XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Исследование сопротивления различных веществ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Пономарев А.В. 1

---

1Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя школа № 51 имени Геороя Советского Союза А.М.Числова Тракторозаводского района Волгограда»

Атаян Л.А. 1

---

1Муниципальное общеобразовательное учреждение "Средняя школа №51"

Работа в формате PDF

426 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Роль электродинамики в технике

К созданию электродинамики привела длинная цепь планомерных исследований и случайных открытий, начиная с обнаружения способности янтаря, потертого о шерсть, притягивать легкие предметы и кончая гипотезой Максвелла о порождении магнитного поля переменным электрическим полем. При развитии электродинамики впервые в истории человечества научные исследования предшествовали техническим применениям. Если паровая машина была построена задолго до создания термодинамики, то сконструировать электродвигатель или осуществить радиосвязь оказалось возможным только после открытия и изучения законов электродинамики.Бесчисленные практические применения электромагнитных явлений преобразовали жизнь людей на земном шаре. Человечество создало вокруг себя некую новую «электрическую среду» со штепсельной розеткой на каждой стенке. Широкое применение электродинамики связано с тем, что электрическую энергию легко передавать по проводам на большие расстояния и, главное, с помощью сравнительно несложных устройств преобразовывать в другие энергии: механическую, внутреннюю, энергию излучения и т. д. Законы электродинамики лежат в основе всей электротехники и радиотехники, включая телевидение, видеозапись и почти все средства связи. Электродинамика составляет фундамент таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций, нелинейная оптика, магнитная гидродинамика, астрофизика, конструирование вычислительных машин, ускорителей элементарных частиц и т. д. [1]

Объект исследования: металлы и сплавы, растворы электролитов.

Предмет: развитие представлений о природе электрического сопротивления и его зависимости от различных факторов.

Цель: определить средства изучения электрического сопротивления различных материалов. В процессе исследования определить зависимость сопротивления различных материалов от химической структуры, температуры и внешних факторов для практического применения.

В соответствии с объектом, предметом и целью были поставлены следующие задачи:

1.Выявить сущностные характеристики электрического сопротивления различных веществ. 2.Определить критерии зависимости сопротивления от различных факторов.

3.Определить эффективные методы для определения электрического сопротивления различных веществ.

4. Исследовать зависимость сопротивления различных веществ от температуры, влажности, концентрации.

ГЛАВА I.Металлы. Зависимость сопротивления от температуры

Природа электрического тока в металлах.

Все металлы в твердом и жидком состоянии являются проводниками электрического тока. Специально поставленные опыты показали, что при прохождении электрического тока масса металлических проводников остается постоянной, не изменяется и их химический состав. На этом основании можно было предположить, что в создании электрического тока в металлах участвуют только электроны.

?Зависимость удельного электрического сопротивления металлов от температуры. Удельное сопротивление металлов при нагревании увеличивается приблизительно по линейному закону (рис. 152):

, (44.1) где — удельное электрическое сопротивление металла при температуре T, — его удельное сопротивление при 0 °С, — температурный коэффициент сопротивления, особый для каждого металла.С приближением температуры к абсолютному нулю удельное сопротивление монокристаллов становится очень малым. Этот факт свидетельствует о том, что в идеальной кристаллической решетке металла электроны перемещаются под действием электрического поля, не взаимодействуя с ионами решетки. Длина их свободного пробега при этом может достигать значений порядка 1 см, т. е. в 107 - 108 раз превышает межатомные расстояния в кристалле. Электроны взаимодействуют лишь с ионами, не находящимися в узлах кристаллической решетки.?При повышении температуры возрастает число дефектов в кристаллической решетке из-за тепловых колебаний ионов,— это приводит к возрастанию удельного сопротивления кристалла. ??В том, что электрическое сопротивление металлов обусловлено взаимодействиями электронов проводимости с различными дефектами решетки, убеждает и тот факт, что удельное сопротивление кристаллов металлов сильно зависит от наличия в них примесей. Например, введение 1 % примеси марганца увеличивает удельное сопротивление меди в три раза.Скорость упорядоченного движения электронов в проводнике. Для определения скорости упорядоченного движения свободных электрических зарядов в проводнике нужно знать концентрацию n свободных носителей заряда и силу тока I. Если концентрация свободных электрических зарядов в проводнике n, то за промежуток времени через поперечное сечение S проводника при скорости их упорядоченного движения проходит электрический заряд , равный

