Общая теория полей

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Общая теория полей

Лапшин С.И. 1
1ГБОУ Инженерная школа 1581
Соколов А.В. 1
1ГБОУ Инженерная школа 1581
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Мечтой физика в любое время было одно — теория всего. Основным стремлением же — максимально систематизировать, обобщить и упростить знания о природе при достижении максимальной точности. Именно по такому пути шла наука.

 

Электродинамика прошла тернистый путь от “Де Магнете”Гилберта до работ Фарадея, от закона Кулона до великого объединения уравнениями Максвелла, позже приведенными в современный вид Хевисайдом [1] (векторы и дифференциальные операторы) и Ефименко [2] (запаздывающие потенциалы).

За слабостью гравитации ее путь был короче: наблюдения Кеплера, закон всемирного тяготения Ньютона, изящная и ужасающе точная общая теория относительности Эйнштейна.

И к электродинамике, и к гравитации сегодня применяют понятие поля, говоря как бы об одном и том же. И даже запись уравнений довольна схожа (приложение 1). Еще Хевисайд предполагал гравитационную аналогию [1, c 458-463], а уравнения Максвелла и ГЕМ1-уравнения, полученные Руггиеро в [4] совпадают с точностью до двойки в силе Лоренца (о ее появлении в приложении 2). Однако до сих пор нет теории, ни объясняющей эту схожесть, ни общие свойства этих полей, ни способную предугадать свойства каких-то новых полей.

Я как физик в мечтах хочу приложить руку к обобщению, объединению существующих теорий и, возможно, благодаря этому предсказать ранее неизвестные факты или подготовить почву для будущих открытий.

Изначально целью моей работы было показать то, что любые потенциальные поля благодаря специальной теории относительности неизбежно порождают вихревых партнеров2. Однако, в ходе исследования я заметил, что какая-либо единая теория, обобщающая понятие физического поля во всех его проявлениях, отсутствует либо скрыта от глаз таких обывателей как я, поэтому я решил не только затронуть вихревых партнеров (в §2.4), но и исследовать прочие особенности полей.

Итак, цель данной работы — обобщить понятие поля и его свойств. То есть разработать общую теорию полей — такую теорию, применяя которую к абстракции3 некоторой сущности, было бы реально получить актуальные знания о полях, ассоциированных с этой сущностью. Под сущностью может пониматься, например, некое взаимодействие; под ее абстракцией — законы относительности (преобразования) заряда и потенциал единичного заряда, порождающего это взаимодействие, то есть информацию о его (потенциала) геометрии и размерности заряда в выбранной системе единиц; а актуальные знания — современная теория этого взаимодействия. То есть предполагается, что с помощью будущей теории будет возможно получить уравнения Максвелла с запаздывающими потенциалами из закона Кулона и инвариантности электрического заряда. Заметим, что принципиально теория может не ограничиваться фундаментальными взаимодействиями.

Собственно задачи: определить терминологию и базовые свойства полей (§1.1), найти связь между свойствами частных и общих случаев (§1.2), рассмотреть поле равномерно- (§2.1, §2.2, §2.4) и ускоренно- (§2.6) движущегося заряда, найти принцип для корректного нахождения значения поля (§2.3) и объяснить вихревых партнеров (§2.5).

В этой работе я опираюсь на труды исторических личностей [1, 2, 3, 8], всемирно признанные курсы физики [6, 7] и современные статьи [4, 5].

В этой работе мне удается заложить основу для единого описания различных, в том числе гипотетических, полей и некоторых их форм, а также связать ее с актуальной теорией поля.

Все формулы в работе указаны в современном виде в безразмерных единицах Планка .

Глава 1 Начала теории

§1.1 Определения

Поле — непрерывное отображение , аналитическая запись или значение которого в дальнейшем — полевая переменная. Разумеется, поля в математическом плане бывают скалярными, векторными разных размерностей, четырех-векторными и так далее, но говоря в дальнейшем слово “поле”, я буду иметь в виду именно описанный выше объект. Замечу, что этим определениям я не претендую на материальность поля или какую-либо механическую среду.

