X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Парабола и её фокальное свойство
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Прошлогодний проект, связанный с циклоидой и некоторыми другими циклоидальными кривыми, вызвал у нас неподдельный интерес, и в этом учебном году мы решили продолжить работу с замечательными кривыми. Долго искать новый объект для исследования не пришлось. Однажды, обратив своё внимание на параболу, мы обнаружили достаточное количество интересных свойств, которыми она обладает. Оказалось, что данная кривая имеет широчайшее практическое применение, а мы и не догадывались об этом…
Цели работы:
Собрать теоретический материал о параболе;
Получить доступный нам алгоритм построения параболы на клетчатой бумаге с использованием циркуля;
Теоретически доказать фокальное свойство параболы;
Создать динамическую модель параболы в математической среде Geogebra;
Экспериментально проверить гипотезу проекта.
Гипотеза исследования:
Луч, пришедший параллельно оси параболы, после отражения от параболы попадает в её фокус.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
П усть на плоскости задана прямая dи точка F, не принадлежащая этой прямой. Геометрическое место точек, равноудалённых от прямой dи точки F,называется параболой. Прямая dназывается директрисой, а точка F— фокусом параболы (рис. 1).
Рис. 2
Рис. 1
Для того чтобы нарисовать параболу, потребуются линейка, угольник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой — к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на неё угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его остриё касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу (рис. 2).
Рис. 3
М ы смоделировали данное построение (Фото №1), сделав треугольник подвижным относительно директрисы, и у нас действительно получилась парабола (рис. 3, рис. 4). Главный нюанс: длина нити должна быть равна длине катета треугольника. В нашем случае протяжённость нити до фокуса равна её длине от острия карандаша до прямой (директрисы).
Рис. 4
П араболу можно построить и на обычной клетчатой бумаге, используя только циркуль и карандаш. Зададим фокус F и директрису d, а затем построим несколько точек, равноудалённых от F и d. Очевидно, что точки, равноудалённые от директрисы будут находиться на линиях сетки клетчатой бумаги, параллельных директрисе. Геометрическим местом точек, равноудалённых от фокуса будут окружности с радиусами 3, 4, 5 и 6 клеток. Следовательно, точки, равноудалённые и от F и от d, будут получаться при пересечении линий сетки клетчатой бумаги, параллельных директрисе и соответствующих окружностей (рис. 5).
Рис. 5
Введём ещё некоторые понятия. Осью параболы называется прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе. Точка пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы. Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не перпендикулярная её директрисе, называется касательной к параболе. Общая точка называется точкой касания. Заметим, что ось параболы имеет с параболой одну общую точку, однако не является касательной, так как перпендикулярна директрисе.
Пусть А – точка на параболе с фокусом F и директрисой d, AD – перпендикуляр, опущенный на директрису. Докажем, что биссектриса является касательной к параболе.
1 . Проведём из произвольной точки на параболе отрезок к фокусу и перпендикуляр к директрисе (рис. 6). По определению параболы, эти отрезки равны.
Рис. 7
Рис. 6
2 . Построим биссектрису полученного угла (рис. 7). Поскольку парабола — это выпуклая кривая, то пересекающие её прямые имеют с параболой, как правило, две точки пересечения. Отметим вторую такую точку для биссектрисы (первая находится в вершине угла).
Рис. 8
3 . Соединим вторую точку с фокусом и точкой перпендикуляра на директрисе (рис. 8). Полученные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезки, проведённые из второй точки, равны.
Рис. 9
4 . Опустим перпендикуляр из второй точки на директрису (рис. 9). По определению параболы, этот отрезок равен расстоянию до фокуса, а значит, равен и второму отрезку, проведённому к директрисе (не по кратчайшему пути, а наклонно) — противоречие!
Значит, предположение о существовании второй точки пересечения было неверным. Вывод: биссектриса построенного угла является касательной к параболе.
Фокальное свойство параболы. Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи, отразившись от параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.
В оспользуемся тем, что угол падения равен углу отражения, и тем, что от кривой свет отражается так же, как от касательной, проведённой в точку падения.
Рис. 10
1. Повторим чертёж корректно для второй ветви параболы: биссектриса и парабола имеют ровно одну общую точку (рис. 10).
2. Отметим равные вертикальные углы и заметим, что (рис. 11).
Рис. 11
3 . Значит, если мы сделаем параболу из зеркального материала, то луч, выпущенный из фокуса, после отражения пойдёт перпендикулярно директрисе, причём это будет верно для любой точки параболы (рис. 12).
Рис. 12
Вывод: лучи, выпущенные из фокуса, после отражения идут параллельным пучком, перпендикулярно директрисе. Другими словами, директриса направляет лучи вдоль оси симметрии параболы. То есть, если поместить лампочку в фокус, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно, причём граница света будет прямой.
О казывается, что верно и обратное, так как для отражения лучей не имеет значения их направление. То есть, если направить на параболу лучи света перпендикулярно директрисе (или параллельно её оси), то отразившись от параболы, все лучи соберутся в фокусе.
Рис. 13
Если провращать параболу относительно её оси симметрии (рис. 13 (а,б)), то получится уже поверхность вращения второго порядка — параболоид (рис. 13(в)). Так как в любом сечении плоскостью, содержащей ось симметрии, получается одна и та же парабола, то оптическое свойство верно и для параболоида. Если поместить лампочку в фокус параболоида, то лучи, отразившись от поверхности, пойдут параллельно друг другу. Обратное тоже верно (рис.13 (г)).
Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков так как позволяет получить направленный пучок света с минимальным рассеиванием и максимальной дальностью освещения. А также данное свойство используется в спутниковых параболических антеннах. Так как спутник находится очень далеко от антенны, то лучи можно считать почти параллельными, и приёмник сигнала ставится в фокус параболоида (рис. 14).
