. То есть количество способов разложения числа 18 на 2 множителя равно .
Следствие 5. Если натуральное число n не является квадратом некоторого натурального числа, то его можно представить в виде произведения в двух множителей способами. Это следует из того, что количество делителей n - чётно, а для каждого делителя a существует только один соделитель b, то возможно образовать только пар из a и b (ab = n).
Следствие 6. Если натуральное число n является квадратом некоторого натурального числа, то его можно представить в виде произведения в двух множителей способами. Доказательство. Количество делителей n - нечётно, а для каждого делителя a существует только один соделитель b, то возможно образовать пар из a и b ( , ab = n; - целая часть от ). Один делитель остаётся без пары, но это именно тот делитель, квадрат которого есть n. Поэтому количество способов будет равно .
Глава 2. Преобразования, позволяющие представить аликвотную дробь в виде суммы двух аликвотных дробей
Известно [5]:
П1: Представление в виде суммы двух равных дробей: .
Представление в виде суммы двух неравных аликвотных дробей:
П2:
П3:
П4:
П5:
§1. Анализ преобразований П2 – П5.
Рассмотрим примеры разложений некоторых аликвотных дробей по преобразованиям П2 – П5.
Пример 3. Каждое
преобразование даёт новое разложение, причём одно и то же представление знаменателя в виде двух множителей (6=2∙3) даёт 3 различных разложения.
Пример 4. Преобразования П4, П5 дают одно и то же разложение при одном представлении знаменателя в виде двух множителей (8=2∙4).
Пример 5. Преобра-
вания П3, П5 дают одно и то же разложение при разных представлениях знаменателя в виде двух множителей (24=6∙4= 2∙12).
Пусть разложение дроби имеет вид: . Будем считать, что разложения и совпадают, если или .
Рассматриваем различные случаи совпадения преобразований.
Сравниваем П2 с П3. Получаем:
или . Тогда или . Но , поэтому возможно, при или при . То есть совпадение П2 и П3 возможно только тогда, когда , а . Аналогично поступаем с другими преобразованиями. Создаём таблицу совпадений.
Таблица 1 (совпадений)
|
(одно представление) |
(два представления) |
||||||||
|
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
||
|
П2 |
нет |
нет |
нет |
||||||
|
П3 |
нет |
||||||||
|
П4 |
|||||||||
Преобразование П1 позволяет сделать вывод: любую аликвотную дробь
всегда можно представить в виде суммы двух равных аликвотных дробей.
Преобразования П2 – П5 допускают поставку проблемы: существуют дроби, для которых выполняется только одно преобразование (вопрос о единственности представления)? Возможны ли другие аналогичные преобразования?
§2. Разложение дроби (n – простое число) на сумму двух неравных аликвотных дробей
Теорема 3. Аликвотная дробь, в знаменателе у которой простое число,
раскладывается единственным образом на сумму двух неравных аликвотных дробей по преобразованию П2.
Доказательство. Будем искать разложение в виде: (8), где n – простое число, x, y – натуральные числа ( ). Преобразуем (8). Получили уравнение . Надо его решить в натуральных числах. То есть ищем натуральные x, y, чтобы выполнялось равенство , где n – простое. Преобразуем уравнение: . Раскладываем на множители левую часть методом группировки: и - целые числа, и , то получаем 6 систем для решения уравнения:
Решения систем:
Так как , то решения систем (1) и (2) совпадают. Системы (3) - (5) не имеют решений в условиях x, y – натуральные числа, . Таким образом,
уравнение имеет единственное решение. Это представление
единственно, если n – простое. Это П2. Теорема доказана.
Следствие. Дробь (n – простое число, ) всегда раскладывается на сумму двух аликвотных дробей с чётными знаменателями. Если n = 2, то . Эти разложения единственны.
Глава 3. Преобразования, позволяющие представить аликвотную дробь в виде разности двух аликвотных дробей
§1. Формулы преобразований для разности (a, b, n - натуральные числа)
Получаю формулы преобразований для разности:
П6:
П7:
П8:
П9:
§2. Анализ преобразований П6 – П9.