Прямое поле — поле, все значения которого коллинеарны. То есть для прямого поля можно задать направляющий вектор . Все интегральные линии такого поля параллельны.

Однородное поле — поле, переменная которого постоянна. Однородное поле является прямым.

Стационарное поле — поле, не зависящее от времени, т.е. = 0

Источник поля — особая точка, полевая переменная на которой не определена, предел модуля равен бесконечности, а дивергенция в ее окрестности отлична от нуля. Справедливо, что источник поля лежит на точке пересечения интегральных линий.

Потенциальное поле — поле , ротор которого в любой точке равен нулю, а дивергенция отлична от нуля. Интегральные линии такого поля не замкнуты на себя. У такого поля существует как минимум один источник.

Потенциальное поле можно выразить как градиент функции , называемой скалярным потенциалом.

Структура — такое отображение , что , где — скалярный потенциал стационарного поля с одним источником, — коэффициент пропорциональности, имеющий смысл заряда и являющийся количественной характеристикой каждого источника поля. Тогда

Также предпочтительно, чтобы s имело наиболее простой вид, то есть не содержало в себе размерных констант. Их можно включить в размерность заряда, как это делается в единицах Планка. Структура каноничных полей рассмотрена в приложениях 3 и 4.

Вектором структуры назовем . Тогда

(1)

Центр поля — особая точка, полевая переменная на которой не определена, предел модуля равен бесконечности, а ротор в ее окрестности отличен от нуля.

Вихревое поле — поле , дивергенция которого в любой точке равна нулю, а ротор отличен от нуля. Интегральные линии такого поля замкнуты на себя. У такого поля существует как минимум один центр.

Вихревое поле можно выразить как ротор функции , называемой векторным потенциалом.

Векторный потенциал можно представить в виде , где — нормировочный (единичный) вектор от векторного потенциала ( ), N — пространство единичных векторов, включающее в себя нулевой вектор), а — норма векторного потенциала. Для поля с одним центром: , для , где — структура , — коэффициент пропорциональности, имеющий смысл заряда и являющийся количественной характеристикой каждого центра поля.

Вихревое поле называется направленным, если его векторный потенциал можно откалибровать до прямого поля с направляющим вектором Плоскости интегральных кривых такого поля совпадают либо параллельны. Для такого поля имеет смысл : , а . Тогда

(2)

Направленное вихревое поле можно представить как векторное умножение некоторого потенциального поля той же структуры на направляющий вектор. Однако при переходе стоит осторожно относится к зарядам в (1) и (2): удобно, если их размерности будут совпадать. Ради этого можно домножить на размерный коэффициент: , на который, впрочем, можно скалярно умножить направляющий вектор: , тогда

(3)

Формула 3 верна для электродинамики, что рассмотрено в приложении 3.

Простое поле — поле, которое можно представить в виде суперпозиции полей либо с одним источником, либо с одним центром с одинаковыми структурами (допустимы трансляции структуры по пространству-времени, но не ротации). В простом поле несколько источников или центров можно объединить в один, представляющий множество точек, и при этом рассуждения не изменятся из-за суперпозиции. Говоря “структура простого поля”, я буду иметь в виду структуру любого источника или центра этого поля.

Нормальное поле — простое поле со структурой, изотропной относительно своего источника или центра. Пример ненормального простого поля продемонстрирован в приложении 5. Электростатические, магнитостатическое и гравитационные поля нормальны.

Структура нормальных полей — функция от расстояния до особой точки. Структура n-степени — , где — константа направления поля (к особой точке или от нее). Вектор структуры первой степени — Особое место в физике занимает структура первой степени, так как для полей с такой структурой верна теорема Гаусса (при условии выполнения суперпозиции), их можно назвать потокопостоянными.

Силовые линии — конечное число интегральных линий, распределенных таким образом, что их плотность на некотором участке эквипотенциальной поверхности пропорциональна отношению потока через этот участок к потоку через всю поверхность. В общем случае поток, “принадлежащей” одной силовой линии не сохраняется, а описан некоторым законом, исходящим из структуры поля. Поток постоянен только для полей со структурой первой степени, что заключено в теорему Гаусса.