, где e — модуль заряда электрона. Сила тока I в проводнике при том равна

. Из последнего уравнения скорость упорядоченного движения электронов в проводнике получается равной

. Концентрация свободных электронов в металлах примерно равна концентрации атомов, модуль заряда электрона e = 1,6 * 10-19 Кл. Для проводника с площадью поперечного сечения S = 1 мм2 = 10-6 м2 при силе тока I = 1 A скорость упорядоченного движения электронов равна

. За 1 с электроны в проводнике перемещаются за счет упорядоченного движения меньше чем на 0,1мм. ?Малые значения скорости упорядоченного движения свободных зарядов в проводниках не приводят к запаздыванию зажигания электрических ламп, включения электромоторов и т. д., так как при включении электрической цепи вдоль проводов со скоростью света распространяется электромагнитное поле. Это поле приводит в движение свободные электрические заряды почти одновременно во всех проводниках электрической цепи . [3]

Практическая часть

Зависимость сопротивления от температуры.?

Графическая зависимость сопротивления металлов от температуры

Железо (гвоздь)Сплав

МедьЛегкоплавкий металл (олово, висмут, кадмий)

Выводы первой главы.??Опытные исследования показали:

При прохождении постоянного тока проводник нагревается.

Малые значения скорости упорядоченного движения свободных зарядов в проводниках не приводят к запаздыванию зажигания электрических ламп.

При повышении температуры возрастает число дефектов в кристаллической решетке из-за тепловых колебаний ионов,— это приводит к возрастанию удельного сопротивления кристалла. А так как сопротивление металлов прямо пропорционально удельному сопротивлению [R=ρlS], то сопротивление твёрдых проводников тоже возрастает с увеличением температуры.

В том, что электрическое сопротивление металлов обусловлено взаимодействиями электронов проводимости с различными дефектами решетки, убеждает и тот факт, что удельное сопротивление кристаллов металлов сильно зависит от наличия в них примесей.

График зависимости сопротивления от температуры сплава имеет больший угол наклона, чем у чистых металлов (алюминий, свинец, медь).

