XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Исследование использования различных систем координат для создания перспектив в изобразительном искусстве
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Математика и изобразительное искусство, с одной стороны являются различными направлениями описания окружающего мира, имеющие различные цели для пояснения процессов и форм окружающей действительности, а с другой стороны существуют неразрывно и дополняют друг друга. Постоянно подтверждают закон философии «Единства и борьбы противоположностей». Понятие «перспектива» в изобразительном искусстве основана на проблеме выбора и правильном использовании различных систем координат из математики. Цель исследования состоит в анализе выбора систем координат для более точной передачи «перспективы» в изобразительном искусстве. Автор работы предпринял попытку анализа эффективности использования различных систем координат для более точного и менее затратного изображения «перспективы» на архитектурных эскизах или картинах.
Перспектива — техника изображения пространственных объектов на какой-либо поверхности в соответствии с теми кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний формы и светотеневых отношений, которые наблюдаются в натуре, это скрытый, но жизненно важный элемент пейзажа, объекта или портрета [5 ]. «Перспектива» используется не только в изобразительном искусстве, но и других направлениях жизнедеятельности человека. Таких как: архитектура, ландшафтный дизайн [4]. И, безусловно, ошибочное представление в чертежах архитектурного или ландшафтного дизайна может создать угрозу неверной реализации замысла архитектора или ландшафтного дизайнера. В проектировании архитектурного или ландшафтного решения или в эскизе рисунка используются декартовы системы координат.
Зрение человека коническое. То есть, когда мы смотрим в определенном направлении, ширина нашего зрения составляет около 20 сантиметров на переднем плане и несколько сотен метров на дальнем. Чем дальше вы смотрите, тем шире поле вокруг точки схождения отраженных световых лучей от объекта наблюдения. В зависимости от ориентации визуального луча, объекты кажутся искаженными для глаза, подчиняясь законам оптики и перспективы [3].
Поэтому, когда создается рисунок (эскиз рисунка), важно определить высоту и ориентацию нашего визуального луча и сохранить его. Это означает выбор единой точки зрения. Иллюзия трехмерного изображения на плоскости бумаги или холста (2-мерного изображения) зависит от точки выбора воображаемого визуального луча. И значения координат линий перспективы зависят не только от интуиции художника, но и от законов математики.
Плоскость горизонта художника, связанная с его точкой зрения, определяет высоту естественного горизонта. Когда художник или архитектор определяет высоту горизонта на рисунке, он определяем эту точку зрения для любого, кто смотрит на картину. Выбор высоты горизонта определит, находится ли зритель в доминирующей ситуации по отношению к субъекту.
Если смотреть на изображаемую фигуру сверху вниз, то наблюдатель доминирует над ней. Центрированная композиция, линия горизонта, расположенная на средней высоте, придает изображению симметрию, которая убирает человеческий аспект. В случае, если точка зрения находится снизу, изображаемое доминирует над наблюдателем.
Основные термины в перспективе [6]:
- точка схода – это точка, на которой сходятся удаляющиеся от наблюдателя параллельные линии;
-главный луч зрения – направление на главный предмет;
-линия горизонта – это горизонтальная линия, проходящая на уровне глаз;
- предметная плоскость – горизонтальная поверхность, на которой находятся изображаемые предметы;
-картинная плоскость – воображаемая плоскость, расположенная перпендикулярно лучу зрения. Находится либо в плоскости объекта, либо между наблюдателем и объектом.
Перспектива бывает:
- живая перспектива – изображение животных в пространстве;
- линейная перспектива – изображение объектов в пространстве;
- воздушная перспектива – исчезновение четкости и ясности очертаний предметов по мере их удаления от наблюдателя;
- тональная перспектива – изменение тона предметов по мере их удаления от наблюдателя;
- цветовая перспектива – изменение цвета предметов по мере их удаления от наблюдателя;
- прямая (фронтальная) перспектива – одна или несколько основных плоскостей параллельны картинной плоскости;
- обратная перспектива – более далёкие от зрителя предметы изображаются более крупными.
В свою очередь линейная перспектива зависит от количества точек. Например:
- одноточечная перспектива– существует только одна точка схода, предмет будет перпендикулярен или параллелен наблюдателю;
- двухточечная перспектива— присутствуют две точки схода, предмет расположен под углом к наблюдателю;
- трехточечная перспектива — существуют три точки схода линий. Такой вид перспективы похож на двухточечную, но добавляется еще одна точка, которая искажает линии вертикали. Этот вид, как правило, используют для построений вида зданий с высоты или с земли;
- четырёхточечная перспектива — существуют четыре точки. Данный вид также похож на двухточечную, но добавляется еще две точки схода, искажающие вертикальные линии сферическим образом (имитация линзы камеры);
- пятиточечная перспектива – сфера, в центре которой сходятся прямые линии конвертации. Этот вид похож на четырехточечную, но здесь все четыре точки схода искажают линии сферическим образом;
- шеститочечная перспектива — то же самое, что и пятиточечная, но здесь еще отображаются предметы, находящиеся за спиной зрителя, будто в сферическом зеркале.
Система координат – комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
У чисел есть 3 основные функции:
- задают порядок – нумерация объектов (первый ряд, пятая машина);
- задают количество – количество объектов (два слона, семь крокодилов);
- задают имя– какой-либо номер автомобиля, телефона и т.д.;
Числовое или буквенное обозначение того места, где находится объект – это его координата.
Чтобы задать положение материальной точки точно, нужно еще задать направление. Нужно второе число. Присвоить точке на плоскости имя из двух чисел можно разными способами. Например, воспользоваться системой координат, названой в честь учёного Рене Декарта – декартовой системой координат. Она стоит из двух перпендикулярных осей: x,y (ось абсцисс и ось ординат). Указав по каждой из осей координату, можно восстановить точку на плоскости А(x,y).