§1.2 Индукция свойств

Имея в виду, что взаимодействия, то есть силы, должны подчиняться принципу суперпозиции, и тот факт, что в природе не существует полей, образованных сложным образом зарядами разного рода, а сами по себе они могут быть бесконечно многообразны, имеет смысл4 рассматривать только простые поля, а “сложные” разделять на сумму простых.

Имея в виду, что простые поля подчиняются принципу суперпозиции по определению, будем рассматривать только поля одного источника или центра.

Имея в виду, что по современным представлением вселенная изотропна: от фундаментальных взаимодействий и постулирования равенства скорости света Эйнштейном во всех направлениях, до просто экспериментальных данных и крупномасштабной структуры вселенной, — имеет смысл рассматривать только нормальные поля, чье значение является функцией от расстояния до источника или центра.

Имея в виду, что любую функцию в окрестности некоторой точки можно разложить на ряд тейлора5, то есть на полином, будем рассматривать только полиномиальные функции от расстояния.

Имея в виду, что нормальное поле подчиняется принципу суперпозиции, а полином — сумма степенных функций, то будем рассматривать только их, то есть только поля со структурой n-степени.

Имея в виду, что поле, возрастающее (по модулю) с расстоянием приведет к существованию бесконечно великих сил на бесконечно большом расстоянии, а значит и как минимум к крайне экзотическому состоянию, не будем рассматривать и такие поля.

Итак, объектом исследования становятся поля со структурой натуральной степени. Остальные формы полей при этом либо слишком экзотичны, либо можно получить суперпозицией исследуемых.

Глава 2 Релятивистские эффекты

§2.1 Поле в ИСО

Парселл в [6, c 169] рассматривает поле вокруг равномерно движущегося точечного электрического заряда, основываясь на теорему Гаусса и инвариантность электрического заряда, что верно только для электромагнетизма, но нельзя распространить на общий случай. Поэтому я привожу рассуждения, применимые к потенциальному полю любой структуры.

Рассмотрим некоторую эквипотенциальную поверхность вокруг покоящегося точечного источника потенциального поля (1) в инерциальной системе отсчета . Так как поле нормально, поверхность имеет форму сферы, а потоки проекций вектора структуры через соответствующие полусферы:

; ;

где — площади сечений (окружностей).

Рассмотрим инерциальную СО , в которой источник движется вдоль оси со скоростью . Потоки сохраняются и здесь, но сокращение Лоренца действует на площади сечений вдоль оси , которые станут эллипсами:

Логично, что представленные потоки сохраняют свое значение в любых инерциальных системах отсчета. Для электромагнитного поля, например, это заключено в теорему Гаусса. Тогда

(4)

где . Напомню, что в используемой системе единиц c = 1.

Так как в общем случае заряд при переходе из в не сохраняется, получаем уравнения для компонент полей и :

; ; ;

; ; (5)

Для электромагнитного поля по закону сохранения заряда. Для гравитационного поля зависит от изменения кинетической энергии с переходом, то есть от и массы покоя, т.е заряда в .

Полученные уравнения (4), примененные к электрическим зарядам эквиваленты полученным Парселлем в [6, c 169] и являются частным случаем решения Эйнштейна в [8, c 19].

§2.2 Поле в ИСО на сфере

Стоит понимать, что полученные преобразования (4) действуют на поверхности сферы, которая в системе изменяет свои размеры: так переходит в , а значит первая компонента в (4) на самом деле обозначает

(6)

Чтобы перейти к функции вектора поля на сфере в системе нужно найти . В §2.2 мы договорились, что , тогда . Тогда для условия (6) необходимо .

Остальные компоненты не меняются, так как и . Тогда получаем уравнения структуры вектора и компоненты поля в системе , зависящие от расстояния до точки в этой же системе:

; ; (7)

§2.3 Корректное взаимодействие

Ранее показано, что поле в разных системах отсчета может отличаться, а значит и характер взаимодействия будет разным. Так как же узнать, какая сила будет действительно действовать на пробный заряд, помещенный в поле?