ГЛАВА II. Металлы. Зависимость сопротивления от влажности воздуха

Измерение влажности твердых тел

Электрические методы измерения влажности твердых тел большей частью основаны на зависимости электропроводности, диэлектрической проницаемости и диэлектрических потерь от влажности. Контролируемый материал помещается между электродами, при этом такую систему можно рассматривать как параллельное соединение активного сопротивления и емкости. Если для данного материала при выбранной частоте источника питания ток проводимости значительно больше емкостного, то для измерения влажности применяется метод измерения электропроводности, и наоборот. Зависимость сопротивления R твердых тел от влажности φ – в процентах к весу сухого материала выражается формулой R?=?A·φn где A и n – постоянные, зависящие от размеров, формы, структуры и физико-химических свойств объекта измерения. Метод электропроводности обладает значительной чувствительностью. Сопротивление твердых тел зависит также от температуры. Например, для фрезерного торфа температурный коэффициент изменяется в пределах от 0,2 до 0,7% на 1?ºС. Однако зависимость показаний прибора от изменения концентрации примесей (кислот, солей, щелочей), структуры, плотности, температуры и др. параметров контролируемых материалов значительно сужает область применения этого метода.Более широко применяется емкостный метод измерения влажности. Он основан на использовании большого различия между значением диэлектрической проницаемости ε сухих материалов (ε?=?2 – 10) и ε воды (ε?=?81). Примеси, содержащиеся в воде, значительно меньше влияют на ε, чем на проводимость материала. На ε воды в сильной степени сказывается способность материала адсорбировать ее на поверхности твердых частиц, ε адсорбированной воды значительно меньше ε свободной влаги. Для большинства сухих материалов ε незначительно меняется с температурой (температурный коэффициент сухих материалов, порядка 10-2% на 1?ºС); ε влажных материалов изменяется с температурой в более широких пределах. Практически зависимость ε от температуры приводит к введению незначительной поправки от 0,04 до 0,10% на 1?ºС в диапазоне от 0?ºС до +40?ºС. На величину ε влажных, рыхлых материалов влияют их структура, степень уплотнения и количество воздуха в них. Однако эти факторы влияют на ε меньше, чем на электропроводность. Для снижения влияния степени уплотнения материала на результат измерения принимаются меры, обеспечивающие неизменность его плотности. Обычно применяется частота от 500?кГц и ниже до 20?МГц. Более низкие частоты выбирают в тех случаях, когда электропроводность материала мала (например, для кварцевого песка) или имеется четкая зависимость ее от влажности (например, для зерна). Измерение влажности этим методом сводится к измерению емкости одним из общепринятых способов. При изменениях емкости в пределах от 10 до 100?pF пользуются измерительными схемами, основанными на явлении резонанса, сравнении частот двух генераторов (метод биений и деления сигналов), измерении емкостного (полного) сопротивления переменному току, и мостовыми схемами. Для повышения точности определения влажности целесообразно пользоваться методами измерения емкости, не чувствительными к изменению величины активного сопротивления, например, измерением комплексного сопротивления с помощью моста на двух различных частотах с последующим вычислением величины C; измерением емкости с помощью мостов с уравновешиванием двумя параметрами. К электрическим методам измерения влажности может быть также отнесенметод, основанный на резонансном поглощении радиоволн ядрами водорода (протонами), входящими в состав воды (явление ядерного магнитного резонанса). Радиоизотопные методы измерения влажности основаны на различии количественных характеристик процессов взаимодействия ядерных излучений с атомами водорода, входящего в состав воды, и атомами других элементов. Измеряя интенсивность ядерного излучения, прошедшего через контролируемый материал или рассеянного им, определяют его влажность. В основном используют явления поглощения γ-лучей и замедления нейтронов. Методы, основанные на поглощении γ-лучей, применяются в тех случаях, когда не требуется высокая точность измерения влажности и когда плотность и химический состав контролируемого материала меняются незначительно (например, влажность почвы в стационарных полевых условиях). Ослабление потока γ-лучей при просвечивании контролируемого материала зависят от содержания в нем воды, поскольку массовый коэффициент ослабления для водорода значительно больше массового коэффициента для других атомов (в единице массы водорода содержится приметно в два раза больше электронов, чем в единице массы любого другого элемента). При использовании нейтронов измерение основано на том, что водород во много раз эффективнее замедляет быстрые нейтроны, чем любой другой элемент. Число выходящих из контролируемого материала медленных, тепловых нейтронов или уменьшение числа быстрых нейтронов после прохождения материала является функцией его влажности. Нейтронные влагомеры применяются главным образом для контроля влажности неорганических веществ и сред, не содержащих кристаллизационную воду, поскольку замедление нейтронов селективно по отношению к водороду независимо от того, в какое химическое соединение он входит. [4]

Практическая часть

Зависимость сопротивления металлов от влажности воздуха.?

Графическая зависимость сопротивления металлов от влажности воздуха.

Гвоздь (железо)

CU

Выводы второй главы:

1)В результате проведения исследования были изучены различные методы измерения влажности твердых тел: большей частью основаны на зависимости электропроводности, диэлектрической проницаемости и диэлектрических потерь от влажности; емкостный метод измерения влажности; метод, основанный на резонансном поглощении радиоволн ядрами водорода (протонами), входящими в состав воды (явление ядерного магнитного резонанса); радио изотропные методы измерения влажности. 2)В работе использовали электрический метод измерения влажности твердых тел основанный на зависимости электропроводности от влажности. Опытные исследования показали: Зависимость сопротивления R твердых тел от влажности φ – в процентах к весу сухого материала выражается формулой R?=?A·φ·n, где A и n – постоянные, зависящие от размеров, формы, структуры и физико-химических свойств объекта измерения. Сопротивление твердых тел зависит также от температуры. Поэтому измерения проводились примерно при одной и той же температуре воздуха. На опыте подтвердилась прямо-пропорциональная зависимость сопротивления твёрдых проводников от влажности воздуха.

ГЛАВА III. Кислоты. Зависимость сопротивления от температуры.

