XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математическая красота настольной игры «SET»
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Я люблю математику – это серьезная и точная наука. Но мне хотелось провести не только научное, но и действительно увлекательное исследование не только познавательное, но и развлекательное, которое заинтересует не только любителей математики. Но что может объединить серьезную научную дисциплину и развлечения? Ответ на этот вопрос пришел совершенно неожиданно, как только мой взгляд зацепился за обширную коллекцию из настольных игр, которыми давно увлекаюсь.
Игры сопровождают нас всю жизнь. Едва родившись, ребёнок начинает познавать окружающий мир с помощью игр. Но и став взрослым, человек не оставляет игры. Кто-то играет в карточные игры, кто-то в рулетку, а кто-то пытается ухватить за хвост сказочную жар-птицу, пытая счастье игрой разного рода лотереи. И, конечно же, абсолютно все любят настольные игры. Их великое разнообразие, на любой вкус и возраст. Но есть ли связь между математикой и настольными играми? И можно ли объяснить настольные игры с помощью математических законов? Для своего исследования я выбрал классическую настольную игру «SET», которую так любят математики во всем мире. На ее примере я попытаюсь ответить на эти вопросы [1].
Актуальность темы: Моя тема актуальна, так как математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому учат традиционно в школе. Всю жизнь мы играем в определенные игры. Сначала в прямом смысле, а затем в переносном. По мере взросления меняется и качество наших «игр»: мир промышленности, бизнеса, экономика, страховые компании, выборные компании и т.д. в большей степени являются должниками продуманных стратегий вероятностных законов. «Как предсказать результат?.. Какую позицию выбрать?..», «Как достичь успеха в том или ином деле?»
Цель исследований: применение математических знаний в настольных играх на примере игры SET.
Задачи исследования: для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:
Подобрать необходимую литературу.
Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.
Проанализировать и систематизировать полученную информацию.
Выяснить, как законы математики находят свое выражение в настольной игре «SET».
Провести экспериментальное исследование.
Сделать вывод.
Гипотеза: знание математики помогают рассчитать выигрышную стратегию и дают возможность чаще обыгрывать своих партнеров по игре.
Новизна: для меня нахождение математических аспектов и закономерностей в настольной игре – это новый вид деятельности.
Методы исследования: размышления, поиск информации в Интернете, в специальной литературе, практический метод, анализ результатов.
1. История возникновения игры «SET».
Я знаком со многимипопулярными настольными играми. Одной из моих самых любимых является игра «SET». На ее примере я попробуюраскрыть удивительную красоту математических законов, которая сопровождает ее, а так же доказать, что понятия «математика» и «игра» неразрывно связаны.
Что представляет из себя игра «SET»? Ее по праву считают главной абстрактной карточной игрой. Это любимая игра математиков и преподавателей математики. Правила игры очень простые, однако сама механика игры требует хорошего развития абстрактного образного мышления.
«SET» (в пер. с анг. «набор») была изобретена популяционным генетиком маршей Джин Фалько (Marsha Falco) в 1974 году (рис.1). Она изучала эпилепсию у немецких овчарок и полученные данные представляла в виде символов на карточках [1].
Рис. 1. Джин Фалько (Marsha Falco)
Позже, Фалько стала искать закономерности в данных. Неожиданно она поняла, какая потрясающая и сложная головоломка перед ней предстала. При поддержке друзей и семьи она разработала карточную игру. Сначала игру использовали только в семье, в которой придумали. В дальнейшем с одобрения родственников и друзей было принято решение опубликовать настольную игру «SET» для всеобщего развлечения. В 1991 году игра впервые появилась на прилавках магазинов. Как только настольную игру стали продавать, она быстро набрала популярность и стала раскупаться бешеным темпом. За все время существования развлечение было удостоено тридцати семи наград и остается популярным и по сей день.
2. Правила игры
«SET» — это карточная игра (рис.2). Колода карт для игры состоит из 81 карты, каждая из которых имеет 4 параметра:
Форма (ромб, овал или волна);
Цвет (красный, зелёный или пурпурный);
Количество(1, 2 или 3);
Заливка (белая, штрихованная или сплошная).
Все карты уникальные и встречаются в колоде только один раз.
Рис.2. Колода карт игры «SET».
Цель игры
Цель игры состоит в нахождении особых сочетаний из трёх карт (рис.3). Значения каждого параметра для всех трёх карт должны быть либо совпадающими, либо различными. Такие сочетания карт называются сетом.
Рис.3. Пример сочетания из трех карт.