Помимо декартовой системы координат, в математике есть множество других систем координат. Есть система координат с третьей осью, осью z или осью аппликат. Также существует полярная система координат [1].
В полярной системе координат есть точка отсчёта О, единичный координатный вектор ρ. Точка О называется полюсом, а луч ОМ1, сонаправленный с вектором – полярной осью. Одна точка, один вектор, одна линия. Можно указать масштаб. Любая отличная от начала координат точка М определяется расстоянием r=│OМ│ от полюса и углом между полярной осью и отрезком OМ. Сам полюс r=0, а угол не определён. Число r=│OМ│ называется полярным радиусом точки М, первой полярной координатой, её обозначают ( ). Расстояние не может быть меньше нуля, значить радиус будет больше нуля. Число называется полярным углом или второй полярной координатой. Измеряется в пределах . Пара r, называется полярными координатами. Связь между декартовыми и полярными системами координат приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Связь между декартовыми и полярными системами координат
Если рассматривать декартову систему координат, то традиционно перспектива создается именно по ней. Линия горизонта – это ось абсцисс, ординат или аппликат, или это две точки, соединённые одной прямой. Точки имеют свои координаты. Перспектива – рисование линий по декартовой системе координат, только это делается неосознанно, интуитивно, не вычерчивается координатная плоскость, а сразу расставляются точки на плоскости листа бумаги, которые впоследствии соединяются линиями. Любая линия – набор множества точек, которые слились между собой и стали одним целым. Расставляя точки на плоскости, а потом, соединяя их в определённой последовательности, можно получить плоский рисунок, с иллюзией трехмерного пространства. С перспективой это тоже получится, если точки соединять в определённой последовательности. Перспектива и двухмерные системы координат не подходят друг другу, так как у перспективы есть то, чего нет у двухмерных координат – глубины. Рисуя перспективу в декартовой системе координат, мы добавляем к ней ещё одну ось z - воображаемую глубину изображения.
Рисунок 2 – Координаты точки в декартовых системах координат
В изобразительном искусстве, архитектуре, ландшафтном дизайне очень редко применяют сферические или цилиндрические системы координат.
Однако, для решения многих задач оказывается удобнее вместо декартовой системы использовать криволинейные системы координат [1,2]. В общем случае используются три функции, f1 (x,y,z) f1 (x,y,z) f1 (x,y,z) для определения положения тела в пространстве. Координатная сетка состоит из пересекающихся кривых fi(x,y,z) = const, i=1,2,3… вместо сетки прямых линий x=const, y=const, z=const в декартовой системе.
Если функции (f1 ,f2 , f3 ) выбраны подходящим образом, то положение объекта может быть однозначно определено с помощью криволинейных координат вместо декартовых координат.
К таким системам относится цилиндрическая (Рисунок 3) и сферическая система координат (Рисунок 4), широко используемая не только в астрономии, но и других науках.
Рисунок 3 - Координаты точки в цилиндрических системах координат
Сферические координаты: - радиус-вектор объекта, - полярное расстояние, которое иногда называют коширотой, и - долгота связаны с декартовыми координатами x,y,z уравнениями: x=r sin θ cos α; y=r sin θ sin α; z=r cos θ
Полярное расстояние изменяется от 00 до 1800 , долгота - от 00 до 3600.
Рисунок 4 - Координаты точки в сферических системах координат
Приведенная система уравнений представляет преобразование между сферической и декартовой системами координат.
Следовательно, функции f1 ,f2 ,f3 равны: f1 = r = ;
f2 = θ = arctg , 0≤ θ≤π ;
f3 =
Через произвольно выбранные точки А и С проведем большой круг. Полюсы обозначим как P и N. Проведем теперь через полюсы и точку A большой круг (аналогично проведем большой круг через точку C. Обозначим через центральный угол между направлением на точку P и направлением на произвольную точку Á, лежащую на сфере в плоскости большого круга PAN. Проведем через точку Á плоскость, параллельную большому кругу OAC. Полученная плоскость является малым кругом, и радиус ÁÓ =ρ окружности равен, если OÁ=R: ρ=OÁ sin θ =R sin θ.
Введем декартову систему координат: ось x направим вдоль радиуса OC, ось z - вдоль радиуса OP . Обозначим единичные векторы осей x и z как i и k, соответственно. Направление оси y зададим единичным вектором j согласно уравнению: j = k·i.
Векторное произведение векторов и определяет правую декартову систему координат Ox,y,z.
Обозначим через двугранный угол между плоскостями PCN и PAN . Числа R,θ,λ называются сферическими координатами точки . При R=1 достаточно знать две координаты θ,λ для определения положения точки на сфере.
При использовании цилиндрической системы координат, если задать условно размер окружности картины «1», то достаточно оперировать также двумя координатами φ, z (рисунок 3)
Таким образом, можно сделать вывод, что использование декартовых систем координат для создания точной перспективы без искажений иллюзии глубины рисунка затруднительно. Так как необходимо точно определять точку координаты z, имея координаты x и y на плоскости рисунка, чтобы верно определить угол наклона линии, соединяющей начало осей координат с точкой z. В сферических (полярных) и цилиндрических системах координат дизайнер, художник или архитектор оперирует не 3-мя, а 2-мя координатами, что уменьшает ошибку в создании «перспективы».
Список литературы:
Бугров Я. С., Никольский С. М.; Под ред. В. А. Садовничего. Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. / — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник).
Жаров В.Е. Сферическая астрономия. - Фрязино: Из-во «Век 2», 2006
http://sernam.ru/lect_math3.php
http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node9.html#cn3
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Перспектива
6. https://artboyko.ru/perspektiva/
[Введите текст]