Способность растворов электролитов проводить электрический ток называется электрической проводимостью. Растворы электролитов обладают ионной проводимостью (являются т.н. проводниками второго рода), т.е. электропроводность растворов электролитов обусловлена перемещением ионов в электрическом поле (в отличие от электронной проводимости проводников первого рода). Она зависит от природы электролита и растворителя, концентрации, температуры и некоторых других факторов. Современные статистические теории сильных электролитов удовлетворительно описывают свойства лишь очень разбавленных (<0,1 моль/л) растворов. [8] Целый ряд веществ при растворении в воде оказывается распределенным в растворе частично в виде молекул, частично в виде заряженных частей молекул — ионов (ст ion — идущий). Атом кислорода, имеющий на два электрона меньше, чем устойчивый элемент неон, захватывает на свою орбиту электроны двух атомов водорода. Подобная перестройка электронной оболочки характерен для ионной связи. При этом образуется равнобедренный треугольник котором угол НОН равен 105°. Вследствие такой симметрии молекула является диполем — отрицательный и положительный заряды оказываются пространственно разделенными. Благодаря дипольному моменту молекулы воды сильно взаимодействуют между собой и с молекулами других веществ. Слабым электролитом является также и сама вода. [9]

Различают удельную и молярную электрическую проводимости.

Удельная электрическая проводимость раствора электролита x – это электрическая проводимость объема раствора, заключенного между двумя параллельными электродами, имеющими площадь по одному квадратному метру и расположенными на расстоянии одного метра друг от друга.Удельная электрическая проводимость является величиной, обратной удельному сопротивлению ρ : ρ =Rs/l, где R — общее сопротивление проводника. Ом; l — длина проводника, м; s — поперечное сечение проводника, м². Отсюда единица удельного сопротивления, выражается величиной

[ ρ ]=0м м.Размерность удельной электрической проводимости выражается обратной величиной x=1/(0м м) = Ом^-1•м^-1 = Cм м^-1: х=1/ρ или ρ=1/х (1). Повышение температуры на 1 К увеличивает удельную электрическую проводимость примерно на 2 - 2,5%. Это объясняется понижением вязкости раствора и уменьшением гидратации ионов, а для растворов слабых электролитов увеличением их степени диссоциации.

Зависимость удельной электрической проводимости разбавленных растворов от температуры описывается эмпирическим уравнением

x_T = x₂₉₈ [1 + α (T - 298) +β (T- 298)² ], где β = 0,0163 ( α - 0,0174) (2), где x₂₉₈ – удельная электрическая проводимость при 298 К; α и β - температурные коэффициенты электрической проводимости. Коэффициенты α и β зависят от природы электролита:

для сильных кислот α = 0,0164, для сильных оснований α = 0,0190, для солей α = =0,0220. В растворах слабых электролитов диссоциация молекул электролита на ионы увеличивает объем раствора. Поэтому повышение давления в соответствии с принципом смещения подвижного равновесия Ле Шателье – Брауна уменьшает степень диссоциации электролита и, следовательно, электрическую проводимость. Заметное влияние на электрическую проводимость раствора слабого электролита оказывает только давление порядка сотен и тысяч атмосфер. Например, повышение давления до 2000 атм уменьшает x для уксусной кислоты на 40%. При изучении электрической проводимости растворов целесообразно пользоваться молярной электрической проводимостью Λ ,которая равна электрической проводимости объема раствора электролита, содержащего 1 г/моль растворенного вещества и находящегося между двумя параллельными электродами, расположенными на расстоянии одного метра друг от друга. Удельная и молярная электрические проводимости связаны между собой соотношением: Λ = xVм = x/См, где Vм — число кубометров раствора, содержащего 1 г/моль электролита; См — концентрация электролита, выраженная в моль/м3. Зависимость молярной электрической проводимости от температуры можно представить уравнением:Λ Т = Λ 298 [1+α (T-298)], где Λ Т и Λ 298 — молярные электрические проводимости при температуре Т = 298 К; α — температурный коэффициент электрической проводимости.Отсюда следует, что температурные коэффициенты удельной и молярной электрической проводимости одинаковы.[7] Формула, определяющая зависимость сопротивления электролитов от температуры может быть представлена в виде (с учетом уравнений (1) и (2) ):

М етоды измерения электропроводности электролитов. Для точного измерения электропроводности электролитов необходимо выполнить ряд условий:

1) точно измерить температуру и поддерживать ее постоянной с помощью термостата;

2) устранить поляризацию электродов (т. е. изменение состояния поверхности электродов и концентрации электролита вокруг электродов в процессе измерений)

Поляризацию можно устранить платинированием платиновых электродов (т. е. покрытием их путем электролиза тонким слоем платиновой черни и, таким образом, увеличением поверхности электродов) и применением переменного тока с частотой 500—2000 Гц для устранения концентрационной поляризации.

