XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение теории паркетов для доказательства признаков параллелограмма и трапеции.
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Тема «Четырехугольники» является основной и интереснейшей в курсе восьмого класса. При её изучении рассматриваются важнейшие свойства трапеции, параллелограмма и его частных видов – прямоугольника, ромба, квадрата.
Однако при решении задач, прежде чем воспользоваться теоремой-свойством, необходимо доказать, что данная фигура относится к определенному виду. Для этого даны теоремы-признаки.
В школьном учебнике Л. С. Атанасян «Геометрия 7-9» рассмотрены три признака параллелограмма и нет признаков для трапеции. Поэтому знание признаков указанных четырехугольников необходимо.
Цель исследования – изучение признаков параллелограмма и трапеции.
Актуальность данной работы: В курсе геометрии 8 класса есть задача 391 условием задачи было доказать, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости. Решая эту задачу, я задумалась над применением теории паркетов. Изучала материалы в Интернет-ресурсах и специальной литературе.
Объект исследования: Четырехугольники.
Предмет исследования: Свойства и признаки четырехугольника.
Методы исследования: изучение и анализ литературы по данной теме, также Интернет-ресурсов и экспериментальная проверка некоторых фактов.
Практическая значимость исследования: Расширение знаний и кругозора учащихся, использование материалов (задач) на уроках геометрии.
Теорема-признак формулируется как обратное утверждение свойству. Поэтому, группируя по два свойства параллелограмма (аналогично для трапеции) и составляя обратные теоремы, я либо доказывала их, либо опровергала с помощью контр-прим
Однако, таким образом я не исчерпала всего множества признаков параллелограмма и трапеции. Это было мною осознанно при решении задачи: четырехугольником произвольной формы заполнить всю пропусков и перекрытий.
Задачи замощения плоскости дают возможность доказать ранее не выявленные нами свойства и признаки параллелограмма и трапеции.
Использование теории паркета для решения вопроса – сколько всего признаков у параллелограмма и трапеции – позволили сформулировать тему исследования:
«Применение теории паркета для доказательства свойств и признаков трапеции и параллелограмма».
Свойства и признаки параллелограмма и трапеции.
1)AB || CD
2)BC || AD
3)AB = CD
4)BC = AD
5)AO = OC
6)BO = OD
7)∠A = ∠C
8)∠B = ∠D
9) ∠A + ∠B = 180°
10) ∠B + ∠C = 180°
11) ∠C + ∠D = 180°
12) ∠D + ∠A = 180°
Одного свойства не достаточно для составления признака, а три — избыточно. Поэтому сочетая по два свойства, составим обратные теоремы и проверим их на истинность. В таблице попарно сгруппированы все 12 свойств. Одинаковым цветом выделены свойства, формирующие схожие признаки. Черным те которые не удовлетворяют требованиям.
Приведем доказательства этих признаков, а также контр-примеры для неверных признаков.
|
1;2 |
1;3 |
1;4 |
1;5 |
1;6 |
1;7 |
1;8 |
1;9 |
1;10 |
1;11 |
1;12 |
|
2;3 |
2;4 |
2;5 |
2;6 |
2;7 |
2;8 |
2;9 |
2;10 |
2;11 |
2;12 |
|
|
3;4 |
3;5 |
3;6 |
3;7 |
3;8 |
3;9 |
3;10 |
3;11 |
3;12 |
||
|
4;5 |
4;6 |
4;7 |
4;8 |
4;9 |
4;10 |
4;11 |
4;12 |
|||
|
5;6 |
5;7 |
5;8 |
5;9 |
5;10 |
5;11 |
5;12 |
||||
|
6;7 |
6;8 |
6;9 |
6;10 |
6;11 |
6;12 |
|||||
|
7;8 |
7;9 |
7;10 |
7;11 |
7;12 |
||||||
|
8;9 |
8;10 |
8;11 |
8;12 |
|||||||
|
9;10 |
9;11 |
9;12 |
||||||||
|
10;11 |
10;12 |
|||||||||
|
11;12 |
C
M
Если в выпуклом четырехугольнике сумма длин средних линий равна его полупериметру, то этот четырехугольник параллелограмм.
B
MN ≤ ½ (AB + CD).
H
K
KH ≤ ½ (BC + AD).
D
N
A
Равенство в обоих случаях выполняется, когда AB || CD и BC || AD. Поусловию MN + KH = ½ (AB + CD + BC + AD) = ½ (AB + CD) + ½ (BC + AD). Следовательно, MN = ½ (AB + CD) и KH = ½ (BC + AD). Итак, AB || CD и BC || AD → ABCD – параллелограмм.
1)AB || CD
2)BC || AD
3)∠A + ∠B = 180˚
4)∠C + ∠D = 180˚
|
1;2 |
1;3 |
1;4 |
|
2;3 |
2;4 |
|
|
3;4 |
Изображена таблица, полученная при парной группировке свойств трапеции.
Задача о построении паркета из четырехугольника.
Задача: четырехугольником произвольной формы настлать паркет, то есть заполнить всю плоскость без пропусков и перекрытий. Решение этой задачи можно получить с помощью центральной симметрии. Отразим четырехугольник ABCD симметрично относительно середины стороны AB. На рисунке исходный четырехугольник помечен цифрой 1, а симметричный – цифрой 2. Теперь 2-ой отразим симметрично относительно середины его стороны BC, а полученный четырехугольник 3 – относительно середины его стороны CB. Четырехугольники 1, 2, 3, 4 примыкают к их общей вершине углами A, B, C, D. А так как сумма углов в четырехугольнике равна 360˚, то эти четыре четырехугольника располагаются вокруг их общей вершины без пропусков и перекрытий. Такое же построение провести вокруг каждой вершины каждого из новых четырехугольников, что и дает паркет на всей плоскости.
