X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Необычные геометрические фигуры: Флексагоны

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Малышкина Е.А. 1

---

1Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 13 имени Ю.А. Гагарина»

Дубынина Т.В. 1

---

1Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 13 имени Ю.А. Гагарина»

Работа в формате PDF

3.3 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Как известно, математика – наука, с которой начинают знакомиться в школе с первого по одиннадцатый класс. Одним из наиболее интересных, красивых и необычных её разделов является геометрия. В начале XX века великий французский архитектор Ле Корбюзье сказал: «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия». Эти слова очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Геометрия – древнейшая наука, возникшая еще до нашей эры. В переводе с греческого, слово «геометрия» означает «землемерие» (geо – земля и metreo – мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, строительстве дорог, зданий и других сооружений. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей, а потом сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических форм [1].

С элементами геометрии мы начали знакомиться на уроках математики еще в младших классах. И уже к восьмому классу мы знакомы с основными геометрическими фигурами: точка, прямая, отрезок, треугольник, квадрат, прямоугольник, круг, конус, шар, куб и др. Но лишь единицы из нас с большим интересом восприняли разделение математики на две отдельные дисциплины. Ни для кого не секрет, что любое появление новых предметов в школьном курсе вызывает стресс и страх не справиться и не освоить такой большой объем новой информации. К сожалению, геометрия входит в список так называемых «страшных» предметов. Именно поэтому, любая популяризация знаний, интересных фактов, различных геометрических головоломок является по-прежнему актуальной [3].

До начала работы, я попыталась выяснить отношение ребят, моих сверстников к этому предмету. Для того чтобы узнать их мнение по поводу «недоступности» геометрии, осознания её применимости в различных сферах жизни, или возможности обойтись без знания геометрии… Созданная нами анкета является частью анкетирования о целях математического образования, опирается на цели предложенные академиком А.Н. Колмогоровым и содержит только один вопрос: «Как вы думаете, для чего нужна геометрия?» Предложенные ответы, предлагается расставить в порядке важности.

Ответы:

геометрия помогает ориентироваться в окружающем мире;

геометрический подход помогает решать задачи других учебных предметов;

геометрия помогает нам изучать, предметы действительного мира;

геометрия помогает в повседневной жизни;

геометрия помогает тренировать мозг.

В анкетировании участвовали 45 чел. учащиеся 8 класса. Обработка результатов приведена в Приложении № 1. В результате мы выяснили: что большая часть опрошенных на первое и второе место ставят способность геометрии тренировать мозг (29% и 36%). То, что геометрия помогает понять, как устроен мир, ставится на третье место (31%). Применению геометрии в повседневной жизни и для ориентации в окружающем мире отводятся 4 и 5 места (38% и 44%). Несмотря на то, что расстановка целей школьниками не в полной мере совпадает с целями математического сообщества, мы решили сыграть на тренировке мозга и попытаться применить результаты таких тренировок к повседневной жизни.

Чтобы как-то заинтересовать моих одноклассников в изучении геометрии, я решила узнать и донести до них информацию о необычных геометрических фигурах, о тех геометрических фигурах, которые мы не изучаем на уроках геометрии в школе, но именно они окружают нас в действительности, в архитектуре, в компьютерных играх и головоломках [4]. Работу над проектом я начала ещё в 5-м классе, рассматривая тогда тему «Геометрические сказки: Фракталы», затем в 6-м классе изучила и построила фрактал «Снежинка Коха», при работе над проектом в 7-м классе я узнала о таких необычных геометрических объектах как лента Мёбиуса, полимино, полиамонд. Рассмотрела некоторые принципы построения мозаик, познакомилась с искусством Мориса Эшера. Каждый из этих объектов, вполне может стать в дальнейшем темой более подробного исследования и передо мной открываются всё новые и новые горизонты. Кроме того, публикуя тексты своих работ, участвуя в школьных научно-практических конференциях, я знакомлю с результатами своих исследований сверстников и тем самым способствую формированию интереса к геометрии как к науке. В этом году тема моего исследования «Флексагоны», уверена, что очень немногие знают, что такое флексагон. Я провела опрос среди учеников 10-х классов и взрослых людей: родителей одноклассников, друзей родителей, людей разных профессий. Я задала им вопрос: «Знаете ли Вы, что такое флексагон?» и попросила написать несколько предположений о том, что это может быть.

И, как показал опрос из 22-х десятиклассников и 22 взрослых более половины не знают, что такое флексагон. 7 десятиклассников предполагают, что это сложная геометрическая фигура. Результаты приведены в Приложении № 3.

Из всех предположений, самым неожиданным оказалось то, что флексагон – это таблетки. А между тем, это очень увлекательная головоломка, развивающая пространственное мышление и воображение, моторику и творческие способности.

Гипотеза: работа поможет мне и моим одноклассникам познакомиться с необычными геометрическими объектами, что благоприятно скажется в будущем при решении олимпиадных задач, изучении геометрии и возможно послужит основой конструирования и моделирования сложных объектов окружающего нас мира.

