XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задача Дидоны
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1.Введение
В римской мифологии есть легенда о Дидоне.
Согласно этой легенде, Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса. После того как брат Дидоны Пигмалион убил ее мужа, позарившись на его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с берберийским царем Ярбом о продаже земли. По условию она могла взять столько земли, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Сделка состоялась. Тогда Дидона разрезала эту шкуру на тонкие ремни, связав их воедино, и окружила изрядный кусок земли. На этом месте была основана цитадель Карфагена Бирса. (По-гречески «бирса» как раз и означает «снятая шкура»)
Так гласит легенда.
Эту историю нам рассказала учитель математики.
Меня заинтересовал вопрос: какой формы был участок земли, который окружила Дидона чтобы получить наибольшую площадь?
Ответ на этот вопрос я, конечно же нашел и узнал, что Дидона сделала круг и что задача Дидоны называется изопериметрической задачей. Говоря современным языком, Дидоне надо было найти среди всех фигур с заданным периметром (длиной верёвки) ту, которая имеет большую площадь.
Я решил провести исследование по этой теме.
Цель работы: найти историю доказательства того, что среди геометрических фигур с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг. Показать применение изопериметрической задачи в повседневной жизни.
Объект исследования: изопериметрическая задача Дидоны.
Предмет исследования: приемы решений изопериметрической задачи.
Гипотеза: среди геометрических фигур с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг.
2. Немного истории
Попытки строгого доказательства изопериметрических задач предпринимались ещё в древности. Многие выдающиеся мыслители находили различные объяснения максимальности круга и шара.
Вот что писал Николай Коперник в своей великой книге «О вращениях небесных сфер»: «Прежде всего, мы должны заметить, что мир является шарообразным или потому, что эта форма совершеннейшая из всех и не нуждается ни в каких скрепах и вся представляет цельность, или потому, что эта форма среди всех других обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно охватить и сохранить всё». Если шар вмещает в себя весь мир, то он, конечно, имеет максимальный объём!
В книге Пойа Д. «Математика и правдоподобные рассуждения» написано о том, что «уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра.
Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри неслучайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности.
В -третьих, древние греки считали круг наиболее совершенной фигурой. Именно такую форму имеют небесные тела и их орбиты. Это соображение увеличивало их уверенность в том, что именно круг, помимо других своих интересных свойств, должен также быть решением изопериметрической задачи.
Но вот геометрически древние греки доказать этого не могли.
Древнегреческий математик Зенодор, живший в II веке до н. э. в Александрии, дал вполне строгое, даже с позиций сегодняшнего дня, обоснование следующего факта: если для данного n существует n-угольник периметра 1, имеющий максимальную площадь, то это — правильный n-угольник.
Зенодор написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.), в том числе следующие теоремы:
из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне (отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника);
при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного;
из двух правильных многоугольников с равными периметрами больше площадь того, у которого больше сторон
Таким образом, чем «ближе» многоугольник к кругу, тем, действительно, больше его изопериметрическое частное.
3. Миф о Дидоне и метод Якоба Штейнера
Теперь возвратимся к нашей легенде. Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает... Известно лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок — она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская граница досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в прошлом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером((1796-1863), а ее «карфагенский вариант» — с учетом того, что часть замкнутой кривой представляет собой прямую линию «побережья», — и того позже.
Задача Штейнера звучит следующим образом: среди всевозможных плоских замкнутых линий заданной длины найдите ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади.
Якоб Штейнер доказал, что если фигура наибольшей площади среди всех фигур данного периметра существует, то это — круг. В ходе рассуждений осталось недоказанным одно утверждение, на которое он опирался: что искомая фигура существует. Сам Штейнер этот недостаток доказательства не устранил. Это было сделано позднее другими математиками Ф. Эдлером и Константином Каратеодори.
С изопериметрической задачи по существу начинается одно из важнейших направлений современной математики — вариационное исчисление.
4. Мои исследования
Для решения задачи на нахождения фигуры с наибольшей площадью я провел исследование плоских фигур, изучаемых в 8 классе. Для удобства вычислений периметр приму 120 см.
4 .1 Исследование площадей треугольников с одним и тем же периметром 120 см.
1)Произвольный треугольник со сторонами 40 см, 55 см, 25см.Найдем его площадь по формуле Герона:
S= = = = см2, где p = – полупериметр.
2)Прямоугольный треугольник со сторонами 30 см, 40 см, 50см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине
произведения его катетов.
см2.
3)Равнобедренный треугольник со сторонами 45см, 45 см, 30см. S= = см2.
4)Равносторонний треугольник со стороной 40см.
см2.
Вывод: из всех треугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
4.2 Исследование площадей трапеций с одним и тем же периметром равным 120 см.
Произвольная трапеция со сторонами 13 см, 20 см, a = 33 см, b = 54 см.
Воспользуемся формулой площади трапеции: . Найдем высоту по теореме Пифагора:
Подставляем под формулу: см2.
Прямоугольная трапеция со сторонами 20 см, 30 см, a = 20 cм, b = 50 см.
см2.
h
10
1
Равнобедренная трапеция со сторонами 26 см, 26 см, a = 24 см, b = 44 см.
