Сложные задачи в геометрической оптике

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Сложные задачи в геометрической оптике

Гроза Н.И. 1
1МОУ "Бендерский теоретический лицей имени Л.С.Берга"
Иванишко А.С. 1
1МОУ "Бендерский теоретический лицей имени Л.С.Берга"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Под покровом ночи мир вокруг нас становится таинственным и пугающим. Люди не могут представить свою жизнь без света. Благодаря световому излучению люди живут и открывают для себя вселенные. Многие ученные еще сотни лет назад начали изучать свойства света, старались разгадать его природу, законы, которым он подчиняется.

С тех пор прошло немало лет, и сегодня людям многое известно об этом некогда таинственном явлении. Школьники начинают изучать данный раздел классической физики еще в 8 классе. Однако так получается, что из-за недостаточного математического аппарата учащиеся не могут в полной мере оценить красоту и многообразие идеи и задач по данной теме. Выходит так, что к выпускному классу многие и вовсе забывают все то, что изучали несколько лет назад, и не способны решить даже простейшие задачи по данной теме.

Исходя из этого, я ставила перед собой следующие цели:

Изучить основные принципы и законы распространения света в окружающей среде;

Разобраться, как изучение людьми оптических законов каждый день упрощает нам жизнь;

Рассмотреть характерные задачи по данной теме, которые учащиеся могут встретить на экзаменах и олимпиадах различного уровня.

1.Основные законы геометрической оптики

П учок света – это совокупность огромного числа элементарных частиц – фотонов. В межзвёздном пространстве эти волны-частицы мчатся с огромной скоростью – м/с. Впервые числовое значение скорости света вычислил в 1675 году датский астроном Оле Рёмер, догадавшийся связать время задержки выхода одного из спутников Юпитера из его тени, со временем распространения света вдоль диаметра орбиты Земли.
Скорость света в вакууме принято обозначать буквой c. Скорость vсвета в каком-либо веществе и скорость света в вакууме связаны простым соотношением:


где коэффициент n называется абсолютным показателем преломления соответствующего вещества. [1, с.3] Любая среда имеет свой показатель преломления. Например, для стекла он примерно равен 1,6, а для алмаза – 2,4. Показатель преломления вакуума равен 1 по определению.

В процессе распространения свет подчиняется определённым законам, которые были известны ещё задолго до определения физической природы света. Каждый из них не единожды доказывался экспериментальным путём.

Закон прямолинейного распространения света:

В оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно.

На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после отражения по новому направлению, а часть пройдет через границу и продолжит распространяться во второй среде. [2,с.187]

З акон отражения света:

Падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.[2,с.187]

З акон преломления света(закон Снеллиуса):

П

[2, с.288]

адающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред:

Т акже следует отметить, что
1. Распространение любого светового пучка в среде не зависит от наличия других пучков света.
2. Освещённость любой сколь угодно малой части экрана, создаваемая несколькими световыми пучками, равна сумме освещённостей, создаваемых каждым пучком в отдельности. [1,с.3]

Задача1.
Высота комнаты H1 = 3,3 м. На расстоянии H2 = 2,2 м от пола висит лампа. Нить накала лампы можно считать точечным источником света. На полу лежит плоское зеркальце прямоугольной формы размерами 4 × 6 см
1) На каком расстоянии
H от потолка находится изображение нити накала лампы в зеркальце? 2) Найти форму и размеры "зайчика", полученного от зеркальца на потолке.[4, с. 232]

Р

1) H = H1+H2
2)форма «зайчика» подобна форме зеркала, размер – 10 × 15 см

ешение:
1) Не трудно доказать, что (т.к. )

2) Т.к. плоскость пола (а значит и плоскость зеркала) параллельна плоскости потолка, то форма «зайчика» будет подобна форме зеркала.
(т.к. ) ⇒ , где ⇒ ⇒ MC = 15 см, MQ = 10 см .