Поступаем аналогично анализу преобразований для суммы. Пусть разложение дроби имеет вид: . Будем считать, что разложения и совпадают, если , если
Рассматриваем различные случаи совпадения преобразований.
Например сравниваем П6 с каждым из. Получаем: Тогда . Но , поэтому возможно, при . То есть совпадение П6 и П8 возможно только тогда, когда , а . Аналогично поступаем с другими преобразованиями. Совпадения: П6 с П7-П9, если , ; П7 с П8, если ; П8 с П9, если . Совпадений среди различных разложений n на множители нет.
Преобразования П6 – П9 допускают поставку проблемы: существуют дроби, для которых выполняется только одно преобразование (вопрос о единственности представления)? Возможны ли другие аналогичные преобразования?
§3. Разложение дроби (n – простое число) на разность двух неравных аликвотных дробей
Теорема 4. Аликвотная дробь, в знаменателе у которой простое число, рас-
кладывается единственным образом на разность двух неравных аликвотных дробей по преобразованию П6.
Доказательство. Будем искать разложение в виде: (9), где n – простое число, x, y – натуральные числа ( ). Заметим, что . Поэтому поступаем аналогично доказательству теоремы 3, создавая системы, в которых y заменяем на -y. Решаем эти системы в натуральных числах при .
Решения систем:
Системы (1) - (3), (5), (6) не имеют решений, если x, y – натуральные числа, . Тогда уравнение имеет единственное решение. Это представление - единственно, если n – простое. Это П6. Теорема доказана.
Следствие. Дробь (n – простое число, ) всегда раскладывается на
разность двух аликвотных дробей с чётными знаменателями. Если n = 2, то
. Эти разложения единственны.
Глава 4. Разложение дроби (n , к – натуральные числа, n – составное) на сумму (разность) двух неравных аликвотных дробей
§1. Разложение дроби (n , к – натуральные числа ( ), n – составное) на сумму (разность) двух неравных аликвотных дробей
Рассуждения. Рассмотрим дробь (n , к – натуральные числа ( ), n –
составное). Покажем, что раскладывается на сумму двух неравных аликвотных дробей по преобразованиям П2 – П5.
Так как n – составное, то его можно разложить на пары множителей . , , где - число делителей натурального числа n. Будем искать разложение в виде: (8), где n – простое число, x, y – натуральные ( ). Поступаем аналогично предыдущей теореме. Получаем уравнение: Надо решить это уравнение в целых числах. и - целые числа. Рассмотрим 1 пару . Это 1, n. Используя доказательство теоремы 3, получаем решение: (П2). Отметим, что раскладывать n на множители не надо, так как получится какая-то пара , для которых в дальнейшем будут проведены рассуждения. Для других пар возможны следующие представления n2 из 4 групп:
,
,
,
.
Отметим, что 1 группа встречается в каждой паре множителей (решение уже получено при доказательстве теоремы 3): . Для 2 группы получаем 4 системы:
.
Системы (3) и (4) не имеют решений в натуральных числах ввиду того, что
. Так как , то решения систем (1)
и (2) не изменяют (8). . Получаем разложение П4: Для 3 группы получаем опять 4 системы. . Системы (3) и (4) не имеют решений в натуральных числах, так как и разных знаков. Получаем решение для 3 группы, учитывая, что . Разложение имеет вид: Это П5. Аналогично для 4 группы получаем разложение П3:
Замечание. Утверждать, что для каждого представления знаменателя в виде двух множителей существуют 4 преобразования нельзя, так как могут быть совпадения согласно таблице 1. С другой стороны существуют только 4 преобразования, представляющие аликвотную дробь в виде суммы двух неравных
аликвотных дробей.
Следует отметить, что для представления в виде разности необходимо предварительно сделать замену y на –y и далее выполнять аналогичные преобразования и рассуждения.
