XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Способы быстрого счёта
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность изучения способов быстрого счёта заключается в том, что их применение даёт реальный практический эффект и способствует тренировке нашего мозга, что особенно важно в настоящее время, когда различные электронные устройства заменяют нам некоторые функции, ранее выполнявшиеся нашей памятью и умом.
Большинство психологов признают существование трех уровней памяти, различающихся по тому, как долго на каждом из них может сохраняться информация. В соответствии с этим различают непосредственную, или сенсорную, память, кратковременную память и долговременную память [1].
При проведении математических вычислений мы используем кратковременную память, поэтому должны ясно представлять себе её возможности и ограничения.
Кратковременная память характеризуется не только определенной длительностью удержания информации, но также емкостью, т. е. способностью одновременно сохранять определенное число разнородных элементов информации.
В 1959 году американским психологом Ллойдом Петерсоном было установлено, что кратковременная память действует в течение примерно 20 секунд; за это время сохраняется очень немного информации – например, какое-то число или несколько слогов из трех-четырех букв. В случае, если информация не вводится повторно или не «прокручивается» в памяти, она по истечении этого промежутка исчезает, не оставляя заметных следов.
С 1885 года немецкий психолог Герман Эббингауз ставил опыты с целью выяснить, сколько информации он может одновременно запомнить без каких-либо специальных мнемонических приемов. Оказалось, что емкость памяти ограничена семью цифрами, семью буквами или же названиями семи предметов. В 1957 г. гарвардский психолог Джордж Миллер опубликовал статью, ставшую самой цитируемой публикацией в истории психологических исследований. Статья называлась «Магическая цифра семь плюс-минус два: о некоторых пределах нашей способности обрабатывать информацию». В своих первоначальных экспериментах он показывал студентам буквы, слова или числа, а затем спрашивал, что из показанного они могут вспомнить. Большинство из них без ошибки вспоминали пять цифр. Попытки вспомнить большее количество цифр часто оказывались неудачным. Он показал, что память действительно в среднем не может хранить одновременно более семи элементов; в зависимости от сложности элементов это число может колебаться в пределах от 5 до 9 (рис 1).
Рисунок 1 – Диаграмма Миллера о запоминании цифр [2].
Если необходимо в течение короткого времени сохранить информацию, включающую больше семи элементов, мозг почти бессознательно группирует эту информацию таким образом, чтобы число запоминаемых элементов не превышало предельно допустимого. Так, номер банковского счета 30637402710, состоящий из одиннадцати элементов, будет, скорее всего, запоминаться как 30 63 740 27 10, т.е. как пять числовых элементов, или 8 слов (тридцать, шестьдесят, три, семьсот, сорок, двадцать, семь, десять).
Хорошим примером того, как емкость кратковременной памяти может ограничивать познавательную деятельность, служит счет в уме. Так, умножить 32 на 64 сравнительно легко, однако многие не могут сделать этого без карандаша и бумаги. Чаще всего такие люди говорят при этом, что они «не сильны в арифметике». На самом же деле им, вероятно, мешает накопление промежуточных операций и данных, быстро перегружающее кратковременную память.
Способы быстрого счёта разработаны с целью уменьшения производимых действий и служат для ускорения вычислений. Поэтому каждый ученик должен овладеть способами быстрого счёта и научиться их применять в повседневной учёбе и работе.
Гипотеза исследования: применение приемов быстрого счета облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учеников, быстроту решения практических задач.
Цель исследований: изучить существующие способы быстрого счёта.
Задачи исследования:
1. Изучить найденную литературу по данному вопросу.
2. Определить наиболее эффективные в плане формирования вычислительных навыков способы быстрого счёта.
3. Распространить опыт использования способов быстрого счёта среди учащихся 5 классов.
Методы исследования:
изучение теории по выбранной теме;
анализ литературы;
практическое применение знаний умений и навыков.
Обзор литературы
Одной из первых книг, которую встречает изучающий проблему быстрого счёта, является книга Я.И. Перельмана, предлагающая читателям тридцать приёмов быстрого счёта [3]. В книге собраны различные приемы умножения и деления на однозначные и двузначные числа. Автор пишет, что «усвоив рекомендуемые приёмы, можно выполнять быстрые расчёты в уме с безошибочностью письменных вычислений»..