Ответ:

(Пример задачи на преломление – Приложение 1)

2 . Преломление в тонком клине

Определим угол отклонения светового луча при прохождении им тонкого клина.
Рассмотрим клин с малым углом φ при вершине, изготовленный из материала с абсолютным показателем преломления n2.
Пусть α – угол падения светового луча на клин; θ – угол отклонения направления распространения света при прохождении клина.
1.По закону Снеллиуса:

;

Т.к. мы рассматриваем малые углы, то будут справедливы равенства:
⇒ ; ⇒

2. По теореме о внешнем угле треугольника:
(1*)

3. т.к. сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° :

⇒ = 360° ⇒ (2*)
4. Подставим (2*) в выражение (1*). Получим:
(1)

Заметим, что при малых углах угол отклонения луча не зависит от угла падения. Его величину будет определять только угол φ при вершине клина и отношение абсолютных показателей преломления сред. Остюда следует, что если на клин упадет пучок параллельных лучей, то после преломления лучи останутся параллельными.

Формула (1) является одной из наиболее важных в геометрической оптике. Её знание довольно часто сильно облегчают сложные на первый взгляд задачи. (Пример использования приведен в задаче, представленной в Приложении 2)

В жизни мы очень часто сталкиваемся с зеркалами. Ученик перед школой смотрит на свое отражение, чтобы проверить, насколько опрятно он выглядит. Водитель смотрит в зеркала заднего вида, чтобы контролировать ситуацию на дороге. Однако, помимо привычных всем плоских зеркал, на практике также широко используются и сферические зеркала. В школах не часто рассматривают данный тип зеркал, хотя они, подобно линзам, обладают очень интересным свойством собирать свет.

3 .Сферические зеркала
Сферическими зеркалами называют сегменты сферической поверхности, зеркально отражающие свет. Если на зеркало пустить пучок параллельных лучей, то после отражения они соберутся в одной точке, называемой фокусом.
Величину, обратную фокусному расстоянию, называют оптической силой сферического зеркала. Единица оптической силы называется диоптрией (дптр). Оптическая сила зеркала с F = 1 м равна 1 дптр. Фокус сферического зеркала располагается на расстоянии от центра кривизны зеркала (доказательство данного утверждения – Приложение 3)
Построение изображений в сферических зеркалах.
Д ля построения изображения в сферическом зеркале обычно используют четыре характерных луча:
1. Луч AOB, проходящий через центр зеркала O, при отражении не меняет своего направления;
2. Луч AP , проходящий через фокус F, отражается параллельно главной оптической оси;
3. Луч AD, параллельный главной оптической оси, после отражения проходит через фокус F;
4. Луч AC, падающий на полюс зеркала, отражается симметрично относительно главной оптической оси OC.

3. Формула сферического зеркала.

Проведем через центр кривизны O и точку C главную оптическую ось. Поместим на ней точечный источник света S. Тогда S – действительное изображение данного источника, построенное зеркалом. Несложно доказать, что в данном случае будет верно равенство: (доказательство – Приложение 4)

Данное равенство называется формулой сферического зеркала. Выражение можно обобщить также для выпуклого зеркала. Тогда формула примет вид:

Знак в левой части равенства будет зависеть от типа зеркала. Знак перед слагаемым зависит от того, действительный предмет («+») или мнимый («−»),
а перед слагаемым – от изображения предмета в зеркале (действительное – «+», в противном случае – «−») .

Интересно, что подобного рода формулы мы получим и для линз.(Зависимость изображения, полученного в сферическом зеркале, от типа зеркала и расстояния от предмета до зеркала – Приложение 5)

Поперечным увеличением называют отношение поперечного размера H изображения к поперечному размеру h предмета.

(см.рис. к зад. 4 ):⇒ ⇒
где a и b – расстояния от предмета до зеркала и от зеркала до изображения соответственно.