Ход игры
На стол выкладываются лицевой стороной вверх 12 карт. «Set!» (или «Набор!» — как вам больше нравится), показывает другим игрокам карты, образующие набор и забирает эти три карты себе. Из колоды выкладываются три новые карты, чтобы на столе снова оказалось 12 карт, и игроки снова начинаю пристально на них смотреть.Если же в выложенных картах сета нет (такое маловероятно, но возможно), ведущий выкладывает ещё три карты.Игра продолжается, пока не закончится колода. Игрок, увидевший больше всех наборов – побеждает.
3. Математические аспекты игры.
Мне были интересны, прежде всего, математические аспекты игры.
Представим себе ход игры. Что если среди выложенных 12 карт нет сета? Докладываются еще 3. А если опять нет сета? Докладываем еще 3 сета. Возникает закономерный вопрос: при каком максимальном количестве выложенных карт может не быть сета? Что я выяснил:
при 12 картах – бывает иногда.
при 15 картах – бывает довольно редко
при 18 картах – в теории возможно, но мне не попадалось ни разу
при 20 картах – это максимальное число выложенных карт, при которых может не быть сета. Встречается только в теории.
Как утверждает математик Саватеев А. В, в своих лекциях [2], это возможно, только если осознанно задаться целью - выложить максимальное число карт без сета. При случайной раздаче это возможно только и только в теории. Уже при 21 карте гарантированно есть сет. На рис. 4 показан пример из двадцати карт, не содержащихсет.
Рис. 4. Пример из 20 карт, не содержащих сет.
Сеты делятся на 4 категории:
Три признака полное совпадение и 1 различие
По двум признакам полное совпадение и по двум различие
По одному признаку полное совпадение и по трем различие
Самая сложная - по 4 полное различие.
Что самое удивительное, как показывает практика, лучше всего игра «Set» дается детям. Например, тот же Саватеев А.В., при всех своих знаниях, ничего не может поделать против своего младшего сына, а 7-летняя дочь играет на его уровне [2]. При этом доказано, что люди, обладающие незаурядными математическими способностями, лучше всего находят сеты именно 4-й категории. При этом дети мгновенно видят сеты, где 2 или 3 признака. Вот такая интересная закономерность.
Основная теорема игры «SET» гласит: для заданных двух карт существует одна и только одна карта, входящая с ними в один сет. Поэтому вероятность образования сета из трёх случайных карт равна 1/79 [3]. Если из колоды в 81 карту было собрано 26 сетов, то оставшиеся 3 карты также будут образовывать сет.
Попробую ее доказать.
Берем две любые карточки. Рассмотрим их по первому признаку. Пусть это будет форма. Первый вариант – форма одинакова, тогда единственно возможный вариант для создания сета, что третья карточка будет той же формы. Если форма различна, то все равно единственный вариант достроить сет это третья карта, уже отличной формы.
Второй вариант – количество. Если оно одинаковое, например два, то единственный способ достроить сет – третья карта с количеством в размере двух. Если разное (например, 2 и 3), то единственный способ достроить сет – третья карта с 1.
Третий вариант - по цвету. Если цвет одинаковый, два синих, например. То третья должна быть синяя. Если цвет различный, например, синий и зеленый, то для сета нужен красный.
Делаю вывод: по каждому признакусуществует единственное продолжение двух представленных карточек, которое будет делать или всех разными, либо всех одинаковыми. На какую же теорему школьной программы это похоже?
Теорема: через любые две различные точки можно провести единственную прямую. А в «SET» через любые две карточки можно провести единственный сет – это «прямая», но только в какой-то другой, невероятном пространстве. И пространство это 4-х мерное, т.к. у нас 4 признака. Так в своей работе «THE CARD GAME SET» [4], математики BENJAMIN LENT DAVIS AND DIANE MACLAGAN доказывают, что можно поставить карты колоды «SET» в соответствие с точкам 4-х мерного векторного пространства над полем из трех элементов (рис.5).
Рис. 5. 4-мерное векторное пространство игры сет
Как же я могу представить себе это пространство, в котором 81 точка (81 карта)? Попробую его сделать сам, опираясь на изученную информацию и на модель, предложенную Саватеевым (рис.6, 7):
Рис. 6. Пример 4-х мерного куба.
Рис.7. Пример визуализации 4-х мерного куба в игре «SET»
Исходя из этой модели, вывод напрашивается сам собой: смысл игры «Set» заключается в поиске граней и диагоналей в четырёхмерном кубе.
4. Эксперимент.
Я решил узнать, смогут ли мне полученные новые знания в области математики помочь чаще обыгрывать своих партнёров в «Set»? И найдет ли подтверждение закономерность по выявлению сетов различных категорий разными людьми, описанная выше. Для этого я сыграл в игру сет с разнымипо возрасту, уровню подготовки и уровню знаний в области математики соперниками.
Всем игрокам перед игрой были подробно озвучены правила игры. С каждой группой соперников было проведено по три игры подряд.
1 игра.