Гольдштейн Д.Н. – эстрадный счетчик-моменталист, разработчик и популяризатор методов устного счета, в своей статье [4] описывает несколько способов быстрого умножения. В 1948 выходит его книга «Техника быстрых вычислений» [5], где было собрано и систематизировано множество приемов и способов применительно ко всем арифметическим действиям.
В статье [6] предлагаются простые методы, позволяющие быстро в уме выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление чисел, извлечение квадратных корней, возведение в квадрат и отмечает, что одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.
Авторы статьи [7] кроме различных приёмов быстрого выполнения арифметических действий приводят результаты исследования в своём учебном заведении, показывающие, что большинство учеников не применяют способы быстрого счёта, но хотели бы этому научиться.
В статьях, собранных в брошюре [8], рассказывается о некоторых приемах организации устного счета, приводится много приемов, позволяющих ускорить и рационализировать вычисления. Показывается, как на уроках алгебры можно обосновать алгоритмы устных вычислений.
Автор статьи [9] делится с читателями собранными им различными способами счёта. Среди них можно отметить интересные способы сложения нескольких многозначных чисел, старинные способы умножения у разных народов и возведение в квадрат многозначных чисел.
Результаты и обсуждение
Рассмотрим различные способы быстрого счёта, описанные в изученных публикациях, на примерах.
Сложение
1) Если слагаемое увеличить на некоторое число, то это же число следует вычесть из полученной суммы. Например:
650 + 346 = (650 + 346 + 4) – 4 = (650 + 350) – 4 = 1000 – 4 = 996
2) Если одно слагаемое уменьшить на некоторое число, а ко второму слагаемому это же число добавить, то сумма не изменится. Например:
335 + 765 = (335 + 5) + (765 – 5) = 340 + 760 = 1100
Вычитание
1) Вычитаем из 1000. Для того, чтобы вычесть число из 1000, отнимаем каждую цифру числа от «9», а последнюю цифру отнимаем от 10. Например:
1000 – 248 = (9-2) _ (9-4) _ (10-8) = 752
2) Если к уменьшаемому и вычитаемому добавить одно и то же число, результат не изменится. Например:
365 – 223 = (365 + 5) – (223 + 5) = 370 – 228 = 142
Умножение
1) Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29 ∙ 12 = 29 ∙ 10 + 29 ∙ 2 = 290 + 58 = 348.
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
2) Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (например: 14 = 2 ∙ 7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз, чтобы получить круглое число. Например:
45 ∙ 14 = 45 ∙ 2 ∙ 7 = 90 ∙ 7 = 630.
3) Умножение чисел от 10 до 20. Можно очень просто умножать такие числа.
К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например:
16 ∙ 18 = (16 + 8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288.
Другой вид этого способа заключается в наглядной записи операции. Например, нужно узнать, сколько будет 12 ∙ 14. В нижней строке записываем пример 12 ∙ 14. В верхней строке пишем, насколько эти числа больше 10. Получаем 2 и 4. Складываем числа по диагонали. Получаем 12 + 4 = 16, 14 + 2 = 16. Мы получили 16 десятков, ведь наши исходные цифры больше десяти. Поэтому 16 умножаем на 10. 16 ∙ 10 = 160. Осталось только умножить верхние числа 2 ∙ 4 = 8 и прибавить полученную цифру к ответу.
2 4
12 ∙ 14 = (12 + 4) ∙ 10 + 2 ∙ 4 = 160 + 8 = 168.
4) Умножение на 11. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Например:
72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792.
5) Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Например:
94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.
6) Умножение на 22, 33,…, 99. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т. д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. Например:
24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528.
7) Умножение на 5, на 50, на 25, на 125. При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:
a ∙ 5 = a ∙ 10 : 2
a ∙ 50 = a ∙ 100 : 2
a ∙ 25 = a ∙ 100 : 4
а ∙ 125 = а ∙ 1000 : 8
Например:
17 ∙ 5 = 17 ∙ 10 : 2 = 170 : 2 = 85;
43 ∙ 50 = 43 ∙ 100 : 2 = 4300 : 2 = 2150;
27 ∙ 25 = 27 ∙ 100 : 4 = 2700 : 4 = 675;
96 ∙ 125 = 96 : 8 ∙ 1000 = 12 ∙ 1000 = 12000.