Для корректного расчета необходимо перейти в систему отсчета, связанную с собственно пробным телом, корректно применить преобразования Лоренца на все источники полей, на сами поля, на расстояния между источниками и пробным телом. Только тогда можно достоверно узнать действующую силу.

В системах отсчета, не связанных с пробным зарядом, расчетная сила может оказаться другой, но считается, что в этих системах появляется дополнительное поле соответствующее разности сил с системой пробного заряда. Это дополнительное поле иногда можно представить как векторное произведение скорости пробного заряда на некоторое вихревое (магнитное) поле — вихревой партнер.

В общем случае, полученное поле (магнитное) не подчиняется уравнением Максвелла, что подробнее рассмторено в [5], так как уравнения Максвелла созданы исходя из опытов с токами, а не одиночными зарядами.

§2.4 Токи

Важно рассмотреть направленное движение ансамбля источников поля, то есть ток. Можно принять приближение о том, что все источники поля движутся с одной скоростью и равномерно.

При рассмотрении поля вокруг тока следует учитывать не только эффекты из §3.1, но обращать внимание на изменение плотности распределения источников в разных СО, что подробно рассмотрено в [7].

Наглядные иллюстрации есть у Парселла для электрического заряда, движущегося вдоль электрического тока [6, c 172] и перпендикулярно к нему [6, c 192]. При этом в прочих системах отсчета появляется магнитное поле для инвариантности силы Лоренца.

И хотя в представленной литературе проиллюстрированы случаи только для электрического тока, картина силовых линий будет одинакова для всех полей со структурой натуральной степени, это видно из §2.1, §2.2. Так это скорее качественное наблюдение, распространить эти рассуждения более формально можно с помощью метода силовых линий. Метод силовых линий базируется на том, что на силовой линию можно поместить вещественную полуось и функцию потока от координат на этой полуоси, тогда, рассматривая свойства потока поля через маленькую площадку, “принадлежащую” силовой линии, их (свойства) можно распространить по всей силовой линии и тем самым узнать поле в любой точке пространства.

§2.5 Вихревой партнер

При рассмотрении каноничных полей сила Лоренца и ее аналоги является инвариантом. Это логично, так как тела в разных системах отсчета, кажется, должны иметь одинаковое взаимное расположение, а это возможно только тогда, когда силы, действующие на эти тела, инварианты. Итак, постулирую: эффективное поле не зависит от выбор системы отсчета. А иного в природе еще не наблюдалось.

Тогда пусть в системе существует потенциальное поле , а в системе оно преобразуется по формулам (4) в поле , которое уже не будет потенциальным. При этом я пользуюсь системой уравнений (4), а не (7), так как координаты тела, на которое действует поле , также преобразуются по Лоренцу и в итоге остаются на рассматриваемой поверхности даже после того, как она “сплюснется”. Тогда

(8)

(9)

где — некоторое поле, которое должно существовать в для инвариантности . То, в какой системе должно существовать , рассмотрено в §2.3. Теперь рассмотрим компоненты (9):

Однако, эти уравнения ограничены в применении, так как при взаимодействии зарядов, лежащих не на одной координате x (напомню, что мы рассматриваем ), стоит учитывать полное преобразование Лоренца, а не только эффект сокращения длин.

Впрочем, в дальнейшем суждении этим можно пренебречь, так как будем считать, что . Также буду считать, что (верно для электродинамики). Благодаря этому так же: пропорционально . Тогда:

гду — некие коэффициенты, что на самом деле можно представить как векторное произведение: , где . Тогда , . Заметим, что координаты тут чередуются, а значит и это можно представить как векторное произведение на что-то. А так как по определению для потенциального поля, то применяя (3) можно сказать, что — это вихревое поле. Тогда из (8): , что соответствует силе Лоренца.

Аналогичные выводы для электродинамики уже из эмпирических законов показаны в приложении 3.

