Решение старинных задач

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Решение старинных задач

Ляшко В.А. 1
1МБОУ "Восточенская СОШ"
Сушкова Н.А. 1
1МБОУ "Восточенская СОШ"

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

I.Введение

 

Математика предмет очень интересный, но не простой. Не всем людям он дается одинаково. Некоторым дается очень легко, кому – то труднее, а кто - то совсем не умеет решать задачи. А как у вас дела с математикой? Чтобы ответить на этот вопрос проверим вашу логику. Свою работу я хочу начать с задачи- загадки.

Шла баба в Москву и повстречала 3 мужиков. Каждый из них нёс по мешку, в каждом мешке по коту. Сколько существ направлялось в Москву?

Удивительно то, что подобные задачи встречаются в совершенно разных источниках: в папирусах египтянина Ахмеса, у Леонарда Пизанского и в «Школьной арифметике» Даниэля Адамса совсем немного измененные. Значительные преимущества имеет математика перед другими предметами, потому что изучать ее, заниматься ею можно с ранних лет. Многие открытия в математике были сделаны, да и сейчас делаются людьми, еще очень молодыми, не достигшими тридцати, а иногда и двадцати лет.

Выбрана тема о старинных задачах, потому что они показались мне труднее тех, которые мы решаем на уроках. Чтобы справиться с ними, надо проявить сообразительность, смекалку, так как обычных методов тут может и не хватить. Необходимы настойчивость и целеустремленность, без этих качеств нельзя добиться успеха в любом деле, не только в математике.

Цель работы: выбор более удобного способа решения математических задач.

Задачи:

1. Познакомиться с занимательными старинными задачами;

2. Сравнить «старые» и «новые» способы решения задач;

3. Научиться применять в жизненных ситуациях простые арифметические решения.

План исследования:

1. Найти старинные задачи.

2. Узнать способ их решения по-старинному, без букв.

3. Перевести с родного языка на алгебраический.

4. Сравнить эти способы решения.

5. Сделать выводы.

II. Основная часть.

1.Задачи Ахмеса и подобные задачи на Руси.

В древнейших рукописях египтян (около 4 тысяч лет) сохранился папирус Ахмеса. В нём даются решения боле 80 задач на различные вычисления, которые могут понадобиться на практике. Некоторые из этих задач показались бы довольно сложными ученику- старшекласснику нашей школы. Представляете себе, как трудно было их решить 4 тысячи лет назад! Ведь у древних египтян не было ни удобного способа записи чисел, ни наших правил арифметических действий, ни таблицы умножения. Большая часть задач папируса Ахмеса относится к арифметике: задачи на арифметические действия, на пропорциональное деление и т. д. При этом сгруппированы они не по математическому содержанию, а по тому, о чём в них идёт речь.

В Древнем Египте ещё не знали и не подозревали о том, что неизвестные числа можно обозначать буквами, а потом работать с ними как с известными величинами. С дробями у них тоже были сложности. Однако египтяне придумали метод решения таких задач, который назвали «методом кучи».

В папирусе Ахмеса предлагается задача, имеющая отвлечённый характер. Например:В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений, на каждом растении 7 мер зерна. Сколько всех вместе?Тут интересно, что в задаче надо ответить на вопрос: сколько всех вместе? Автора задачи не интересует, о каких вещах или предметах идёт речь, однородны они или разнородны,- важно только их общее количество. Значит, очень давно египтяне уже представляли себе не число кошек, или колосьев, или мышей, а именно само по себе число. Но ведь это совсем не так просто. Некоторые задачи были не слишком сложны, но вели к интересным выводам. Такова задача, о которой я сказала только что. В ней надо сосчитать сумму пяти чисел, из которых каждое следующее в 7 раз больше предыдущего. Чтобы решить её, надо было только терпеливо умножать на 7 и складывать.

В XIII веке итальянский математик Леонардо Пизанский, по прозвищу Фибоначчи, привёл в своей книге задачу очень похожую на задачу Ахмеса. Вот ее содержание. Семь старух отправились в Рим. У каждой старухи по семи ослов, каждый осёл несет по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов? От задачи Ахмеса она отличается добавлением одного слагаемого.

На Руси также решались похожие задачи. Ещё в XIX веке очень популярной была задача, которую и сейчас загадывают нередко.

«Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей.

На каждом костыле по семи сучков.

На каждомсучке по семи кошелей.

В каждом кошеле по семи пирогов.

В каждом пирогепо семи воробьёв.

Сколько всего?»

А ведь это та же задача Ахмеса! Прошли тысячи лет, а задачу до сих пор решают. Но такие суммы теперь часто встречаются и получили особое название: сумма геометрической прогрессии и каждый девятиклассник без труда и очень быстро решит ее.

Если сравнить их решения, вы увидите, что современное решение гораздо короче и легче, так как в нем используют формулу и вместо 15 действий, выполняют всего 5. Убедитесь сами.

Старинное решение задач:

7 + 7*7 + 7*7*7 + 7*7*7*7+7*7*7*7*7 =19607.

Современное решение задач:

по формуле суммы первых 5 членов геометрической прогрессии:

S5 = 7*(75 - 1) = 19607.

7 – 1 Ответ: всех вместе 19607.

2. Особенности ряда математических задач Древней Руси и возможные способы их решения в современной практике решения задач.

В большинстве русских математических рукописей и печатных книг старого времени встречаются занимательные задачи. Много таких задач можно найти в “Арифметике” Л. Ф. Магницкого.

Каждая задача облекается автором в интересную, а чаще практическую форму. Одной из самых ярких характеристик задач «Ари­фметики» является прикладной характер. Самым главным потребителем арифметических знаний являлось купечество, поэтому практически вся третья часть задач была посвящена тройно­му правилу и представляла из себя решение задач торговли.

Вспомним о том, что славяне без малого тысячу лет назад уже отлично владели четырьмя действиями арифметики, свободно обращались с довольно большими целыми числами и с маленькими дробями. Думаю, что именно поэтому, все задачи решались путем логических рассуждений. Рассмотрим задачу о цене кафтана, которую не всякий школьник быстро решит.

Задача № 1. “Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублев и кафтан. Но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Он же (хозяин) дал ему по достоинству расчет 5 рублев и кафтан, и знать надлежит, какой цены оный кафтан был”.

I способ. Можно вычислить по действиям, рассуждая логически.

Работник не получил 12 – 5 = 7 (руб.) за 12 – 7 = 5 (месяцев),

поэтому за один месяц ему должны были платить 7:5 = 1,4 (руб.), а за 7 месяцев он должен получил 7 ·1,4 = 9,8 (руб.), так как деньгами он получил 5 рублей, значит кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (руб.).

II способ. Решаем, используя пропорции.

Пусть x руб. — стоимость кафтана, (х+12) он должен получить за год, а

(х+12) :12 в месяц. Получил же он (х+5), а в месяц (х+5):7

Получим уравнение, применяя основное свойство пропорции

(x + 12):12 = (x + 5):7

Решим уравнение Х = 4,8 . Ответ: 4,8 руб. стоит кафтан.

3. «Правило ложного положения»

Одним из способов решения задач часто использовался способ, который основан на предположении. Этим способом сейчас не пользуются или пользуются очень редко. Рассмотрим его на примере двух задач, которые сейчас используют в «Занимательной математике»

Старинные русские задачи из книги Л.Ф.Магницкого «Арифметика»

Задача 1. Летела стая гусей, а навстречу им ещё гусь. Гусь говорит: «Здравствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да ещё столько, да ещё полстолька, да ещё четверть столька, да ты, гусь вот тогда нас было бы сто гусей». Египетский математик Ахмес, решая эту задачу, сказал бы: «Считай с четырёх». Это значило: «Предположи, что в стае было 4 гуся». Тогда по условию задачи получим:

4 + 4 + 2 + 1 = 11 (гусей).

А так как нужно получить не 11, а 99 гусей (100 – 1 = 99; 99 : 11 = 9),то надо взятое вначале число 4 умножить на 9. Получится правильный ответ 36 гусей.

Поскольку вначале делается неправильное предположение, что число гусей равно 4, этот способ называют теперь «Правилом ложного положения» или «фальшивым правилом».

Рассмотрим перевод задачи с родного языка на алгебраический

На родном языке

На языке алгебры

Сколько в стае гусей?

