Механико-математический расчёт несимметричной тросовой вращающейся космической системы

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Механико-математический расчёт несимметричной тросовой вращающейся космической системы

Екимовская А.А. 1
1МАОУ "СОШ №40", город Череповец, Вологодская область
Лебедев В.В. 1
1МБОУ "Гимназия 5", город Королёв (Юбилейный), Московская область
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Аннотация

Статья написана в результате непрерывно продолжающейся работы по исследованию тросовых вращающихся космических систем. Новизна этого этапа работы заключается в решении задачи о силе натяжения трёх тросов в произвольной, обобщённой космической тросовой вращающейся системе с тремя грузами. Треугольник может быть произвольным, ограничений на массы трёх грузов и скорость их вращения не накладывается. Задача решена методами механики и векторной геометрии. Алгоритм решения реализован не только в виде расчётных формул, но и в программе для табличного редактора Microsoft Excel. Выполнены два проектных проверочных расчёта конкретных систем.

Введение

До сих пор изучались симметрические вращающиеся тросовые системы, в которых грузы располагались в вершинах правильного многоугольника [1-4]. Также на предмет силы натяжения троса была исследована вращающаяся система из тяжёлой абсолютно гибкой нити (цепочки). Все изученные ранее системы были симметричными по двум причинам. Во-первых, изучались только правильные многоугольники и окружность как предел правильных многоугольников при бесконечном увеличении количества сторон (вершин). Во вторых, все грузы во вращающейся тросовой системе предполагались равными по массе, а в случае вращающейся нити её линейная плотность предполагалась постоянной величиной, то есть рассматривалась только однородная нить, замкнутая во вращающееся кольцо. Другая часть работы посвящена изучению несимметричной вращающейся тросовой системы [5]. Причём объект исследования не симметричен как в геометрическом представлении, так и в массовом. Единственное ограничение связано пока только с самой простой фигурой – треугольником. Вращение несимметричных тросовых систем другой формы в этой работе не изучается.

Объект изучения – три вращающихся произвольных груза, связанные попарно невесомыми абсолютно гибкими тросами с фиксированными длинами без возможности перемещения грузов по тросам.

Предмет изучения – силы натяжения трёх тросов, соединяющих вращающиеся грузы в единой тросовой системе.

Таким образом, произвольная вращающаяся треугольная тросовая система изучается на предмет нагрузки соединительных тросов. Такая задача обладает научной новизной, по двум причинам. Во-первых, вращающиеся тросовые системы, как правило, не рассматриваются в научно технической литературе, хотя время их изучения уже наступило. Во-вторых, обычно космические системы проектируют симметричными, оставляя без изучения возможный положительный эффект от несимметричности конструкции.

Расчётная схема, допущения и обозначения

На рис.1 показана схема произвольной вращающейся треугольной тросовой системы с обозначениями её характеристик.

Рис. 1. Обобщённая треугольная вращающаяся тросовая система

На этой схеме введены следующие обозначения.

1; 2; 3 – номера вершин произвольного треугольника, которые будут приводится в нижних индексах величин, относящихся к этим вершинам;

- массы грузов, помещённых в вершины 1; 2; 3 треугольника;

- абсциссы координат грузов, помещённых в вершины 1; 2; 3 треугольника;

- ординаты координат грузов, помещённых в вершины 1; 2; 3 треугольника;

C – центр масс трёх грузов, соединённых тросами, вокруг которого происходит вращение тросовой системы;

- абсцисса координаты центра масс трёх грузов;

- ордината координаты центра масс трёх грузов;

- удаление каждого из трёх грузов от центра масс C, то есть это радиусы траекторий - окружностей вращения грузов;

- угловая скорость вращения грузов и всей тросовой системы;

- этими символами обозначены соответственные им углы между двумя прямыми, одна из которых соединяет вершину треугольника с номером, обозначенным первой цифрой, с центром масс C, а другая содержит отрезок стороны треугольника, обозначенный первой и второй цифрами;

- искомые величины сил натяжения тросов, натянутых по сторонам треугольника, соединяющим вершины, обозначенные в индексах двумя цифрами.