Итак, разницу полей в разных инерциальных системах отсчета при инвариантности эффективного поля можно обосновать существованием вихревого партнера — вихревого поля, обладающего той же структурой и тем же зарядом, и центры которого совпадают с источниками. А сам вихревой партнер — релятивистский эффект.

Хочу заметить, что при получении магнитного поля, я использовал множество пренебрежений, что заставляет задумать о том, можно ли его считать реальным. На эти же мысли наводит и то, что в одних системах отсчета магнитное поле полностью отсутствуют, а в других существует не более чем как инструмент достижения инвариантности. Еще Эйнштейн думал об этом в [8], а подробнее в [3, 5].

§2.6 Поле в НеИСО

Рассмотрим поле заряда, разгоняющегося короткое время, а затем движущегося равномерно. Эйнштейн постулировал, что никакая информация не может передаваться быстрее скорости света, а значит, что и отдаленные точки не сразу “узнают”, что источник поля ускорился и начал движение в какую-то сторону. Так, должна существовать область пространства, в которой поле все еще не изменилось и является потенциальным (1), как и должна существовать область, в которой поле уже приняло вид поля равномерно движущегося заряда (7). Между этими областями существует граница, толщина которой пропорциональна скорости света и промежутку времени, на котором источник поля ускорялся.

На этой границе проблематично определить силовые линии и установить их непрерывность. Впервые это делает Ли Пейдж в [3]: он напрямую соединяет соответсующие силовый линии и из их геометрии получает тангенциальное поле, коим, в свою очередь обосновывает закон Фарадея. Верность построения таких линий показана и качественно проиллюстрирована Парселлем в [6, с 173-176] из сообрежний закона Гаусса и непрерывности поля. Полученное тангенциальное поле имеет ненулевой ротор и связывается с переменным магнитным полем.

Парселлем рассмотрен только случай электродинамики, однако картина силовых линий не зависит от степени структуры поля, а значит она будет одинакова для всех полей (как и у токов), тогда можно применить метод силовых линий для нахождения поля в любой точке пространства.

Заключение

В этой работе я заложил начала общей теории полей: ввел терминологию и описал т.н. структуру поля, показал, что свойства нормальных полей со структурой натуральной степени распространяется на большинство полей; рассчитал поле вокруг движущегося разным образом источника; затронул эффекты, связанные с токами и рассмотрел механизм появления вихревых партнеров.

Стоит с осторожностью относится к полученным формулам, так как все они были получены в безразмерных единицах Планка .

В рамках этой работы мне не удалось подробно рассмотреть метод силовых линий, материальность полей и вектор Пойнтинга, колебания источников и волны поля, не удалось более подробно рассмотреть ансамбли источников, фундаментально-вихревые поля, а также поля, в которых известия распространяются со скоростью, меньшей, чем скорость света. Не удалось достаточно обсудить введение структуры поля. Также мне не удалось открыть новые эффекты для каноничных полей.

Приложение 1. Уравнения электродинамики и гравитации

Закон Кулона: . Закон Био-Савара-Лапласа: .

Закон Ампера: . ЭМ индукция Фарадея: .

Сила Лоренца: . Уравнения Максвелла:

Закон тяготения Ньютона: . ОТО: .

ГЭМ Сила Лоренца: . ГЭМ уравнения:

ГЭМ уравнения получены Руггиеро в [4], а я домножил их компоненты на -1 и -2. О коэффициенте 2 в ГЭМ силе Лоренца в приложении 2.

Приложение 2. Размерность гравитомагнтной индукции

Предполагаю, что коэффициент 2 при Гравитомагнитной составляющей в аналоге силе Лоренца возникает из-за разных рангов порождающих сущностей: стресс-тензор энергии-импульса — матрица второго ранга, 4-вектор потенциала — матрица первого ранга. Однако, кажется, это мало что объясняет.

Более фундаментальной причиной различия в уравнениях мне кажется тот факт, что гравитационный заряд (то есть энергия или масса) изменяется при смене системы отсчета (из-за разности кинетических энергий), в то время как электрический заряд инвариантен.