Закрасим четырехугольники в два цвета. В раскрашенном таким образом паркете два четырехугольника одного цвета получаются друг из друга параллельным переносом, а два четырехугольника разных цветов – центральной симметрией. Заметим что исходный четырехугольник может быть и не выпуклым – паркет получится и в этом случае.
Примеры решения задач с использованием паркетов.
Построенные паркеты позволяют решить ряд задач, связанных со свойствами четырехугольников. Решение задач можно изложить без использования паркета; рассмотреть только те четырехугольники, которые нужны для решения, а остальные «следы» паркета стереть. Однако найти решение проще с использованием паркета.
Задача №1.
Из бумаги изготовили два одинаковых выпуклых четырехугольника. Один разрезали по одной диагонали, второй – по другой. Докажите, что из четырех полученных треугольников можно составить параллелограмм. Решение становиться очевидным при рассмотрении паркета, изображенного на рисунке.
Задача №2.
Докажите, что паркет из четырехугольников можно получить следующим образам: застилается паркет из центрально-симметричных шестиугольников (произвольной формы, даже не выпуклых) так, что любые два шестиугольника получаются друг из друга параллельным переносом.
Решение.
На рисунке, а изображен центрально-симметричный шестиугольник ABCDEF. Другие шестиугольники получены из него параллельным переносом. Сумма внутренних углов шестиугольника, рассчитанная по формуле ( n-2)×180˚, равна 720˚. Угол A=D, B=E, C=F, так как по условию задачи шестиугольник центрально-симметричен. Следовательно, сумма углов B, D. F, прилегающих в общей вершине, равна 360˚, а значит, три этих шестиугольника расположены вокруг нее без пропусков и перекрытий. Далее, проводят параллельные диагонали, они образуют параллелограммы и не нарушают паркет.
Применение теории паркета для доказательства свойств и признаков параллелограмма и трапеции.
Задача №1.
Докажите, что если средняя линия, соединяющая середины двух противоположных сторон четырехугольника, равна полу-сумме двух других противоположных сторон, то это четырехугольник – трапеция(или параллелограмм).
Решение.
На рисунке MN и NP – средние линии; отрезки AQ и MP равны и параллельны (поскольку AM и QP равны и параллельны). Если MP = 1/3 (AB+BQ), то есть AQ = MP = AB+BQ, то точка B принадлежит отрезку AQ. Следовательно, AB || CB, то есть ABCD – трапеция.
Задача №2.
Существует ещё одно свойство параллелограмма: любой отрезок, соединяющий две противоположные стороны параллелограмма и проходящий через точку пересечения диагоналей, разделится ею по полам. Связанно это с тем, что параллелограмм обладает центральной симметрией, и его центр симметрии и его центр находится в точке пересечения диагоналей.
Обратная теорема: если любой отрезок с концами на сторонах четырехугольника в точке пересечения диагоналей делится пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Решение.
На рисунке отрезок PK соединяет две противоположные стороны четырехугольника через точку пересечения диагоналей и делится ею пополам. Соединим точку O₂ - точку пересечения диагоналей и точку P₁, а также и точку O₁ c P₂. Получим ромб O₁P₁O₂P₂ с диагональю O₂O₁ и P₂P₁. Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Значит, O₂H₁, который в равнобедренном треугольнике NO₂K₂ будет является медианой и высотой.
Аналогично доказывается параллельность сторон A₂D₂ || B₂C₂ → ABCD – параллелограмм.
Задача №3.
Доказать, что если в трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Решение.
На рисунке A₂C₂B₁B₂ - ромб (поскольку его стороны равны и параллельны). Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то отрезок BP – медиана и высота в треугольнике ABD₁. Следовательно, ∆ABD₁ - равнобедренный → AB = C₁D₁.
Заключение
Начатая мной работа по отысканию признаков параллелограмма и трапеции ещё не завершена. Для составления теорем-признаков необходимо знать все свойства параллелограмма и трапеции, многие из которых остались за рамками школьной программы. Не до конца использована мной теория паркетов для доказательства свойств и признаков параллелограмма и трапеции. (Эта идея почерпнута мной из статьи «Паркет из четырехугольников» - автор – доктор – математических наук В. Г. Болотянский.)
Во всем этом я видим перспективы данного исследования. Однако уже на данном этапе работы мне многое удалось.
Во-первых, мной рассмотрена задача о «замощении» плоскости четырехугольниками.
Во-вторых, пополнены «школьные» признаки параллелограмма и трапеции.
В-третьих, доказаны признаки параллелограмма и трапеции, обратные свойствам их средней линии.
В-четвертых, открыт «новый способ» доказательства признаков параллелограмма и трапеции.
Литература
Атанасян, Л. С. Геометрия [Текст]: учебник. для 7-9 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 1991.
Болтянский, В. Г. Паркет из четырехугольников. [Текст] / В. Г. Болтянский // Квант. – М.: Наука. – 1989. – №11.
Готман, Э. Задачи на доказательство. [Текст] / Э. Готман // Квант. – М.: Наука. – 1976. – №7
Готман, Э. Медианы и средним линии. [Текст] / Э. Готман // Квант. – М.: Наука. – 1975. – №12
Кушнир, И. Неожиданность обратной задачи. [Текст] / И. Кушнир // Квант. – М.: Наука. – 1991. – №2
Математика. [Текст] // Энциклопедия для детей. – Т. 11. – Аванта+, 1998.
Погорелов, А. В. Геометрия. [Текст]: учеб. пособие для 6-10 кл. сред. шк. / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 1998.
Сонин, А. С. Постижение совершенства [Текст] / А. С. Сонин. – М., 1986.