3) точно измерить электрические величины.

Оборудование для измерения: cосуд снабжен двумя одинаковыми плоскими параллельными электродами, закрепленными так, чтобы расстояние между ними не изменялось. Для определения сопротивления жидкостей применяют переменный ток, а не постоянный во избежание электролиза и поляризации. При переменном токе очень чувствительным инструментом. Для проведения опыта использовалась дистиллированная вода и уксус (CH₃COOH и яблочный уксус). Использовали растворы электролитов.[7], [8]

Практическая часть

Зависимость сопротивления кислот от температуры.

Яблочный уксус Уксус (CH₃COOH) Графическая Зависимость сопротивления кислот от температуры.

Через электроды

Уксус Яблочный уксус

В жидкости

Уксус Яблочный  уксус

Выводы третьей главы:

1.В результате выполнения работы была изучена теория проводимости электролитов и определена зависимость электропроводности электролита от температуры.

2.Опытные исследования показали: Зависимость сопротивления R электролитов от температуры:

где x₂₉₈ – удельная электрическая проводимость при 298 К; α и β - температурные коэффициенты электрической проводимости, которые зависят от природы электролита.

На опыте подтвердилась обратно-пропорциональная зависимость сопротивления электролитов от температуры.

ГЛАВА IV.

Кислоты. Зависимость сопротивления от концентрации.Термодинамика растворов.

Существование абсолютно чистых веществ невозможно - всякое вещество обязательно содержит примеси, или, иными словами, всякая гомогенная система многокомпонентная. Если имеющиеся в веществе примеси в пределах точности описания системы не оказывают влияния на изучаемые свойства, можно считать систему однокомпонентной; в противном случае гомогенную систему считают раствором. Идеальными можно считать также бесконечно разбавленные растворы, в которых можно пренебречь взаимодействием частиц растворителя и растворенного вещества между собой. Свойства таких растворов зависят только от концентрации растворенного вещества, но не зависят от его природы.[6]

Закон Ома для тока в жидкостях

1° Плотность тока ј в жидкостях равна сумме плотностей токов положительных и отрицательных ионов: Зависимость плотности тока в жидкостях ј от напряжения Е Электрического поля, приложенного к электродам, имеет вид

где F – число Фарадея, NА – число Авогадро, Z+ - валентность положительных ионов в растворе, n₀₊ — число положительных ионов в единице объема электролита, и — подвижности соответственно положительного и отрицательного ионов, т. е. средние скорости движения этих ионов под действием электрического поля, напряженность которого равна единице. Эта формула выражает закон Ома для плотности тока в электролитах. 2 ° Удельное сопротивление электролита равно ,а сопротивление проводника прямо-пропорционально удельному сопротивлению Rρ. Если молекула электролита диссоциирует на k+ положительных и k- отрицательных ионов, то k+Z₊=k-Z_-и , где а – коэффициент диссоциации, n₀ – концентрация электролита. В этом случае

или , где –число грамм-эквивалентов (килограмм-эквивалентов) ионов одного знака, содержащихся в единице объема электролита в свободном состоянии и связанных в молекулах. Величину С называют эквивалентной концентрацией раствора (измеряют в кг-экв/м3 или, что то же, в г-экв/л).[5]

Практическая часть

Зависимость сопротивления кислот от концентрации.

Для проведения опыта использовалась дистиллированная вода и уксус

Графическая зависимость сопротивления кислот от концентрации.