Рис. 14
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Создание динамической модели параболы в среде Geogebra
Для нашего проекта мы решили смоделировать параболу в динамической математической среде. Это позволит продемонстрировать её пошаговое построение, как если бы мы строили её циркулем и линейкой, только построения будут абсолютно точными. Построим параболу по заданной директрисе и фокусу.
З ададим фокус параболы – F(0; k), где k – переменная величина от 0 до 7. Чтобы сделать ординату фокуса переменной величиной, используем элемент управления Ползунок с заданными значениями. Директриса параболы – ось абсцисс. Вершина параболы является серединой отрезка между фокусом и директрисой. Построим отрезок, соединяющий фокус с точкой (1;0). Через эту же точку построим прямую , параллельную оси параболы (оси ординат). Для отрезка построим серединный перпендикуляр и найдём его пересечение с прямой – это и будет точка, принадлежащая параболе. Выполним аналогичные построения ещё для трёх точек параболы. А затем, отразим каждую из четырёх точек симметрично относительно оси ординат. Соединим девять найденных точек плавной кривой. Перед нами парабола (рис. 15).
Рис. 15
Рис. 16
Динамическая модель параболы, созданная в среде Geogebra, позволяет наглядно продемонстрировать, что будет происходить с кривой, если перемещать фокус относительно директрисы. Как Вы видите на рисунке 16, при удалении фокуса от директрисы, ветви параболы разжимаются, а при приближении, сжимаются.
Эксперименты для проверки гипотезы проекта
Мы долго думали, как на практике проверить гипотезу нашего проекта. Нам нужна была модель, демонстрирующая оптическое свойство параболы: луч, пришедший параллельно её оси, после отражения от параболы попадает в фокус. После продолжительных дискуссий мы приняли решение изготовить две модели: первую для демонстрации оптического свойства, используя световые лучи, а вторую с использованием механического движения шарика. Пошаговый процесс изготовления представлен в Приложении №1, Приложении №2, Приложении №3.
О писание модели № 1
Рис. 18
Рис. 17
Д ля её изготовления мы вырезали из куска фанеры отверстие, где одна из стенок имела форму параболы (рис. 17). Затем обрезали второй кусок фанеры по внешним размерам первого и склеили их. Для имитации световых лучей решили использовать небольшие лазеры. Чтобы лучи были направлены перпендикулярно директрисе (параллельно оси параболы), мы соответствующим образом приклеили лазеры на деревянные угольники (рис. 18). Когда модель была готова, мы аккуратно обклеили поверхность параболы светоотражающим скотчем (рис. 19). Эксперимент проводили в тёмном помещении для лучшей наглядности.
Рис. 19
С огласно оптическому свойству параболы, луч, пришедший параллельно её оси, после отражения от параболы попадает в фокус. Это наглядно демонстрирует наша модель (рис. 20). Два луча, отразившись от поверхности параболы, пересекаются в её фокусе, а затем, снова отразившись, идут параллельно оси. Будем перемещать лазеры вдоль директрисы. Как Вы видите, точка фокуса остаётся постоянной, независимо от расположения световых лучей. На отснятом видеоматериале наглядно видно, что любой луч, пришедший параллельно оси параболы, после отражения попадёт в фокус, что и требовалось доказать.
Рис. 20
Описание модели № 2
Рис. 22
Рис. 21
Для демонстрации оптического свойства параболы с использованием механического движения шарика, мы изготовили модель, аналогичную модели №1, но немного большего размера. Помимо самого «поля», из фанеры была вырезана горка для стального шарика (рис. 21). Необходимым условием является то, что горка, должна иметь упор в прямую стенку модели, чтобы при любом сдвиге оставаться параллельной оси параболы. Также, для лучшей амортизации удара, на кромку параболы мы наклеили слой плотного поролона. Горку, закреплённую на задней стенке, можно перемещать, скатывая шарик из любого положения. Мы проделали большое количество экспериментов, меняя положение горки (рис. 22). Неизменным оставалось одно: шарик, скатываясь с горки, всегда попадал в другой шарик-мишень, находившийся в фокусе параболы! Таким образом, мы доказали, что все лучи, выходящие из фокуса, после отражения от параболы идут параллельно друг другу (и параллельно оси параболы). Оказывается, верно и обратное (так как для отражения лучей не имеет значения их направление). Мы засняли все эксперименты и впоследствии смонтировали в идеоролик, который продемонстрируем на защите проекта.
Результаты работы:
- мы собрали теоретический материал о параболе;
- мы научились строить параболу с помощью линейки, угольника, нити и кнопки;
- мы получили доступный нам алгоритм построения параболы на клетчатой бумаге с использованием циркуля;
- мы теоретически доказали фокальное свойство параболы;
- мы создали динамическую модель параболы в математической среде Geogebra;
- мы двумя способами экспериментально доказали гипотезу проекта:
Луч, пришедший параллельно оси параболы, после отражения от параболы попадает в её фокус.
Вывод
Фокальное свойство параболы имеет широчайшее практическое применение. В форме данной кривой изготавливают отражающие поверхности прожекторов, автомобильных фар, фонариков, телескопов, спутниковых антенн и т.д. В своём проекте мы на практике убедились, что свойство действительно работает и создали две модели для его наглядной демонстрации. Оказывается, что оптическое свойство – это не единственная интересная особенность, присущая данной кривой. В справочной литературе мы нашли ещё несколько возможных направлений для дальнейшего исследования параболы. Но это уже темы наших будущих проектов!
Литература
Акопян А. А., Заславский А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с.
Смирнова И. М. Геометрия. 7-9 классы. М.: Мнемозина, 2013. – 376 с.
Приложение №1
Приложение №2
Приложение №3