Задача 2. С помощью сферического зеркала построено изображение A1B1 предмета AB. Определить построением положение и фокус зеркала. Вогнутое или выпуклое это зеркало?[3, с. 120]

Р ешение: 1) Изображение перевернутое ⇒ действительное ⇒ зеркало вогнутое.
2) Луч, проходящий через центр кривизны зеркала после отражения пойдет по той же траектории ⇒ точка пересечения главной оптической оси с прямой AA1 – центр кривизны зеркала O.
3) Пусть отрезок симметричен AB относительно главной оптической оси.
⇒ ⇒ C – полюс зеркала.
4) Фокус сферического зеркала равен половине радиуса. ⇒ Найдя середину OC, мы найдем фокус зеркала.

Задача 3. Сферическое зеркало лежит на горизонтальной поверхности. При этом изображение звезды, находящейся в зените, даваемое этим зеркалом, расположено на расстоянии a от зеркала. Зеркало до краев заполнили жидкостью, и после этого изображение звезды оказалось на расстоянии 0.7a от зеркала. Определить показатель преломления жидкости. Диаметр зеркала существенно меньше его радиуса кривизны. [3, с.124]

Решение: 1) Звезда – бесконечно удаленный объект. Следовательно, свет от звезды можно рассматривать как пучок параллельных лучей. Тогда изображение звезды будет располагаться в фокусе зеркала.
2)Рассмотрим два луча, отразившихся от зеркала после добавления жидкости. Первый из них пройдет через центр кривизны O перпендикулярно поверхности жидкости ⇒ после преломления пойдет по первоначальной траектории. Пусть второй луч упал на зеркало под углом . Тогда:

 

, для малых углов:
; ⇒ ; для малых углов:

 

Ответ: 1,4

Задача 4. Человек смотрит в вогнутое сферическое зеркало и видит прямое изображение своего глаза. Угловой размер этого изображения в γ=1.8 раза больше углового размера изображения, которое получилось бы в плоском зеркале, помещенном на таком же расстоянии a=24 см. Определить радиус кривизны зеркала. [3, с.122]

Р ешение:
Пусть поперечное расстояние глаза равно E=2h1, а фокусное расстояние сферического зеркала равно F.Тогда:

⇒ ⇒

⇒ ⇒

α

Ответ: 54 см

=γβ ⇒ ⇒ ⇒ =1,8a+ ⇒ ⇒

4 .Тонкие линзы.

Л инзой называют прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой[2, с.197]

Линза, которая преобразует пучок параллельных лучей в сходящийся (собирает их в одну точку), называется собирающей линзой. Линза, преобразующая пучок параллельных лучей в расходящийся, называется рассеивающей. Собирающая линза в середине толще, чем на концах. Рассеивающая линза тоньше в середине.

Прямая, проходящая через центры кривизны О1 и O2 сферических поверхностей линзы, называется ее главной оптической осью. В случае тонких линз приближенно можно считать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, которую принято называть оптическим центром линзы(обозначается буквой О). Все прямые, проходящие через оптический центр, называются побочными оптическими осями[1,с.198]

П остроение в тонкой линзе.
Так же, как и в случае со сферическим зеркалом, при построении изображения в тонкой линзе пользуются несколькими «удобными» лучами:
1 . Луч, проходящий через оптический центр линзы, не меняет своего направления;
2.Лучи, подающие на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления сходятся в фокусе линзы;

3. Лучи, проходящие через фокус линзы, после преломления будут распространяться параллельно главной оптической оси;
4. Все параллельные лучи после преломления пересекутся в одной точке на фокальной плоскости.

Ф ормула тонкой линзы.

Рассмотрим тонкую собирающую линзу, с фокусным расстоянием F, а также предмет AB и его изображение в линзе A1B1.

 

⇒ ⇒

(т.к. OMF ~ B1A1F)

(т.к. ABO ~ A1B1O)

Полученное равенство называют формулой тонкой линзы. Заметим, что формула тонкой линзы аналогична формуле сферического зеркала. Фокусным расстояниям линз принято приписывать определенные знаки: для собирающей линзы F > 0, для рассеивающей F < 0. Величины d и f также подчиняются определенному правилу знаков:
d > 0 и f > 0 — для действительных предметов (т. е. реальных источников света, а не продолжений лучей, сходящихся за линзой) и изображений;
d < 0 и f < 0 — для мнимых источников и изображений.[2, с.200]

Таблица зависимости типа изображения в линзе от положения предмета Приложение 6.

