XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Золотое сечение
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Вступление
Окружающий нас мир многообразен. Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение. Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Сегодня я познакомлю вас с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота. О теореме Пифагора слышал каждый школьник, а о "Золотом сечении" - далеко не все. Моя работа посвящена рассказу о том, что такое золотое сечение и где оно встречается.[2]
Объект исследования: Золотое сечение
Предметы исследования: предметы искусства, архитектуры, фигуры учеников.
Цель: раскрыть суть понятия «золотое сечение», показать теоретическое и практическое значение золотого сечения, широкое использование его в различных областях жизни и во многих научных дисциплинах, частично изучив архитектуру Пензы, указать наиболее известные здания с применением золотого сечения, показать «золотое сечение» в пропорциях человеческого тела.
Задачи:
- ознакомиться с историей золотого сечения;
- дать формулировку понятия золотого сечения;
- рассмотреть алгебраический и геометрический смысл;
- исследовать пропорции тела человека по Цейзингу. Нахождение пропорции тела человека на примере обучающихся МБОУ СОШ города Кузнецк-8;
- найти подтверждение наличия золотого сечения в природе;
- рассмотреть применение золотого сечения в искусстве;
- ознакомиться с применением золотого сечения в архитектуре. Анализ объектов архитектуры и скульптуры г. Пензы .
Гипотеза исследования: «Золотое сечение» является отображением окружающегося мира.
Методы исследования: наблюдение, измерение, сравнение, обобщение.
5Практическая значимость проекта: планируется применятьна урокахматематики в качестведополнительного материала.
Глава1. Понятие «Золотое сечение»
Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке исадитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». Озолотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы«золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживаяприрода не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите этупропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое«золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть,это закон красоты? Или все-таки он — мистическая тайна? Научный феномен илиэтический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотоесечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, аодновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.[1]
Учение об отношениях и пропорциях успешно развивалось в IV в. до н.э. в Древней Греции. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.
Определение «Золотого сечения» в математике
a : b = b : c или с : b = b : а.
Золотое сечение – это деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение обозначают буквой φ = 1,618 = 5/8 Золотое сечение математики часто называли божественной пропорцией.
11 Математическое понимание гармонии «Гармония – соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия» - Большая Советская Энциклопедия. Математическая гармония - это равенство или соразмерность частей друг с другом и части с целым. Математическая гармония - это равенство или соразмерность частей с друг другом и части с целым. Понятие математической гармонии тесно связано с понятиями пропорции и симметрии. Понятие математической гармонии тесно связано с понятиями пропорции и симметрии.[3]
Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
«Золотой прямоугольник»
Золотой прямоугольник обладает многими интересными свойствами. Если, например, от золотого прямоугольника АВСD отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник EFCD и т.д.
«Золотая спираль»
Если этот процесс продолжить, то получим «вращающиеся квадраты». Когда соединим их вершины плавной кривой, то получим золотую спираль. (Приложение 1)
«Золотой треугольник»
Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении.
1.2. Архитектура
Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях. К примеру, в храме Парфенон в Афинах отношение высоты здания к его длине равно 1,618.
Русский архитектор М.Ф. Казаков широко использовал в своем творчестве золотое сечение. Здание бывшего Сената в Кремле.
1.2.1 Золотое сечение в архитектуре города Пензы
Символ города Пензы вписывается в «золотой треугольник». (Приложение 2).
Вечный огонь. Золотая пропорция памятника. Отношение 1,68 .
Многие здания, построенные в советское время и современные здания, формирующие лицо нашего города, тяготеют к законам красоты. Наш город имеет свое гармоничное лицо, благодаря своей архитектуре, памятникам, скульптуре… Надеемся, что облик родного города будет приносить эстетическое наслаждение не одному поколению пензенцев.
1.3. «Золотое сечение» в природе
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Гете называл спираль "кривой жизни".
В биологических исследованиях было показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.
1.3.1 «Золотая спираль в природе»
Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу.
Рога и бивни животных развиваются в форме спирали. Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.
Рассматривая расположение листьев на стебле растений можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения.
Рассмотрим побег цикория. (Приложение 3.). От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.
Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности.
Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. В ящерице длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.[4] (Приложение 4)
1.4. «Золотое сечение» в живописи
Холст, на котором написана «Тайная вечеря» Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника, стороны которого находятся в золотом отношении. Если золотой прямоугольник использовался художниками для создания у зрителя ощущения покоя, уравновешенности, то золотая спираль, напротив, применялась для выражения тревоги, бурных событий. «Избиение младенцев» Рафаэль, 1509 г.
Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". (Приложение 5). Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина «Корабельная роща». (Приложение 6). На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.
1.5. Человек
Золотое сечение заложено в пропорциях человеческого тела. Примером является статуя Зевса Олимпийского (одно из семи чудес света).