24
26 26
см2.
Вывод: из всех трапеций с одним и тем же периметром наибольшую площадь имеет равнобокая трапеции.
4.3 Исследование площадей параллелограммов с одним и тем же периметром равным 120 см.
30
h
Параллелограмм со сторонами 15 и 45 см и острым углом в 30°. ,
см2.
Ромб со стороной 30 см и острым углом в 30°.
S см2.
Прямоугольник со сторонами 20 и 40 см.
см2.
Квадрат со стороной 30 см.
см2.
Вывод: из всех параллелограммов с одним и тем же периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
4.4. Найдем также площади правильного 6-угольника, 8-угольника с периметром 120см и круга, длина окружности которого 120 см.
6-угольник
8-угольник со стороной 15см:
Круг, длина окружности 120см:
→ →
см2.
В результате моего исследования получилось:
- наибольшую площадь имеют правильные фигуры, и чем больше количество сторон у этой фигуры, т.е. чем ближе она к кругу, тем площадь тоже больше;
- самой же большой площадью обладает круг, что подтверждает изопериметрическая задача.
Построим диаграмму по результатам исследования:
5. Применение изопериметрической задачи на практике
Задача 1. Почему канализационный люк круглый?
Практически все люки в городе прикрыты специальными крышками круглой формы.
Выясним, приведет ли изменение формы люка к изменению его стоимости.
Диаметр лаза люка в действующих стандартах близкий к 600 мм.
Практически все люки в городе прикрыты специальными крышками круглой формы.
Выясним, приведет ли изменение формы люка к изменению его стоимости.
Диаметр лаза люка в действующих стандартах близкий к 600 мм.
-при круглой форме длина окружности корпуса С= 1,88 м,
-при квадратной форме 2,4 м,
-площадь крышки круглой формы 0,28 м²,
-площадь крышки квадратной формы 0,36 м².
Таким образом перерасход материалов на производство люка при переходе от круглой к квадратной его форме составит = 28 %
Кроме того, квадратная крышка может провалиться в люк, чего никогда не случиться с круглой крышкой.
Задача 2. В Кузнецкой кузнице «Кузнец58» один погонный метр кованного забора стоит 3100 рублей. Определить наименьшую стоимость изгороди, если требуется оградить участок площадью 400 м2. Сравнить разные варианты.
Решение.
1. Наименьшая стоимость будет в том случае, если участок будет иметь форму круга.
.
Стоимость составит 69,08·3100 = 214148 рублей.
2. Если ограда будет иметь форму квадрата, то сторона квадрата равна м, периметр - 20·4=80 м, стоимость 80·3100 = 248 000 рублей.
3. Если ограда будет иметь форму прямоугольника со сторонами 25 м и 16 м, то его периметр 82 м, а стоимость 82·3100= 254000 рублей. Задача3. Возвращаясь к задаче царицы Дидоны, рассчитаем территорию, которую заняла Дидона.
В интернете я нашел приблизительную площадь бычьей шкуры-35800 см². Разрежем ее на полоски шириной 0,5 см, тогда длина полуокружности равна будет 71600 см или 716 м.
С=2πR, = πR,
R=716:3,14 ≈ 228(м)
Sкруга=πR²,
S круга =3,14•228² ≈ 163230(м²)
S полукруга = Sкруга: 2 = 81615(м²)
На площади 81615 м² можно было даже построить крепость.
Заключение
Итак, в своей работе для достижения цели мною были проведены эксперименты, решены задачи и обоснована изопериметрическая проблема: среди геометрических фигур на плоскости с равными периметрами наибольшую площадь имеет круг.
В дальнейшем я могу продолжить изучение данной задачи, исследовать пространственные фигуры и с помощью эксперимента показать, что из всех тел, ограниченных поверхностью данной величины, наибольший объем у шара. Ежедневно в нашей жизни нам встречаются задачи на нахождение наибольших или наименьших значений, потому что разумный человек непременно ищет такой путь, который поможет ему достигнуть наибольшей выгоды. Но при этом мы даже и не подозреваем, что в таком простом бытовом случае мы решаем изопериметрические задачи.
Учитель мне сказала, что изопериметрические задачи также относят к классу так называемых «экстремальных задач». Обычно такие задачи изучаются в курсе алгебры и начал анализа и решаются с помощью производной (вот и я их буду в 11 классе решать!).
Задача же Дидоны- классическая экстремальная задача по геометрии.
Литература и интернет-ресурсы
Крыжановский А.Б. «Изопериметры» М. - Л.,Физматлит, 1959 г.
Олехник С. Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. «Старинные занимательные задачи».- 2-е изд. исправленное,- Москва «Наука», 1988.
Перельман Я. И. «Живая математика». Москва «Наука», 1978 г.
Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. для учащихся 5–7 кл. –М.: Просвещение, 2002.
Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
Шарыгин Д. Миф о Дидоне и изопериметрическая задача. «Квант» №1, 1997г.
Шарыгин И. Ф.Задачи по геометрии. Планиметрия. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.
8. http://naukoved.ru
9. http://kvant.mccme.ru
10. http://goo.gl/PeqffB
11. http://philipok4.narod.ru/Tuser7/Starinnye_zadachi.pdf