Поперечное увеличение в линзе

Т

.к. ABO ~∆A1B1O, то

По формуле тонкой линзы:

Задача 5.

Расстояние между точечным источником света и экраном равно L. Линза, помещенная между ними, дает на экране четкое изображение при двух положениях, расстояние между которыми равно l. Определить фокусное расстояние линзы.[3, с.115]

Решение:
1) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
2) ⇒ ⇒ ⇒

О твет:

Прежде чем приступать к решению следующих задач следует отметить несколько важных моментов:

Если предмет перемещается относительно линзы, то направления скоростей предмета и изображения (имеются в виду скорости относительно линзы) будут пересекаться на линзе, либо будут параллельны ей.

Действительно, если положим, что предмет за маленькое время ∆τ переместился из точки 1 в точку 2(а изображение в свою очередь из точки 3 в точку 4), то луч света, исходящий от предмета в положении 1 и проходящий через точку 2 после преломления обязательно пройдет через точки 3 и 4.

О тношение поперечных скоростей (т.е. тех составляющих скоростей, которые перпендикулярны главной оптической оси линзы) изображения и предмета равно поперечному увеличению.

(Пример задачи по данным правилам – Приложение 7)

Обратим внимание, насколько схожи линзы и сферические зеркала: способность собирать свет, формулы зеркала и линзы, вогнутые (выпуклые) зеркала и собирающие (рассеивающие) линзы. И те и другие активно применяются на практике. Например, сферические зеркала помогают собирать свет в фонариках и автомобильных фарах, а также используются в охранных системах или для нагрева воды (см.рис.), а линзы являются незаменимым составляющим огромного количества оптических приборов: микроскопы и телескопы, лупы и очки, фото- и видеотехника, глазок в входной двери или проектор в кинотеатре.

5.Оптические системы

До этого момента мы рассматривали, по какой траектории будет распространяться свет после прохождения через линзу. Но что, если линзы будет две? А если за линзой поставить зеркало или тонкий клин? Чтобы разобраться с этими вопросами рассмотрим несколько часто встречающихся оптических систем.

а ) Линза + линза

Задача 6. Оптическая система состоит из рассеивающей линзы Л1 и собирающей линзы Л2 , расположенных на расстоянии L = 10см друг от друга. Главные оптические оси параллельны. Параллельный пучок света, падающий перпендикулярно плоскостям линз, фокусируется системой в точке F, расположенной слева от рассеивающей линзы Л1 на расстоянии a = 30 см от неё и на расстоянии b = 1 см от её оптической оси.

1) Найдите фокусное расстояние F2 собирающей линзы Л2.

2) Определить расстояние d между оптическими осями линз. Фокусное расстояние линзы Л1 F1= 10 см.[4, с.247]

Решение: 1)Т.к. на рассеивающую линзу падает пучок параллельных лучей, то после прохождения через Л1 лучи построят мнимое изображение И1 в переднем фокусе линзы Л1. Тогда для линзы Л2 изображение И1 будет являться действительным предметом. Т.к. после прохождения через вторую линзу наблюдатель увидит изображение в точке F, то F – мнимое изображение, построенное линзой Л2.

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Ответ: F2=40см; d=1 см

б) Линза + зеркало.
Задача 7. Маленький грузик массой m  на пружине жесткости K  совершает гармонические колебания относительно главной оптической оси тонкой плоско-вогнутой линзы с фокусным расстоянием -F (F>0). Линза плотно прижата к вертикально расположенному плоскому зеркалу. Расстояние от грузика до зеркала L=4,5F. 1) На каком расстоянии от зеркала находится изображение грузика в приведённой оптической системе? 2) С какой скоростью изображение грузика пересекает главную оптическую ось линзы, если амплитуда его колебаний равна A? [4,с.237]

Р

Ответ: 1) 0,45F; 2)