Через электроды

Уксус (CH₃COOH)

Яблочный уксус

В жидкости

Уксус (CH₃COOH)

Яблочный уксус

Выводы четвёртой главы:

Электрические потенциалы на фазовых границах

При соприкосновении проводника первого рода (электрода) с полярным растворителем (водой) либо раствором электролита на границе электрод - жидкость возникает т.н. двойной электрический слой (ДЭС). При погружении медного электрода в воду часть ионов меди, находящихся в узлах кристаллической решетки, в результате взаимодействия с диполями воды будет переходить в раствор. Возникающий при этом на электроде отрицательный заряд будет удерживать перешедшие в раствор ионы в приэлектродном пространстве - образуется двойной электрический слой. Отрицательный заряд на электроде будет препятствовать дальнейшему переходу ионов меди в раствор, и через некоторое время установится динамическое равновесие, которое можно однозначно охарактеризовать потенциалом электрического поля ДЭС, зависящего от заряда на электроде, или некоторой равновесной концентрацией ионов в приэлектродном слое. Поэтому сопротивление измеренное через электроды и сопротивление раствора уксуса отличаются в числовом выражении, но обратно - пропорциональная зависимость сопротивления от концентрации подтверждается и в первом и во - втором случае. Чем больше концентрация раствора, тем интенсивнее взаимодействие частиц, тем сложнее структура раствора. Поэтому количественная теория разработана только для идеальных растворов.

О пытные исследования показали: Зависимость сопротивления R электролитов от концентрации раствора R,

где F – число Фарадея, NА – число Авогадро, Z+ - валентность положительных ионов в растворе, n₀₊ — число положительных ионов в единице объема электролита, и — подвижности соответственно положительного и отрицательного ионов, т. е. средние скорости движения этих ионов под действием электрического поля, напряженность которого равна единице. На опыте подтвердилась обратно-пропорциональная зависимость сопротивления электролитов от концентрации.

Заключение.

В данной научно-исследовательской работе был проведен литературный обзор электропроводности различных сред. Были выявлены физические величины от которых зависит электрическое сопротивление твердых проводников и электролитов. Проведены лабораторные исследования по определению зависимости сопротивления от температуры, влажности, концентрации. В качестве твёрдых проводников были взяты сплав, медь, железо, легкоплавкий металл; были испытаны растворы уксусной кислоты, яблочной кислоты. В процессе выполнения работы была изучена история исследования сопротивления проводников, электрические измерения. После проведения работы были сделаны выводы как уменьшить электрическое сопротивление различных сред, основываясь на теоретическом материале:

Твердые проводники (металлы)

1)На опыте подтвердилась прямо – пропорциональная зависимость сопротивления от температуры.

2)Зависимость сопротивления R твердых тел от влажности φ – в процентах к весу сухого материала выражается формулой:

R=A⋅?⋅n

Электролиты

1)Зависимость сопротивления R электролитов от температуры

2)Зависимость сопротивления R электролитов от концентрации раствора

В заключении можно констатировать, что цель исследования достигнута. В процессе исследования были определены средства и методы изучения электрического сопротивления различных материалов, опытным путем определена зависимость сопротивления электролитов и металлов от различных факторов и найдено теоретическое обоснование. Результат этой работы может использоваться в решении практических и жизненных задач для уменьшения сопротивления различных веществ: для уменьшения сопротивления твердых материалов (металлов и сплавов) необходимо уменьшить температуру и влажность воздуха, а для уменьшения сопротивления электролитов необходимо увеличить концентрацию и температуру раствора.

Список используемой литературы:

Герасимова Я.И. курс физической химии, т. II, под ред. чл.-корр. АН СССР проф. Издание 2, испр., М. – Химия, 1973. – 624 стр.

Лопанов А.Н. Физическая химия: учебно-практическое пособие. – Белгород: изд-во

http://physics.kgsu.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=203#q2

http://lot84.narod.ru/msfu/metod/metod1.htm

Марио Льоцци история физики,(перевод с итальянского Э.Л.Бурштейна), издательство «Мир», Москва, 1970, стр.257 _2.html

http://revolution.allbest.ru/chemistry/00032865_2.html

«Мякишев Г.Я, Физика 10-11. Электродинамика.», издательство «Дрофа», Москва, 2009, стр.6

Павленко Ю.Г.: Учебник «Начала физики», , издательство «Экзамен», 2005, стр.402

Яворский Б.М., А.А.Детлаф: cправочник по физике для инженеров и студентов вузов. Издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы. Москва 1968г., стр.388