Игроки: 1. я (ученик 6 класса, 12 лет, круглый отличник); 2. мама (по образованию учитель истории); 3. папа (к.т.н. доцент МГТУ им Баумана); 4. мой брат (ученик 4 класса, 10 лет, хорошист, увлекается игрой на гитаре).
2 игра.
Игроки: 1. я (ученик 6 класса, 12 лет, круглый отличник); 2. мой друг (ученик 6 класса, 13 лет, учится в художественной школе, по математике в школе средний балл «3,2»); 3. ученик 2 класса 8 лет; 4. учительница по английскому языку. Результаты игр я отобразил в сводной таблице (таблица 1).
Таблица 1
Результаты игры в SET
|
Номер игрока |
Сет по 3 признакам совпадение и 1 различие |
Сет по 2 признакам совпадение и 2 различие |
Сет по 1 совпадение и 3 различия |
Сет по 4 признакам различия |
|
|
Игра 1. |
|||||
|
1 круг |
1 |
1 |
1 |
4 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
0 |
0 |
|
|
3 |
1 |
1 |
4 |
3 |
|
|
4 |
3 |
3 |
0 |
0 |
|
|
2 круг |
1 |
0 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
3 |
1 |
0 |
5 |
2 |
|
|
4 |
4 |
3 |
0 |
0 |
|
|
3 круг |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
|
|
3 |
1 |
0 |
3 |
3 |
|
|
4 |
2 |
5 |
1 |
0 |
|
|
Игра 2. |
|||||
|
1 круг |
1 |
0 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
2 |
0 |
0 |
|
|
3 |
6 |
2 |
0 |
0 |
|
|
4 |
2 |
3 |
0 |
0 |
|
|
2 круг |
1 |
1 |
0 |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
2 |
0 |
|
|
3 |
5 |
2 |
1 |
0 |
|
|
4 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
|
3 круг |
1 |
0 |
2 |
3 |
2 |
|
2 |
3 |
3 |
0 |
0 |
|
|
3 |
1 |
5 |
1 |
0 |
|
|
4 |
2 |
1 |
1 |
0 |
|
Анализ результатов эксперимента:
Эксперимент показал, что знания математики и математического составляющего игры не позволяют, гарантировано всегда побеждать. Если математик вдумывается в правила игры, с которой он только что познакомился, и играет с такими же новичками, он, скорее всего, их обыграет. Однако с "зубрами" этот номер не пройдёт — они давно усвоили все уроки математики, хотя сами и не догадываются об этом. Так же эксперимент доказал, что дети довольно часто обыгрывают взрослых, даже подкованных в точных науках. Они быстрее всего находят сеты с одним и двумя признаками. А те, кто увлекается математикой и имеет к ней склонность, действительно чаще всего находят самые сложные сыты – по 4 различиям. При этом как признавались взрослые, принявшие участие в эксперименте, им приходилось очень сильно сосредотачиваться, чтобы находить сеты. А дети, напротив, говорили о том, что «просто видят эти сеты, особо не задумываясь». При этом с каждым новым заходом на игру, новички играли все лучше и лучше. Поэтому уверен, что практика в игре «SET» позволит развивать математические способности, а так же умение сосредотачиваться, быстро анализировать, стать более внимательным.
Заключение.
В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме. На примере своего небольшого исследования, я попытался показать, насколько плотно математика присутствует в нашей повседневной жизни, даже если мы не замечаем этого. Даже такая обыденная вещь, как развлекательные настольные игры, в которые так любят все играть, имеет точки соприкосновения с математикой. Я считаю, что мне это удалось. Я показал, что игра «SET» имеет богатую математическую структуру, связывающую ее с комбинаторикой и даже геометрией. Красота этой игры с точки зрения математики поразила меня. Бесспорно, эта игра создана для людей с пытливым умом. Здесь не хватит одной только реакции, чтобы стать победителем. При этом «SET» развивает смекалку, наблюдательность, скорость реакции у детей и взрослых, развивает математические способности. Считаю, что эту настольную игру можно использовать как дополнительный материал на уроках в школе, как в начальной школе, так и в среднем звене. В перспективе, мне бы хотелось развить свое исследование, рассмотреть так же влияние математических законов в других играх, в частности в лотереях.
Список литературы:
1.Википедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B5%D1%82_(%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0)
2. Саватеев А. Лекция «Математика популярных настольных игр», 2019. https://www.youtube.com/watch?v=ochIxIG2Pkk
3.Саватеев А. В., Математика для гуманитариев. Живые лекции. – Русский фонд содействия образованию и науке, 2017. – 304 с..
4. Benjamin Lent Davis and Diane Maclagan and Ravi Vakil, The Card Game SET, The Mathematical Intelligencer 25 no. 3 (2003), 33-40
http://homepages.warwick.ac.uk/staff/D.Maclagan/papers/set.pdf