Цель: развитие интереса к изучению геометрии, пространственного воображения и логического мышления с помощью необычных геометрических фигур – флексагонов.

Для достижения цели мы должны решить следующие задачи исследования.

Задачи:

Исследовать уровень осведомлённости в данном вопросе (опрос, интервью).

Изучить историю открытия флексагонов.

Рассмотреть классификацию, привести примеры.

Разобраться в технике создания флексагона по готовым чертежам (тритетрафлексагон и гексатетрафлексагон).

Изготовить несколько разновидностей флексагонов (тритетрафлексагон и гексатетрафлексагон).

Придумать свой бумажный калейдоскоп (тетратетрафлексагон) на тему «Геометрические правила и признаки».

Провести развивающее занятие с одноклассниками.

Практическая значимость: Анализ ценностного отношения учеников к предмету, расширение кругозора. Развитие пространственного воображения, памяти, творческого мышления. Пополнение «методической копилки» кабинета математики.

Теоретическая часть

Какие бывают необычные геометрические фигуры

С самого начала на уроках геометрии мы изучаем простые фигуры, которые являются плоскими, то есть располагаются в одной плоскости (треугольник, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, квадрат, ромб, многоугольник, круг и овал).

Затем перед нами открывается мир объемных фигур (куб, шар, конус, цилиндр, пирамида, параллелепипед). Необходимо представлять и понимать, как они устроены, и как грамотно их нарисовать.

Но, оказывается, существуют и необычные, и не менее интересные геометрические объекты, которые также окружают нас, но не каждый с ними знаком. Мы уже познакомились с фракталами, полимино, лентой Мёбиуса, которая обладает односторонней поверхностью [4]. При работе над проектом мы познакомились с многослойным многоугольником, который можно по-разному перегибать. Называется он флексагон (Рис.1 П4).

1.1.1. История возникновения флексагона

Флексагон – «Бумажный калейдоскоп» – так можно еще назвать флексагон. Интересный факт: как и многие удивительные вещи в мире, флексагоны были открыты по чистой случайности. Придумать флексагоны помогло одно обстоятельство – различие в формате английских и американских блокнотов. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм.

В конце 1939 года Артур Гарольд Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстонском университете (США), обрезая листы американского блокнота, решил немного развлечься. Он принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трёх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность.

Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Почувствовав, что за загадочной фигурой скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайан Таккерман и Джон Тьюки. Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского to flex – складываться, сгибаться, гнуться) [2].

Так что же это такое?! Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы. Которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов, их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрываемые поверхности, неожиданно выходят наружу.

Было обнаружено, что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей. Таккерман ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 поверхностями! Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя поверхностями) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями).

Для образования названий того или иного флексагона применяется заимствованная из органической химии международная система, в основу которой, как известно, положены принципы теории химического строения А.М. Бутлерова. Впереди – числительное, показывающее, сколько плоскостей имеет данный флексагон. На втором месте – числительное, определяющее форму флексагона, и в заключение – известное уже слово, обозначающее, что все это гнется и складывается. Например, вот какие приставки будет иметь флексагон с 3-мя плоскостями - три- , а с 4-мя плоскостями - тетра-; с 5-ю плоскостями - пента-, а с 6-ю - гекса-; с 7-ю - гепта-, а с 8-ю - окта-; с 9-ю плоскостями – эннеа - или нона- (лат.), а с 10-ю плоскостями - дека-; с 11-ю - ундека- (гендека-), с 12-ю - додека-; с 13-ю - тридека- и т.д.; с 20-ю плоскостями – эйкоси- (эйкоса-), с 25-ю - пентакоса-; с 30-ю плоскостями – триаконта-, с 40-ка плоскостями - тетраконта-, а с 100 плоскостями – гекта-. Флексагоны в форме треугольников называют гексафлексагонами (от греческого слова три), флексагоны в форме квадратов называют тетрафлексагонами (от греческого слова четыре))[5].

Виды флексагонов

Флексагоны в форме квадратов называют тетрафлексагонами (от греческого слова четыре). Самый простой из них – тритетрафлексагон. Этот флексагон, имеет всего три поверхности. Заметим, что меньше поверхностей у флексагона быть не может: ведь две поверхности имеет обычный лист бумаги, поэтому для того, чтобы было чему прятаться, поверхностей должно быть хотя бы три [2].

Существуют еще такие виды тетрафлексагонов:

- тритетрафлексагоны – это флоксагоны в форме квадратов с 3-мя поверхностями (Рис. 2 П4);

- тетратетрафлексагоны – это флексагоны в форме квадратов с 4-мя поверхностями (Рис. 3 П4);

- гексатетрафлексагоны - это флексагоны в форме квадрата с шестью поверхностями (Рис. 4 П4). Эта разновидность тетрафлексагонов обладает необычным свойством: их можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей.

Практическая часть

Тритетрафлексагон

Тритерафлексагон легко сложить из заготовки, образованной шестью квадратами (Рис. 1 П5).

Вырежем эту заготовку и несколько раз сложим её по всем границам квадратов. Сложим нашу заготовку по схеме (Рис. 2в П5) и склеим два правых квадратика готового флексагона скотчем, как показано на схеме (Рис. 2г П5). Наш тритетрафлексагон готов [2].

