XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Сравнительный анализ таких понятий, как подобие в евклидовой геометрии и самоподобие в геометрии фракталов
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Наше исследование направлено на сравнение таких категорий двух разных геометрий, как подобие и самоподобие, но данное сравнение является для нас не самоцелью, а скорее средством продемонстрировать разную направленность и разное функциональное предназначение геометрий двух разных эпох: евклидовой геометрии и геометрии фракталов.
Конечно, очень многие современные источники, анализирующие геометрию фракталов, так или иначе проводят параллели между данной научной областью и элементарной геометрией Евклида, но ни один из известных нам авторов не проводил компаративный анализ двух геометрий, опираясь на понятия подобия и самоподобия.
В ходе исследования мы анализировали работы таких отечественных и зарубежных авторов, как В.А.Еровенко [2], А.А. Шабаршин [12], Д.И. Иудин, Е.В.Копосов [3], Елхова О.И. [1], С.Д.Хайтун [11], Б.Мандельброт [5], М.Шредер [13], Р.Кроновер [4], Е.Федер [10] и многих других, но поскольку объем научной работы ограничен, мы ограничимся цитированием лишь нескольких авторов.
Предметом нашего исследования являются транформации в подходе к анализу явлений, произошедшие в современной математической науке. Объектом же исследования являются случаи подобия фигур в евклидовой геометрии и самоподобия фракталов в геометрии фракталов.
В нашем исследовании делается попытка сравнить понятия подобия евклидовой геометрии и самоподобия геометрии фракталов Б. Мандельброта с целью выявления принципиальных различий между подходами элементарной геометрии Евклида и геометрии фракталов Б. Мандельброта.
Эта общая цель обуславливает и ряд конкретных задач:
- осуществить компаративный анализ категорий подобия и самоподобия в двух разных типах геометрий, вычленив сходства и различия между ними
- рассмотреть круг задач, которые решаются в реальной жизни посредством методов евклидовой геометрии и геометрии фракталов, опираясь на понятия подобия и самоподобия.
- сравнить элементарную геометрию и геометрию фракталов исходя из функциональной направленности двух типов научного знания.
Сопоставление понятий «подобие» и «самоподобие»
Глава 1
Подобие как понятие евклидовой геометрии
Общеизвестно, что преобразование подобия это изменение расстояния между любыми двумя соответственными точками фигуры в одно и то же число раз: «Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т.е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.» [8].
Проще говоря, «Подобие – это понятие, характеризующее наличие одинаковой формы геометрических фигур (то есть форма подобных фигур не зависит от размера данных фигур). Подобные фигуры – это фигуры одинаковой формы, но разного размера.» [6].
Таким образом, при преобразовании подобия размеры сторон и кривых фигуры изменяются в одно и то же число раз без изменения формы, а равенство углов сохраняется: «Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А1, В1, С1, также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1. Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки… Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.» [7].
Несмотря на простоту и лаконичность, понятие подобия играло ключевую роль в истории развития мировой цивилизации. Люди веками строили дома, церкви, пользуясь интуитивными представлениями о подобии, отмечали подобные формы крупных и их детенышей, ткали узоры, целиком состоявшие из подобных фигур, шили одежду одинакового фасона, но разного размера, все детали которой отличались подобием. Круг как центральная для развития цивилизации фигура, в форме которой выполнялись такие важные бытовые предметы, как колесо, веретено, мельничные меха, донья кухонной утвари, всегда подобен любому другому кругу.
Не удивительно, что это понятие занимает центральное место в евклидовой геометрии.
Глава 2
Понятие самоподобия в геометрии фракталов
Как пишет В.А.Еровенко в своей статье, современная математическая наука переживает глубокие трансформации, в связи с созданием Бенуа Мандельбротом (1924–2010) теории фракталов: «Введя в научный оборот понятие фрактала, он не только продемонстрировал универсальность фрактальных структур в природе, дав им в 1975 году название «фрактальная геометрия», но и создал математику для её описания, с помощью которой появилась возможность выделения порядка в многообразии хаоса, который до этого выглядел неприступным.» [2, с. 192].
Хотя Бенуа Мандельброт и был первым, кто обобщил разрозненные теории, создав геометрию фракталов, для него попытки рассмотреть подобные фигуры нашли отражение «в трудах Карла Фридриха Гаусса (1777– 1855), посвященных арифметике средних геометрических чисел, в гравюрах Альбрехта Дюрера (1471–1528) и даже в итальянской мозаике XII в.» [3, с. 192].
По определению Бенуа Манделброта важнейшим свойством фрактала является самоподобие: «В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.» [12, с. 192].
«Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.» [9].
Хотелось бы уточнить, что в нашем исследовании мы рассматриваем исключительно геометрические фракталы, потому что речь идет о сравнении двух геометрий.