1.5.1. Золотые пропорции в частях тела человека
В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.(Приложение 7).
Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. [5](Приложение 8)
Глава 2. Исследование.
2.1. «Куда сядешь на скамейке»
Я провел эксперимент «Куда сядешь на скамейке». Приняли участие в эксперименте 11 человек. 9 сели в точку С, 2 – посередине. Длина скамейки 1 м 20 см. АС/ВС=5/8
Оказывается, что точка С производит золотое сечение отрезка АВ.
2.2. «Золотое сечение» и 6 класс
В эксперименте приняли участие 10 человек.
Измерили у всех рост (А) , расстояние до талии (В) и от талии до макушки головы (С)
Нашли отношение А:В и В:С
«Золотое сечение» составляет 1,618
|
№ |
ФИО |
Рост,см (А) |
Длина от талии до пола, см (В) |
Длина от талии до макушки головы, см (С) |
Отношение (А:В) |
Отношение (В:С) |
|
1 |
Роман |
146 |
87 |
59 |
1,68 |
1,47 |
|
2 |
Максим |
142 |
86 |
56 |
1,65 |
1,55 |
|
3 |
Дина |
158 |
95 |
63 |
1,66 |
1,55 |
|
4 |
Дамир |
170 |
101 |
69 |
1,68 |
1,46 |
|
5 |
Кира |
143 |
88 |
55 |
1,62 |
1,61 |
|
6 |
Никита |
158 |
95 |
63 |
1,66 |
1,55 |
|
7 |
Кирилл |
163 |
97 |
66 |
1,68 |
1,47 |
|
8 |
И. Настя |
164 |
99 |
65 |
1,66 |
1,55 |
|
9 |
К. Настя |
153 |
93 |
60 |
1,64 |
1,55 |
|
10 |
Руслан |
158 |
94 |
64 |
1,68 |
1,47 |
Результаты:
у 10 % в отношении присутствует 1,61 (Головяшкина Кира)
у 60% отношение равно 1,55-1,67
Самые пропорциональные телосложения оказались у 6-х учеников (60%)
2.3. Ремонт в ванной комнате.
Нам предстоит ремонт в ванной комнате. На семейном совете мы решили на стены положить кафель двух цветов. Отправились в магазин «Конкорд», там большой выбор кафельной плитки для стен в ванную комнату.
Встал вопрос: - сколько кафельной плитки каждого цвета необходимо купить?
Это зависит от того, на каком уровне от пола сделать линию перехода от одного цвета к другому.
Известно одно из основных правил дизайна – правило золотого сечения гласит: «Никаких ровных или кратных делений. Только асимметрия и иррациональность. Надо сочетать два цвета покрытия на стенах - дели стену в золотом отношении, что способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии».
Расчет количества плитки разного цвета для ремонта ванной комнаты.
Произведены следующие замеры в ванной комнате:
длина: 1,65 м двери: 1,86*0,76
ширина: 1,4 м размеры плитки: 0,25*0,35
высота: 2,5 м размеры бордюра: 0,25*0,7
1. 2,46/8*3 = 0,94 (м) – высота линии перехода от одного цвета к другому.
2. 0,92/0,33= 2,8 (р) – три слоя плитки темного цвета, 5 слоев светлых тонов.
3. (1,31+1,41)*2 = 6,1 (м) – периметр ванной комнаты.
4. (6,1-0,76)/0,25=21,36 (п) – 21 плитка в каждом слое.
5. 21*3= 63 (п) – плиток тёмного цвета.
6. 21*5=105 (п) – плиток светлых тонов + 3 плитки над дверью.
7. 21 плиток бордюр.
Итого: бордюр – 21 (п), темных тонов – 63 (п), светлых тонов – 105 (п).
Заключение.
Понятие «золотое сечение» не изучается в школьном курсе математики, а рассматривается как гуманитарный фон в историческом развитии математики. В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры золотой пропорции в природе и теле человека, в архитектуре зданий родного города. В своей работе я хотел продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни.
Проведенные исследования доказали, что многое в окружающей природе подчиняется правилу золотого сечения и является отображением окружающегося мира.
Источники:
Д. Пидоу. Геометрия и искусство. М. Мир 1990
Васютинский Н. Н. Золотая пропорция. М. 1990
«Математика - Энциклопедия для детей» М.: Аванта +, 1998
Журнал «Математика в школе», 2006, № 2; № 3
http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
http://tmn.fio.ru/works/04x/304/p3_4.htm
Приложение 1.
Рис . «Золотая спираль»
Приложение 2.
Приложение 3
Рис. Побег цикория.
Приложение 4.
Золотая спираль в природе.
Приложение 5.
Рис. «Джоконда»
Приложение 6.
Рис. «Корабельная роща»
Приложение 7.
Рис. Пропорции человеческого тела
Приложение 8.
Рис. Пропорции головы и кисти руки человека