§2. Разложение дроби (n , к – натуральные числа, ) на сумму (разедвух неравных аликвотных дробей
Рассмотрим теперь случай, когда , где n , k – натуральные числа. Отличается от предыдущего рассуждения тем, что добавляется разложение . Для решения уравнения в целых числах получаем аналогичные системы, как и при доказательстве теоремы 3.
Их решения для x, y натуральных (x ≠ y): , так как
, то решения систем (1) и (2), (3) и (4) совпадают. Тогда получаем для разложения: и .
Это частные случаи преобразований П2, П3 (П4).
Следует отметить, что для представления в виде разности необходимо предварительно сделать замену y на –y и далее выполнять аналогичные преобразования и рассуждения.
§3. Применение преобразований П2 - П9 для разложения дробей
Если n – чётное ( ), то .
Если n – простое, то . Пример . . Другого разложения нет. Для разности: .
Если n – составное, нечётное ( ), то можно воспользоваться одним из преобразований П3-П5. Например: . Пример: . Возможны другие разложения.
Аналогично можно применить и при . П6 - П8 - для разности. П2 -П5 – для суммы.
Заключение
Аликвотные дроби играли значительную роль в жизни человек при решении практико-ориентированных задач. Аликвотные дроби применялись в тех случаях, когда надо было разделить какое-то целое на равные части с наименьшим количеством действий.
В древности люди придумывали различные способы представлений обыкновенных дробей в виде суммы аликвотных дробей и создавали таблицы, аналогичные таблицам умножения. В результате изучения литературных источников были выявлены следующие способы: разложение по остатку, либо по представлению m в виде суммы (разности) аликвотных дробей, либо по формулам. Более того, эти методы не объясняли представления одной и той же дроби в виде различных разложений.
Поэтому в работе рассматривается метод работы со знаменателем аликвотной дроби – разложение его на множители.
В работе доказано, что если n – простое число, x, y – натуральные числа ( ), то разложения вида и - единственны, причём x, y – чётные числа ( ). Показано, что любая аликвотная дробь может быть разложена на сумму аликвотных дробей только по преобразованиям П2 – П5 [9] для каждой пары множителей a и b ( ). Получены преобразования П6 – П9 для разности. Указаны возможности совпадения разложений в зависимости от пар множителей a и b для разности и для суммы. Удивительным фактом в применении доказанной теории является то, что по разным способам представления знаменателя на произведение множителей, может получиться одно и то же разложение аликвотной дроби в виде суммы двух аликвотных дробей.
Предложен способ разложения дроби на сумму (разность) аликвотных дробей ( ). Данный способ можно в дальнейшем обобщить и для любой рациональной дроби.
Литература
Бардушкин В. В., Кожухов И. Б., Прокофьев А. А., Фадеичева Т. П. Основы теории делимости и решение уравнений в целых числах (факультативный курс). – М.: МИЭТ, 2004.
Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959.
Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.
Египетские дроби. [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Египетские_дроби (Дата обращения: 09.08.2020).
Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. Том 1. Догреческая математика. - М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1937
Прокофьев А. А. Математика. ЕГЭ. Задачи на целые числа (типовое задание 19): учебно-методическое пособие / А. А. Прокофьев, А. Г. Корянов. – Издание 2-е, перераб.- Ростов-н/Д: Легион, 2018.
Раик А.Е. К теории египетских дробей. Историко-математические исследования / Под редакцией А. П. Юшкевича. — Выпуск ХХIII. — Москва: Наука, 1978, с. 181—191.
Ремез Е. Я. О знакопеременных рядах, которые могут быть связаны с двумя алгорифмами М. В. Остроградского для приближения иррационных чисел // Успехи мат. наук. — 1951.— Т.6, вып.5.— С.33–42.
Шевкин А. В. Задачи 19 из ЕГЭ-2017. Аликвотные дроби. [Электронный ресурс]. URL: http://www.shevkin.ru/wp-content/uploads/2017/03/Zadachi-19.-Alikvotny-e-drobi.docx (Дата обращения: 09.08.2020).
Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды института истории естествознания. Т.1. - М.: АН СССР, 1947, с. 261—282.