Х

Если нас столько, да ещё столько,

Х +Х

да ещё полстолька,

Х +Х + ½ Х

да четверть столька,

Х +Х + ½ Х +¼Х

да ты, гусь,

Х +Х + ½ Х +¼Х + 1

тогда было бы 100 гусей.

Х +Х + ½ Х +¼Х + 1 = 100

Сколько гусей было в стае?

Х = 36.

Ответ: 36 гусей

«Правилом ложного положения» или «фальшивым правилом» решается еще одна задача из книги Магницкого.

Задача 2. Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников?

Делаем первое предположение: учеников было 24. Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолько, четверть столько и 1», имели бы:

24+24+12+6+1=67, то есть на 100-67=33 меньше (чем требовалось по условию задачи), число 33 называем «первым отклонением».

Делаем второе предположение: учеников было 32.

Тогда имели бы:

32+32+16+8+1=89, то есть на 100-89=11 меньше это «второе отклонение».

В случае, если при обоих предположениях получилось меньше, даётся правило: помножить первое предложение на второе отклонение, а второе предложение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений:

(32*33 – 24*11) : (33 – 11) =36.

Учеников было 36.

Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию.

Например:

Первое предположение: 52.

52+52+26+13+1=144.

Получили на 144-100 =44 больше (первое отклонение).

Второе предположение: 40.

40+40+20+10+1=111.

Получили на 111-100=11 больше (второе отклонение).

(40*44-52*11) :( 44-11 ) =36.

Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы.

При помощи самых начальных сведений алгебры эти правила легко обосновываются.

Перевод задачи с родного языка на алгебраический:

На родном языке

На языке алгебры

Сколько в классе учеников?

Х

Если учеников столько, да ещё столько,

Х +Х

да ещё полстолька,

Х +Х + ½ Х

да четверть столько,

Х +Х + ½ Х +¼Х

да твой сын,

Х +Х + ½ Х +¼Х + 1

тогда будет 100 учеников

Х +Х + ½ Х +¼Х + 1 = 100

Сколько было у учителя учеников?

Х = 36.

Ответ: 36 учеников.

Задача 3. Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?

Допустим, что в клетке были только фазаны. У фазана две ноги, значит, всего было бы 2 . 15 = 30 (ног).

В действительности ног было 42, значит 12 «лишних» (42 – 30 = 12).

Чьи это ноги? Конечно, кроличьи.

Но у каждого кролика на 2 ноги больше, чем у фазана, значит, эти «лишние» 12 ног принадлежат 6 кроликам

(12 : 2 = 6).

Но если кроликов было 6, то фазанов 15 – 6 = 9.

Действительно, у 6 кроликов 24 ноги, у 9 фазанов 18 ног. Всего 24 + 18 = 42 (ноги), что соответствует условию задачи. В клетке было 6 кроликов и 9 фазанов.

Решим задачу, применяя буквы:

На родном языке

На языке алгебры

В клетке сидели фазаны и

Х

кролики.

Y

Сосчитали головы. Их оказалось 15.

Х + Y = 15

Подсчитали ноги. Их было 42.

2Х + 4Y = 42

Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке?

Решаем систему:

Х + Y = 15;

2Х + 4Y = 42.

Х = 6, Y = 9.

Ответ: 6 кроликов, 9 фазанов.

В рассказе А. П. Чехова «Репетитор» гимназист Егор Зиберов не сумел решить арифметическую задачу, а отец репетируемого ученика, отставной губернский секретарь Удодов, пощелкав на счётах, получил правильный ответ. Попробуем решить эту задача арифметически.

Задача 4. Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он и того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а чёрное – 3 руб.? Решение задачи в старину.

Если бы купец приобрёл сукно одного типа, например синее, то он заплатил бы 138*5 = 690 руб. Образовавшаяся разность в 150 руб. получена за счёт того, что чёрное сукно повышено в цене на 2 руб. Значит, чёрного сукна было 150:2 = 75 аршин, а синего было 138-75 = 63 аршина.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин

Решим задачу, применяя буквы

На родном языке

На языке алгебры

Куплено аршин синего сукна,

Х

аршин черного сукна.

Y

Купец купил всего аршин синего и черного сукна

Х + Y = 138

За синее сукно заплатил рублей

За черное сукно заплатил рублей

3Y

Купец заплатил за всю покупку

5Х + 3Y = 540

 

Решаем систему:

Х + Y = 138;

5Х + 3Y =540.