Частным примером такого фрактала является кривая Коха, которая позволяет понять, почему фракталы представляются монстрами в сравнении с идеальными гладкими фигурами Евклидовой геометрии:
«Во-первых, эта кривая не имеет длины – как мы убедились, с числом поколений ее длина стремится к бесконечности.
Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную – каждая ее точка является точкой перегиба, в которой производная не существует, - эта кривая не гладкая.
К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы, поэтому кривая Коха оказалась чудовищем – «монстром» среди гладких обитателей традиционных геометрий.» [9].
Глава 3
Сходства и различия между понятиями подобия евклидовой геометрии и самоподобия геометрии фракталов как следствие разной функциональной направленности подходов двух геометрий
Опираясь на компаративный анализ различных математических источников, нам удалось выявить следующие различия подобия и самоподобия:
Различия подобия и самоподобия
Если в случае подобия сравниваются две разные фигуры, то в случае самоподобия фигура сравнивается с исходным фрагментом себя самой.
Если в случае подобия речь идет об однократном преобразовании путем увеличения расстояния между каждыми двумя точками фигуры в n-ое число раз, то в случае самоподобия речь идет о бесчисленных итерациях преобразования на разных уровнях генерации фигуры.
Если в случае подобия речь идет о простой линейной зависимости, то в случае самоподобия отношения исходной части и производного фрагмента фрактала могут быть описаны самыми разными математическими функциями, при этом и в рамках одного фрактала эта зависимость изменяется при переходе от уровня к уровню.
Если в случае подобия и исходная и производная фигура могут быть охарактеризованы точными математическими величинами, то в случае самоподобия речь может идти только о неких пределах, к которым стремятся данные фигуры при бесконечном числе преобразований.
В то время как подобие описывается точными и однозначными математическими соответствиями, самоподобным фрактал считается и при некоторой приблизительности идентичности операции преобразования на разных уровнях.
В ходе данного анализа нам удалось выявить и ряд сходств понятий подобия и самоподобия:
Геометрическое подобие всегда, а самоподобие как правило являются зрительно интуитивно очевидным и понятным без математических доказательств.
В некоторых частных случаях самоподобие фрактала можно свести к воспроизведению бесчисленного количества подобных фигур.
Наше исследование понятий подобия и самоподобия позволяет нам сделать выводы о принципиальном различии подходов евклидовой геометрии и геометрии фракталов, которые нами сформулированы следующим образом:
Если евклидова геометрия имеет конечной задачей упрощение имеющихся форм, их разложение на доступные для математического описания гладкие эталонные фигуры, площади, объемы и расстояния между точками которых можно рассчитать по простым формулам и описать с математической точностью, то геометрия фракталов, напротив, в первую очередь направлена на преобразование простых фигур в сложные и имеет не описательную, а продуктивную функцию. Если евклидова геометрия направлена на упрощенное описание реальных топографических фигур с помощью ряда пространственных эталонов, то геометрия фракталов направлена на создание продуктивной модели преобразования исходной эталонной фигуры на бесчисленных уровнях. Одна геометрия имеет своей целью описание статичной формы, вторая – динамической продуктивной модели.
Результатом в евклидовой геометрии как правило является расчет различных параметров фигуры. Результатом в геометрии фракталов как правило является модель преобразования, позволяющая получить нечто новое и недоступное для измерения конечными математическими величинами.
Критерием эвристичности в евклидовой геометрии является простота, лаконичность и конечность математического расчета, в геометрии фракталов во главу угла ставится получение сложной и на каждом этапе преобразования усложняемой модели. Одна геометрия реальные фигуры разлагает на понятные доступные для математического описания фрагменты, вторая понятные доступные для математического фрагменты преобразует для созидания «монстров», не поддающихся стандартным математическим приемам и средствам.
Таким образом, каждая из данных геометрий отражает цели и задачи эпохи своего создания. Эвклидова геометрия дала человечеству инструменты упрощенного описания реального мира, в то время как геометрия фракталов является инструментом создания альтернативной реальности, некого виртуального мира, когда человек перестал быть человеком, познающим мир, но стал человеком, творящим свою собственную действительность. Различия между понятиями подобия и самоподобия отражают скорее аналитическую направленность элементарной геометрии и генеративную направленность геометрии фракталов.
Заключение
Геометрия Евклида создавалась Евклидом в Древней Греции приблизительно в 3 веке до н.э., и понятие подобия отражает дух этой эпохи. Древние греки верили в верховенство демократии как идеальное государственное устройство, Аристотель считал круг идеальной фигурой, Платон описывал мир идей, а Евклид создавал свою геометрию на основе идеальных представлений о гладких фигурах, форма которых отличается идеальностью линий или точным подобием. Геометрия Евклида, как и античная архитектура, скульптура и живопись построена на идеальной простоте формы, совершенстве линий, которое, как полагалось, характерно не только для творчества человека, но и для устройства мироздания.