8) Умножение чисел близко отстоящих от 100.
Например, найдём произведение
87 ∙ 96 = ?
Находим дополнения до 100 обоих чисел
100 – 87 = 13, 100 – 96 = 4.
Отнимаем от одного из данных чисел дополнение другого числа и получаем первые два знака результата
87 – 4 = 83.
Произведение обеих дополнений дает последние два знака результата
13 ∙ 4 = 52.
Таким образом, результат:
87 ∙ 96 = 8352.
9) Умножение чисел с одинаковой цифрой десятков и суммой цифр единиц равной 10. Например, найдёт произведение
68 ∙ 62 = ?
Первые два знака результата получаем, умножая число десятков на себя, увеличенное на единицу
6 ∙ (6+1) = 42.
Вторые два знака равны произведению единиц
8 ∙ 2 = 16.
Таким образом, результат равен
68 ∙ 62 = 4216.
10) Умножение чисел цифры десятков у которых разнятся на единицу и сумма цифр единиц равна 10. Например, найдёт произведение
73 ∙ 67 = ?
Пользуемся только большим числом, а именно: от квадрата числа его десятков отнимаем единицу, получаем первые два знака результата
72 = 49; 49 – 1 = 48.
Берем дополнение до 100 квадрата цифры единиц и получаем последние два знака результата
32 = 9; 100 – 9 = 91.
Таким образом, результат равен
73 ∙ 67 = 4891.
Деление
1) Деление на 5, на 50, на 25.
При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями:
a :5 = a ∙ 2 : 10
a : 50 = a ∙ 2 : 100
a : 25 = a ∙ 4 : 100
Например:
35 : 5 = 35 ∙ 2 : 10 = 70 : 10 = 7
3750 : 50 = 3750 ∙ 2 : 100 = 7500 : 100 = 75
6400 : 25 = 6400 ∙ 4 : 100 = 25600 : 100 = 256
Выводы
Изучив литературу по выбранной теме и рассмотрев разные способы быстрого счёта можно сделать вывод, что наибольшее внимание уделяется умножению, т.к. ему в литературе уделено больше всего внимания и разработано больше всего различных способов быстрого счёта. Можно отметить, что эти способы, как правило, отработаны для определённых видов чисел и направлены именно на устный счёт. Большая часть из них выигрывает в скорости счёта перед обычными способами, например действиями «в столбик», за счёт большей наглядности и упрощения вычислений.
Для того, чтобы подвести итоги своей работы, сравним решение примеров способом умножения в столбик с несколькими способами быстрого счёта и заполним таблицу 1. Этими способами будут:
Умножение двузначного числа на 11;
Умножение чисел близко отстоящих от 100;
Умножение чисел с одинаковой цифрой десятков и суммой цифр единиц равной 10;
Умножение чисел цифры десятков у которых разнятся на единицу и сумма цифр единиц равна 10.
Умножение двузначного числа на 11
Пример: 47 · 11 = ?
Решение способом в столбик:
|
× |
4 |
7 |
|
|
1 |
1 |
||
|
+ |
4 |
7 |
|
|
4 |
7 |
||
|
5 |
1 |
7 |
Решение способом быстрого счёта:
47 ∙ 11 = 4 (4 + 7) 7 = 4 (11) 7 = (4 + 1) 17 = 517.
Умножение чисел близко отстоящих от 100
Пример: 94 · 87 = ?
Решение способом в столбик:
|
× |
9 |
4 |
||
|
8 |
7 |
|||
|
+ |
6 |
5 |
8 |
|
|
7 |
5 |
2 |
||
|
8 |
1 |
7 |
8 |
Решение способом быстрого счёта, порядок действий ,,,:
94 · 87 = ?
100 – 94 = 6, 100 – 87 = 13,
8 7 – 6 = 81, 6 ∙ 13 = 78.
Ответ: 8178.
Умножение чисел с одинаковой цифрой десятков и суммой цифр единиц равной 10
Пример: 76 · 74 = ?