Отдельного обсуждения требует тот факт, что гравитационные волны переносят энергию при том, что энергия и есть гравитационный заряд, то есть волны, кажется, обладают зарядом.

Приложение 3. Структура в электро- и магнитостатике

Представим ток в виде: и подставим в закон Био-Савара-Лапласа: . Для одиночного заряда: при .

Итак, электростатическое и магнитное поле вокруг заряда в токе подчиняется формуле (3), а значит обладают одной и той же структурой: , — и, вероятно (а так и есть, если не строго), одной природой: электрическим зарядом и законом Кулона.

Тогда можно связать потенциалы: , что можно откалибровать (при ) до выражения .

А силу Лоренца можно выразить в виде , что, впрочем, не учитывает изменение поля движущегося заряда, а учитывает, так что это годится разве что для расчета некоторых токов и построения наглядной связи между полями.

Приложение 4. Структура в гравитации

Из закона Ньютона получается: , что совпадает с Кулоновской структурой с точностью до знака, который зависит от рода взаимодействия одноименных зарядов.

Приложение 5. Ненормальное поле

Если рассмотреть интегральные линии магнитного поля вокруг сверхпроводника, то они как бы будут вытолкнуты из него. Тем не менее, свойства магнитного поля от этого не изменятся: оно все еще будет вихревым (ротор не нулевой, дивергенция нулевая). Представим себе, что некоторое поле имеет такую структуру само по себе, без влияния других тел. Так, такое вихревое поле не изотропно, то есть ненормально.

Список используемой литературы и источников

1. Heaviside O. Electromagnetic theory: in 3 volumes — Vol.1. — London: "The Electrician" printing and publishing company, 1894. — 471 p.

2. Jefimenko O. D. Electricity and Magnetism: An introduction to the theory of electric and magnetic fields — Star City (W. Va.): Electret sci. co., 1989 — 618 p. — ISBN 0-917406-08-7

3. Page L. Fundamental Relations of Electrodynamics — Sheffield Scientific School, 1912 — P. 66-68.

4. Ruggiero M. L. Gravitomagnetic effects / Ruggiero M. L., Tartaglia A. [Электрон. ресурс] // arXiv:gr-qc/0207065v2 — 2002 — URL: https://arxiv.org/abs/gr-qc/0207065 (дата обращения: 18.11.2020) — 30 с.

5. Григорьев А.Н. О существовании магнитного поля [Электрон. ресурс] // 2012 — URL: http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/11737.html (дата обращения 17.11.2020)

6. Парселл Э. М. Берклеевский курс физики: учебное руководство: в 3 томах / пер. с английского под редакцией А.И. Шальникова, А.О. Вайсенберга. — Т. 2: Электричество и магнетизм — М.: Наука, 1971 — 444 с.

7. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике: курс лекций: в 10 томах / Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. — Т. 5:Электричество и магнетизм — М.: Мир, 1977. — C. 266–273.

8. Эйнштейн A. К электродинамике движущихся тел // Эйнштейн, А. Собр. науч. тр. в 4 тт. — Т. 1: Работы по теории относительности. 1905-1920. — М.: Наука, 1965. — С. 56-57.

1 ГЕМ — гравитоэлектромагнетизм.

2 Под вихревым партнером некоторого потенциального векторного поля следует понимать ассоциированное с ним и зависящее от него вихревое векторное поле. Так, поле магнитной индукции — вихревой партнер электростатического поля.

3 Под абстракцией имеется в виду минимальное и достаточное количество информации о чем-то.

4 Не отрицается теоретическая возможность существования “сложных” полей, но в этой работе они не будут рассмотрены.

5 К функциям, для которых ряд Тейлора не сходится даже на малых расстояниях, можно применять разложение Фурье, однако в этой работе это затрагиваться не будет, так как считаю, что ряды Тейлора достаточны для большинства форм полей, особенно реальных, что и без того являются степенными.

Просмотров работы: 17