Напротив же, «Фрактальная геометрия природы» Б.Мандельброта была написана в 1977 г. в эпоху создания первых домашних персональных компьютеров TRS-80, и продуктивный потенциал фрактальной графики оказался довольно быстро замечен и использован в создании компьютерной анимации в таких проектах, как Electric Sheep Скотта Дрэйвса (программу создали Дэнни Демоник, Эрик Фунг, Дин Годе, Николас Лонг, Мэтью, Дэвид МакГрат, Эрик Рекас, Мэтт Реда, Джефф Сикел, Спот, Эндрю Стоун, Бреннан Андервуд и Тимоти Дж. Вуд). «Скринсейвер был создан и выпущен в качестве бесплатного программного обеспечения в 1999 году и продолжает развиваться благодаря работе команды состоящий из около пяти инженеров.» [14].
Различие в целевом назначении научных подходов, которое объясняется разным духом и задачами двух эпох, обусловливает и различие понятий «подобие» и «самоподобие». Если подобие это довольно простое и однозначное понятие, отражающее преобразование только по одному признаку (преобразование масштаба), то самоподобие это характеристика бесконечного процесса генерации элементов, при котором соотношение между исходным и получаемым элементом выражается не числом, а соотношением, данное преобразование имеет различные уровни, отличается бесконечностью и приводит к получению не простой подобной фигуры, а бесконечно меняющегося многосоставного фрактала.
Древним Грекам вселенная представлялась простой фигурой, например, сферой, как у Аристотеля, и все подобные фигуры евклидовой геометрии также просты и отличаются завершенностью формы. В веке информационных технологий вселенная современного человека изменилась: она бесконечна, вариативна, разомкнута и неоднозначна. «В настоящее время на первый план выходит фрактальная логика, в рамках которой можно всестороннее изучать нелинейные системы.» [1, с. 210]. Для наших современников вселенная устроена фрактально: «Как всегда, когда речь заходит о фундаментальных свойствах природы, ответ получается «многомерным». Во-первых, если Вселенная фрактальна, то это именно потому, что фрактальность сообщает ей нулевую «бесконечную» плотность, обеспечивая гравитационную устойчивость. Во-вторых, фракталоподобная структура, т. е. структура, обладающая иерархичной системностью, обеспечивает расположенным во Вселенной реальным системам максимальную выживаемость при выходе из строя их частей… Такое устройство мир мог приобрести в ходе эволюции – нефрактально организованные его элементы попросту не выживали.» [11, с. 146].
В наши дни фрактал превратился в неотъемлемый базовый принцип устройства нашего мира.
Список использованных источников и литературы
Елхова О.И. Фрактальность виртуальной реальности. // Философия, социология, культурология и политология. Вестник Башкирского университета. 2014. Т. 19. №1
Еровенко В.А. Концепция фрактала Мандельброта с математической и философской точек зрения. // Математические структуры и моделирование. 2015. № 4(36). С. 29-38.
Иудин Д.И. Фракталы: от простого к сложному // Д.И. Иудин, Е.В. Копосов; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2012.–200 с.
Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории: Пер. с англ. Постмаркет, М., 2000.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. Институт компьютерных исследований, М., 2002.
Определение подобных фигур. / Энциклопедия математики MathVox. [Электронный ресурс]. https://mathvox.ru/geometria/osnovnie-ponyatiya-i-figuri-geometrii/glava-5-podobie-figur/opredelenie-podobnih-figur/ (дата обращения: 3.11.2020).
Подобие фигур. / База знаний stud.wiki[Электронный ресурс]. https://yandex.ru/turbo/stud.wiki/s/mathematics/2c0b65635b2ad68a5d43b88421306d37_0.html (дата обращения: 3.11.2020).
Подобие фигур. Подобные треугольники. / ЭМГеометрия. Дистанционная математическая школа ММФ. [Электронный ресурс]. https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10185&chapterid=1320 (дата обращения: 3.11.2020).
Понятие фрактал и фрактальная геометрия. [Электронный ресурс]. URL: https://www.liveinternet.ru/users/lifestyleforyou/post153645471/(дата обращения: 31.10.2020).
Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. Мир, М., 1991.
Хайтун С. Д. Космологическая картина мира, вытекающая из гипотезы о фрактальной Вселенной. / Философия и Космология. Научный журнал (Том 12) // Международное философско-космологическое общество (МФКО) – 283 с.
Шабаршин А.А. Введение во фракталы. [Электронный ресурс]. URL: https://algolist.manual.ru/graphics/fracart.php (дата обращения: 31.10.2020).
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая: Пер. с англ. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск, 2001.
Electric Sheep. / Википедия. Свободная энциклопедия. [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Electric_Sheep (дата обращения: 3.11.2020).