ешение:
Не трудно заметить, что в данной системе свет от шарика пройдет через линзу дважды: до и после отражения от зеркала. Тогда мы можем поменять данную систему на аналогичную (с точки зрения расстояний) систему, состоящую из двух линз.
Система из двух плотно прижатых друг к другу линз с оптическими силами D1 и D2 идентична единичной линзе с оптической силой .
Тогда: 1. ⇒ ⇒ 2. ⇒ ⇒ ⇒
3. В момент пересечения главной оптической оси шарик будет двигаться с максимальной скоростью.
4. ⇒

в ) Линза + плоскопараллельная пластина
Задача 8. Луч лазера, направленный под малым углом α=0,1рад к главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F=3 см, наблюдается в виде светящейся точки на экране Э, расположенном на расстоянии L = 540 см от линзы. Если слева от линзы поставить плоскопараллельную прозрачную пластину толщины d = 1 см, то светящаяся точка сместится по экрану на расстояние a = 7 см. Определите показатель преломления пластины.[4, с. 255]

Р

Ответ: 1,6

ешение: 1. ⇒ ⇒
2. ; ⇒

3. (На рисунке: фиолетовый луч – траектория прохождения луча при отсутствии пластины, красный – при наличии пластины.) Так как луч после прохождения через пластину будет параллелен первоначальной траектории, то в обоих случаях луч лазера пройдет через одну и ту же точку на фокальной плоскости. ⇒ высоты данных треугольников относятся как коэффициент подобия ⇒ ⇒
4 . n≈1,6

г) Линза – жидкость

З адача 9. По вертикальной стене C ползет муха со скоростью U=2 см/с. С помощью собирающей линзы Л  с фокусным расстоянием F=24 см  изображение мухи получают на задней стенке Э прямоугольного сосуда, заполненного прозрачной жидкостью с показателем преломления n=1,4.  Определить скорость u  перемещения изображения мухи в момент пересечения главной оптической оси линзы. Линейные размеры: l=28см, L = 10 см.[4, с.228]

Решение:
1. Рассмотрим некий луч a, исходящий от мухи.
; ⇒ (для параксиальных лучей)
2. По закону преломления: ⇒ (для паракс. лучей)
⇒ ⇒ ⇒3. ⇒ ⇒ ⇒ Ответ:

В жизни мы очень часто сталкиваемся с оптическими системами. К примеру, важной составляющей камеры любого смартфона является система из множества линз. Цифровые фотоаппараты – это система из линз и зеркал. Также оптические системы мы можем встретить в орбитальных и наземных телескопах или микроскопах.

Дополнительные примеры задач по данной теме представлены в Приложении 8.


Заключение.

В нашей жизни мы часто не осознаем, насколько проще делают эту жизнь научные достижения. Каждый день мы пользуемся множеством устройств и приборов, даже не задумываясь, как они устроены и почему работают так, а не иначе. В своей работе мне удалось немного приоткрыть завесу этой тайны и объяснить некоторые физические явления. Мной были изучены основные законы, определяющие поведение света в различных условиях, и с их помощью было решено множество сложных и интересных задач. Данное исследование может помочь школьникам и абитуриентам подготовиться к экзаменам и олимпиадам различного уровня и развить навык решения задач по геометрической оптике. Кроме того, я лично смогла убедиться, что оптика – это не только формулы и задачи. Познания людей в данной сфере получили свое практическое применение как в области научных исследований, так и в повседневной жизни каждого из нас. Считаю, что мне удалось выполнить все поставленные передо мной задачи.

Литература:

Слободянин В. П., Нусратуллин А. З.,: ЗФТШ МФТИ, Физика: задание №5 для 11-х классов (2019 – 2020 учебный год), 2020, 28 с.

Физика. 10— 11 классы : пособие для учащихся и абитуриентов. В 2 ч. Ч.2. / С. М. Козел. — М. : Мнемозина, 2010. — 400 с.

Сборник задач по физике: Учебное пособие / Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М., Мазанько И.П. ; Под ред. Козела С.М. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 288 с.

Методическое пособие по физике для учащихся старших классов и абитуриентов / Отв. ред. Ю.В. Чешев. – 6 изд., стер. – М.: Физматкнига, 2017. – 432 с.