Как вы можете убедиться, выполнить его оказалось просто.Чтобы раскрыть «прячущуюся» плоскость тритетрафлексагона достаточно согнуть его пополам по вертикальной оси и развернуть получившуюся «книжечку» спереди. Такой способ перегибания флексагона называется плоским. Во время раскрытия очередной плоскости я заметила следующее: флексагон раскрывался только в том случае, если сгибать плоскость с цифрами 2, т.е. заготовку всё время надо поворачивать / переворачивать к себе на 180^о.

Тетратетрафлексагон

Для его изготовления удобнее всего взять прямоугольный кусок тонкого картона и разграфить его на 12 квадратов. Нумерация квадратов на обеих сторонах листа показана на (Рис.1(а и б) П6). Пунктиром обозначены линии разрезов.

Взяв прямоугольник так, чтобы лицевая его сторона(Рис.1а П6)была обращена к нам, отогнем вниз и налево язычок из двух центральных квадратов с цифрами 2 и 1 и подогнем правый столбец. То, что при этом получится, показано наРис. 3 П6. Еще раз подогнем правый столбец и загнем на себя и вправо квадрат с тройкой, торчавший до сих пор слева. После этих операций все квадраты с 1 окажутся сверху. Два центральных квадрата склеим прозрачной лентой так, как показано на Рис. 5 П6.

Не составляет особого труда догадаться, как следует перегнуть тетратетрафлексагон, чтобы увидеть квадраты с единицами, двойками и тройками. Несколько труднее увидеть четверки. Трудность отыскания «листка» с четверками превращает его в занимательную головоломку.

Гексатетрафлексагон

Гексатетрафлексагон – это флексагон в форме квадрата с шестью поверхностями. Вырежем заготовку (Рис. 1 П7) сделаем прорезь в центре по выделенным линиям. Сложим нашу заготовку по схеме (Рис. 2 – 5 П7) [2].

Гексатетрафлексагон готов. Складывание этого флексагона потребовало больших усилий, но результат был намного интереснее. Чтобы отыскать спрятанные плоскости мне пришлось применять не только плоское перегибание, но и объемное. Иногда я «заходила в тупик» и не могла открыть «новую» плоскость, приходилось возвращаться на несколько «шагов» назад и начинать всё сначала.

Заключение

Работа над проектом, во-первых, научила меня использовать элементы статистики для анализа общественного мнения (методика обработки результатов, работа с таблицами, работа с круговыми и столбчатыми диаграммами, определение долей, процентов, анализ информации). Во-вторых, изучая источники, я познакомилась с миром новых геометрических объектов и их классификацией. В-третьих, используя схемы я училась создавать флексагоны и находить их скрытые поверхности, что оказалось не такой уж и лёгкой задачей. Наряду с плоским я училась применять и объёмное перегибание. В результате изготовила несколько видов флексагонов и подготовила видеоролики, которые могут служить наглядными пособиями в кабинете математики при работе математического кружка. В-четвёртых, используя результаты опроса, я попыталась применить один из видов этих новых геометрических объектов для «гимнастики ума» с элементами структурирования материала и создала интеллект карту по геометрии. В-пятых, я провела занятие в рамках внеурочной деятельности, на котором познакомила одноклассников с новыми необычными объектами и надеюсь заинтересовала, познакомив не только с увлекательной головоломкой, но и с одним из возможных способов структурирования информации. Таким образом, все поставленные задачи решены. Я и мои одноклассники в очередной раз убедились, что геометрия может быть интересной, красивой и увлекательной, значит наша цель достигнута.

Список источников

Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. Организаций / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др]. - 2-е изд. – М. : Просвещение, 2014. – 383с. (5с.)

Жарковская Н.А., Максимов Д.В. Математический клуб «Кенгуру». Флексагоны. Коллекция «Кенгуру». Выпуск № 23. Cadet, Junior. СПб. – 2016. – 32 с., ил.

Косян А. С., Калинина Е. А. Математический кружок «Наглядная геометрия» для учащихся 7 класса как средство привития интереса к изучению курса геометрии // Молодой ученый. — 2018. — №20. — С. 391-393.

Электронный ресурс: https://qwizz.ru/удивительные-фигуры-геометрии/

Электронный ресурс: https://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон

Электронный ресурс: http://www.razlib.ru/matematika/matematicheskie_golovolomki_i_razvlechenija/p19.php Глава 17 Тетрафлексагоны

Приложение № 2

Результаты анкетирования

Табл.1 Результаты анкетирования (количество голосов)

Табл.2 Результаты анкетирования (в процентах)

Приложение 3

Результаты интервью

Табл. 1. Результаты опроса взрослых (количество голосов)

Табл. 2. Результаты опроса взрослых (в процентах)

Приложение 4

Флексагон. Виды флексагонов.

Приложение 5

Сборка тетрафлексагона.

Приложение 6

Сборка тетратетрафлексагона.

Приложение 7

Сборка гексатетрафлексагона.