При численных расчётах удобнее всего пользоваться Международной системой единиц измерения физических величин (СИ).

В результате решения задачи требуется получить три значения сил натяжения трёх соединительных тросов во вращающейся системе.

Методика решения задачи

Задача содержит в себе несколько частных задач, соответствующих пунктам решения. Исходными данными являются массы и координаты грузов. Последовательно нужно выполнить следующие действия.

1. Определение координат центра масс C системы из трёх грузов.

2. Определение радиусов вращения каждого из трёх грузов.

3. Определение центростремительного ускорения каждого из трёх грузов.

4. Определение шести углов, обозначенных на расчётной схеме.

С помощью скалярного произведения вычисляются косинусы указанных углов, а потом восстанавливаются значения самих углов.

5. Составление системы уравнений движения трёх связанных грузов.

6. Решение системы линейных уравнений выполняется методом Крамера.

Вычисляем главный определитель системы

.

Так как главный определитель не равен нулю (все указанные углы острые), система уравнений имеет единственное решение по первой части теоремы Крамера.

Вычисляем три определителя системы.

.

.

.

Результатом решения системы является вектор из трёх значений сил натяжения трёх соединительных тросов во вращающейся системе:

Задача решена.

Программная реализация алгоритма в табличном редакторе Excel

Формулы для расчёта сил натяжения соединительных тросов получаются громоздкими. Ручной счёт занимает много времени. Именно поэтому такая задача не предлагается в школе и даже на первом курсе ВУЗа. Однако даже с помощью знаний программы 9-го класса по математике и информатике можно выполнить не только расчёты по формулам, но ещё автоматизировать процесс вычислений. Очень просто применить для вычислений табличный редактор Microsoft Excel. Этот редактор не требует знаний специальных языков программирования, в него встроено много подсказок, он очень удобен для последовательного алгоритма, в том числе для решения поставленной задачи. На рис.2 показана копия экрана табличного редактора Microsoft Excel с реализованным алгоритмом расчёта сил натяжения трёх тросов системы.

Рис. 2. Копия экрана табличного редактора Microsoft Excel

Расчёт сил натяжения тросов выполняется строго по пунктам предыдущего параграфа по разработанной методике. Исходные данные, промежуточные результаты и конечные значения сил натяжения трёх тросов расчётов записываются в отведённые ячейки таблицы. Например, верхняя строка таблицы содержит исходные данные для выполнения последующих расчётов. Значения сил натяжения трёх тросов помещены в ячейки L24, L25, L26. Номера ячеек не принципиальны, поэтому выбираются каждым пользователем индивидуально. Но потом изменять номера ячеек нельзя, потому что программа будет на них ссылаться.

Для проверки правильности составления программы был проведён отладочный расчёт с известными заранее результатами по уже изученной схеме в виде правильного треугольника. Результаты отладочного расчёта приведены на рис.3 в виде копии экрана табличного редактора Microsoft Excel.

Рис. 3. Отладочный расчёт в редакторе Microsoft Excel

Отладочный расчёт доказал правильность составления алгоритма и программы, потому что результаты совпали с уже известным решением задачи. Например, в симметричной системе силы натяжения всех трёх тросов будут одинаковыми. Так оно и получилось. Таким образом, алгоритм и программа составлены правильно.

Главное назначение разработанной методики и программы заключается в быстром решении задачи о силе натяжения трёх тросов в произвольной треугольной вращающейся системе. Если для ручных расчётов с помощью калькулятора потребуется два-три часа, не менее, то с помощью предлагаемой программы результат получается мгновенно.

Для доказательства практической значимости разработанной методики и программы было выполнено проектирование двух вариантов космических тросовых вращающихся систем.