Решение способом в столбик:
|
× |
7 |
6 |
||
|
7 |
4 |
|||
|
+ |
3 |
0 |
4 |
|
|
5 |
3 |
2 |
||
|
5 |
6 |
2 |
4 |
Решение способом быстрого счёта:
76 · 74 = ?
7 · (7 + 1) = 56, 6 · 4 = 24,
Ответ: 5624.
Умножение чисел цифры десятков у которых разнятся на единицу и сумма цифр единиц равна 10
Пример: 87 · 73 = ?
Решение способом в столбик:
|
× |
8 |
7 |
||
|
7 |
3 |
|||
|
+ |
2 |
6 |
1 |
|
|
6 |
0 |
9 |
||
|
6 |
3 |
5 |
1 |
Решение способом быстрого счёта:
87 · 73 = ?
82 = 64; 64 – 1 = 63, 72 = 49; 100 – 49 =51,
Ответ: 6351.
Таблица 1 Преимущества и недостатки способов быстрого счёта.
|
Название способа |
+ |
– |
|
Умножение в столбик |
Не нужно держать в памяти множители и промежуточные результаты |
Нужно всё записывать в тетради |
|
Умножение двузначного числа на 11 |
1) Действие проводим только с первым множителем; 2) Сразу можем начать записывать ответ; |
Только для числа 11 |
|
Умножение чисел близко отстоящих от 100 |
1) Нужно провести всего одно умножение; 2) После двух вычитаний можно уже начать записывать результат; |
1) Наиболее подходит для чисел, у которых произведение дополнений не превышает 100; 2) Требует развития навыка, т.к. не является наглядным. |
|
Умножение чисел с одинаковой цифрой десятков и суммой цифр единиц равной 10 |
1) Всего два умножения вместо четырёх, не нужно складывать многозначные числа; 2) Сразу можем начать записывать ответ; |
Только для чисел, указанных в названии способа |
|
Умножение чисел цифры десятков у которых разнятся на единицу и сумма цифр единиц равна 10 |
1) Вместо четырёх умножений и сложения многозначных чисел только два квадрата и дополнение; 2) Сразу можем начать записывать ответ; |
Только для чисел, указанных в названии способа |
В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме (Таблица 1), изучить различные способы быстрого счёта, научиться быстро решать примеры с умножением и делением двухзначных чисел. Все рассмотренные способы требуют применения для решения конкретной задачи и каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее интересен способ умножения чисел близко отстоящих от 100.
Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Знание приемов быстрого счета развивает мышление, логику, внимательность, наблюдательность, гибкость ума.
Подводя итоги, можно сделать вывод: способы быстрого счёта играют огромную роль в математике, найденные и освоенные новые знания могут пригодиться не только в школе и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни.
Список литературы
Готфруа Ж. Что такое психология? // – М. – 1992. – Т. 1.
Сабиров И. Какой объем информации мы можем запомнить за раз? Магическое число 7 [Электронный ресурс] // Блог об эффективном образовании и обучении. URL: http://ilgiz-sabirov.ru/kakojj-obem-informacii-my-mozhem-zapomnit-za-raz-magicheskoe-chislo-7/ (дата обращения 22.03.2020).
Перельман Я.И. Быстрый счёт // – Л.: 4-я тип. Лениздата им. Григорьева. – 1941.
Гольдштейн Д.Н. Счет и искусство // Цирк и эстрада. – 1929. – № 22–23. стр. 8–9.
Гольдштейн Д.Н. Техника быстрых вычислений. – М.: Учпедгиз, – 1948.
Седакова В.И. Приемы устного счета на уроках математики. Вестник Челябинского государственного педагогического университета. 2015. № 5. С. 52-56.
Владимиров А. И., Михайлова В. В., Шмелева С. П. Интересные способы быстрого счета [Электронный ресурс] // Юный ученый. 2016. №6.1. С. 15-17. URL: https://moluch.ru/young/archive/9/633/ (дата обращения: 09.12.2019).
Устный счет / Сост. П. М. Камаев. — М.: Чистые пруды, Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». 2007. Вып. 3 (15).
Татарченко Т. Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, № 7, стр. 68-71.