Приложение 1

Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину (n=1,5) толщиной d = 6 см. Угол падения равен 60°. Найти величину смещения луча , прошедшего через эту пластину. Решение:

 


2 ) По закону преломления: ⇒ ⇒
⇒ (получено из предыдущего равенства с помощью формулы )

3)

Ответ: 3,07 см

П риложение 2.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2015, 10–11)
Узкий пучок света падает нормально на поверхность плоскопараллельной пластины, склеенной из двух плотно прижатых клиньев с углом при вершине α = 4◦ . Разность показателей преломления материалов клиньев ∆n = n1 − n2 = 0,3. Под каким углом к первоначальному направлению выйдет пучок из пластины? При расчётах учесть, что для малых углов tg α ≈ sin α ≈ α (в радианной мере).

Р ешение:
Рассмотрим данную пластину как два отдельных тонких клина.. .
По формуле 1, после прохождения первого клина луч света отклонится от первоначального направления распространения на .
После прохождения второго клина луч света отклониться на угол .
Из рисунка видно, что общий угол отклонения (φ) при прохождении через пластину равен:

Ответ:1,2°

Приложение 3.

Р ассмотрим вогнутое сферическое зеркало. Пусть радиус кривизны его поверхности равен R, центр кривизны – точка O. Выберем на зеркале произвольную точку C и проведем радиус OC. В этом случае OC – главная оптическая ось системы, точка C – полюс.

Направим луч, параллельный главной оптической оси – луч MA. Перпендикуляр к поверхности в точке падения луча MA – радиус сферической поверхности, проведенный к данной точке (радиус OA).

 

⇒ ⇒
OK=AK

(по закону отражения света)

(накр./леж. пр.при MAOC и сек. OA)

Через точку A проведем прямую, перпендикулярную OA – прямую OL. Тогда:

 


AK=KL

 

OK=AK=KL

 

Рассмотрим данную систему в приближении параксиальной оптики. Т.е. будем рассматривать ситуацию, когда падающий луч MA достаточно близок к главной оптической оси, а угол падения луча MA мал. В этом случае отрезок Следовательно, OK = KL = KC+CLKC.

Отсюда получаем, что пучок лучей, падающих на зеркало параллельно главной оптической оси, сфокусируется на ней. Причем

Приложение 4.

Проведем через центр кривизны O и точку C главную оптическую ось. Поместим на ней точечный источник света S. Пусть SA – произвольный луч от источника до зеркала. Углы SAO и OAS* - углы падения и отражения соответственно. На пересечении луча AS* с главной оптической осью (здесь SC, проходящий через центр зеркала O, будет играть роль второго луча) будет находиться действительное изображение S* источника S.

и

з △ SAO : δ=α+γ1 (по теореме о внешнем угле треугольника)
из △ OAS*: γ2=δ+α (по теореме о внешнем угле треугольника )

δγ2 = γ1δ 2δ = γ1+γ2

; ;

В приближении параксиальной оптики (при малых γ1, γ2, α, δ):

⟹ ⟹

Приложение 5.

Тип зеркала

a*

Изображение

Вогнутое сферическое зеркало

a< F

мнимое

прямое

увеличенное

 

F<a<R

действительное

перевернутое

увеличенное

 

a>R

действительное

перевернутое

уменьшенное

 

Выпуклое сферическое зеркало

не зависит от a

мнимое

прямое

уменьшенное

 

* a – расстояние от предмета до зеркала

Приложение 6.

Тип линзы

d*

изображение

 

Собирающая

d<F

мнимое

прямое

увеличенное

 

F<d<2F

действительное

перевернутое

увеличенное

 

d>2F

действительное

перевернутое

уменьшенное

 

Рассеивающая

не зависит от d

мнимое

прямое

уменьшенное

 

* d – расстояние от предмета до зеркала

Приложение 7

Муха пересекает главную оптическую ось собирающей линзы на расстоянии a = 3F, где F – фокусное расстояние линзы, под малым углом

Просмотров работы: 113