Х = 63, Y =75.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин.

Современным ученикам проще решить эту задачу с помощью системы с двумя неизвестными, чем подумать логически и решить эту задачу в несколько действий!

4. Задачи на признаки делимости.

Очень интересны и поучительны задачи на применение признаков делимости, на нахождение НОК. Таких задач можно найти множество. Вот несколько из них дошедших до нас, которые можно предложить учащимся 6-7 классов.

1. «Ай да старушка!» (из старинных рукописей). Старуха принесла на рынок кошелку яиц. Не успела разложить их, как богатый купец ненароком зацепил кошелку, и все яйца разбились. Прибежал городовой, ухватил купца и приказал возместить убытки. А тот спрашивает:

– Сколько было всего яиц?

– Не знаю, не считала, – отвечает старушка. – Зато дома я все яйца раскладывала на кучки. Сначала разложила на две кучки, и осталось одно яйцо. Потом на три. Опять одно осталось. Тогда разложила на четыре, на пять, на шесть, на семь кучек, но каждый раз оставалось одно яйцо. В последний раз на восемь разложила. И что же! Опять лишнее яйцо. Я рассердилась и больше не считала...

– Ясно, – сказал купец и протянул деньги.

– Правильно, – подтвердил городовой, и все разошлись добром.

А ты сможешь высчитать, сколько было яиц в кошелке?

2. В легенде рассказывается, что когда один из помощников Магомета – Мудрец Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:

– Какое число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без остатка?

Мудрец ответил:

– Умножь число дней в неделе на число дней в нужном месяце и на число месяцев в году (считая, что в месяце 30 дней).

Проверь, прав ли Хозрат Али?

3. «Сколько яиц в лукошке?» (из старинных рукописей). Пришел крестьянин на базар и принёс лукошко яиц. Торговцы его спрашивают: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, и одно лишнее осталось на земле, и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 4 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 5 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 6 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочтите мне, сколько в том лукошке яиц было?"

Решение: НОК (2, 3, 4, 5, 6)= 60; 60∙2+1=121 не делится на 7 , 60∙3+1= 181 не делится на7…. 60∙5+1=301 делится на 7

4. «Угадайте число!» (из старинных рукописей).

Угадайте число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, от деления на 3 даёт в остатке 2, от деления на 4 даёт в остатке3, от деления на 5 даёт в остатке 4, от деления на 6 даёт в остатке 5, а на 7 – делится без остатка.

Решение:

НОК (2, 3, 4, 5, 6) = 60, 60 – 1 = 59 – не делится на 7, 60 *2 -1 =119 делится на 7.

Ответ: 119.

Ш. Вывод.

В работе решено несколько задач.

1. Найти занимательные задачи в старых математических рукописях и печатных руководствах. Мне удалось познакомиться со старинными способами решения, требующими логического мышления, продемонстрировать различные способы решения таких задач в современной математике.

2. Показать, в каких жизненных ситуациях и как стоит принимать решения: с чего начинать, какими соображениями руководствоваться при этом, какие выводы сделать, исходя из полученных результатов.

3.Научиться старинным методам решения задач. То, что этому можно научиться, мне кажется, уже ни у кого не должно вызывать сомнений.

Сравнивая старинные и современные способы решения, сделан вывод:

1. В старину вначале делали неправильное предположение, т.е. решали задачи по «Правилу ложного положения». Такой способ требовал большой сообразительности, поэтому решать задачи лишь некоторые мудрецы.

2. С помощью букв условие задачи люди научились записывать в виде формул, уравнения, систем уравнений, что намного облегчает их решение.

Трудности возникают только при составлении уравнений. Решить же уравнение и систему может почти каждый современный школьник.

Школьникам можно предложить следующие рекомендации при решении задач:

Установить связи между величинами или показать, что их нет вообще;

Выразить одну величину через другую или через несколько величин;

Выяснить, не являются ли одни величины функциями других.

IV. Литература:

1. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М. 1980

2. Депман И..Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. – М.:Просвещение, 1989.

3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.

4.Internet источник: http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2173&Itemid=34

.

 

Просмотров работы: 245