Примеры проектирования космических тросовых систем

В качестве исходных данных была принята общая масса космической системы 21 тонна без массы тросов. Такая масса обусловлена возможностями выведения на низкую околоземную орбиту полезной нагрузки 23,1 т с помощью тяжёлой ракеты-носителя «Протон». Если выведенную на орбиту полезную нагрузку распределить по трём одинаковым отсекам, то получатся космические аппараты массой по 7 т, то есть сопоставимые с массой 7,22 т космического корабля «Союз». Если эти три отсека соединить попарно тросами длиной по 1000 м в виде правильного треугольника, то для обеспечения перегрузки 1, то есть для получения центростремительного ускорения, равного земной величине 9,81 м/с2, понадобится закрутить тросовую систему с угловой скоростью 7,47 градуса/с. Период обращения тросовой системы будет равен 48 с. При таких исходных данных силы натяжения каждого из трёх тросов, рассчитанные по предлагаемой программе, будут равны 39647 Н, то есть приблизительно 40000 Н, или, в устаревшей технической системе единиц измерения, 4 тС (тонна-сила). Для справки: такую нагрузку спокойно выдерживает трос диаметром 8 мм из кевлара или обычный стальной трос такого же диаметра.

Другой вариант построения вращающейся тросовой системы предполагает один базовый космический корабль массой 15 т и два одинаковых небольших отсека массой по 3 т, типа спускаемого отсека корабля «Союз» с массой 2,9 т. В такой конфигурации при той же угловой скорости вращения системы центростремительное ускорение в большом отсеке будет равно 4,2 м/с2, а в двух малых отсеках 13,5 м/с2. Усилия в тросах, связывающих малые отсеки с большим немного уменьшится, станет равным 36411 Н (3,65 тС). Но при этом значительно, приблизительно в 5 раз уменьшится сила натяжения троса, связывающего два малых отсека, став равной 7283 Н (0,73 тС).

На рис.4. схематично показаны эти два варианта тросовых систем.

Следовательно, появились большие возможности для оптимизации вращающейся тросовой космической системы, состоящей даже из трёх отсеков.

Рис. 4. Два варианта треугольных тросовых систем

Список использованных источников и литературы

1. Меньшиков В.А., Перминов А.Н., Урлич Ю.М. Глобальные проблемы человечества и космос. – М.: «Изд. МАКД», 2010. – 570 с.

2. Осипов В.Г., Шошунов Н.Л. Космические тросовые системы: история и перспективы / Земля и Вселенная. Космонавтика. – Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С.П.Королёва. - №4, 1998.

3. Екимовская Анна. Вращающиеся тросовые космические системы. – Август, 2020. - Электронный ресурс, видеоролик (7:29): https://youtu.be/DZI0r_NWbsk

4. Екимовская А.А. 10 класс. Механика космических тросовых вращающихся систем. Секция: Физика. X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся. - Москва: Российская академия естествознания (РАЕ), август, 2019 г. Диплом Победителя 1 степени. - Электронный ресурс: конкурсная работа https://school-science.ru/10/11/45529; полный текст работы https://files.school-science.ru/pdf/10/5f3d29c48c57f.pdf; Диплом победителя 1 степени https://files.images.rae.ru/certificate/13/5f4e32880a7b8.png

5. Екимовская А.А. 9-й класс, МАОУ "Центр образования №32" города Череповца Вологодской области. Применение табличного редактора Microsoft Excel для решения задачи о космической тросовой вращающейся системе / Научно-методическое издание: Материалы XXXI конференции "Современные информационные технологии в образовании". Ред. группа: Алексеев М.Ю. и др. - Фонд новых технологий в образовании "БАЙТИК", ИТО-Троицк-Москва, 2-3 июля 2020. - 572 с. - ISBN 978-5-89513-468-9. - С.507-511.- Эл. ресурс: https://lk-ito.bytic.ru/uploads/files/materials.pdf

 

Приложение: результаты проверки статьи в двух системах «Антиплагиат» с показателями более 92%

Информационная система TEXT.RU и ANTIPLAGIAT.RU

Информационная система ANTIPLAGIAT.RU

 

Просмотров работы: 44