Соединить невозможное. Использование математических знаний при решении прикладных задач

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Соединить невозможное. Использование математических знаний при решении прикладных задач

Новохатский Д.А. 1
1МБОУ СОШ № 7 с УИОП
Астахова Т.П. 1
1МБОУ СОШ № 7 с УИОП
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Все мы уже давно знаем о роли математики – «царицы наук». Ведь математика – это язык, на котором говорят все остальные точные науки. Да и не только они. Возьмите любой музыкальный инструмент, например, пианино или гитару. Звук этих инструментов представляет собой гармонические колебания, которые, если изобразить их графически, выглядят как уже привычные нам синусоиды. Математика вообще очень хорошо описывает многое происходящее вокруг нас: в расположении семян подсолнечника или шишек сосны проявляется ряд Фибоначчи1; различные вихри образуются как спираль Архимеда2. Здесь очень хорошо вспомнить слова Альберта Эйнштейна: «Как может математика, порождение человеческого разума, независимое от индивидуального опыта, быть таким подходящим способом описывать объекты в реальности?» [1].

Во время осенних каникул я посетил одно очень интересное место – карстовые пещеры на полуострове Крым: Мраморную и Эмине-Баир-Хосар (Мамонтовая). Опустившись на глубину, любуясь сталактитами и сталагмитами, меня не покидала мысль и осознание: «Я – под землей, а не на ней». Более того, не стоит забывать, что именно пещеры были одним из условий выживания первобытных людей в самом начале нашей цивилизации, защищая их от непогоды и окружающей опасности. Недаром пещеры называют «колыбелью» человечества. Сейчас большинство пещер уже довольно хорошо изучены учеными, часть из них стали популярными туристическими объектами, дающими возможность нам совершить самый настоящий «прыжок во времени» и прикоснуться к загадкам подземного мира.

Но при чем здесь математика? Возможно, любители математики сейчас вспомнят о Пифагоре, чьи теоремы стали настоящим фундаментом в математической науке, который проживал на горе Керкис и использовал одну из ее пещер в качестве учебного класса. Однако в своей работе мной будет сделана попытка провести параллель между такими, на первый взгляд, совершенно не связанными понятиями, как «математика» и «пещера», продемонстрировать на практике возможность использования математических знаний и в очередной раз подтвердить знаменитый пифагорейский тезис: «Все вещи суть числа».

Цель – установить связь между математикой и окружающим нас миром на примере природных пещер и подтвердить прикладную значимость математических знаний.

Гипотеза. По мнению автора данной работы, математика является важнейшим инструментом для изучения и анализа природных (карстовых) пещер.

Объект исследования – карстовая пещера Эмине-Баир-Хосар, расположенная на территории Крымского полуострова (Приложение 1).

Предмет исследования – математический инструментарий для изучения и анализа карстовой пещеры Эмине-Баир-Хосар.

Для достижения поставленных целей в работе необходимо решить следующие задачи:

Изучить информацию о строении пещеры Эмине-Баир-Хосар.

Оценить возможность применения математического инструментария для анализа выбранной пещеры.

Подтвердить (или опровергнуть) значение математики при изучении и анализе природных пещер.

В процессе проведения исследования использовалась литература по криптологии, интернет-ресурсы, для подготовки презентации – программы PowerPoint.

Структура работы. Научно-исследовательская работа состоит из введения, основной части, включающей в себя 4 главы, а также заключения, списка использованных источников и литературы, приложения. Общий объем работы составляет 15 страниц.

У ВХОДА В КОЛОДЕЦ

Пещера Эмине-Баир-Хосар расположена на Крымском полуострове, недалеко от Симферополя, на плато горы Чатыр-Даг (Шатер-гора). Данная пещера известна с начала XVIIIвека. «Колодец на склоне возле дуба» - так переводится ее название с тюркского языка. Второе название пещеры – Мамонтовая, по находящемуся в одном из ее залов скелету доисторического животного (мамонтенка), который свалился в нее тысячи лет назад сквозь глубокий колодец.

Пещера Эмине-Баир-Хосар имеет вертикальную структуру. Образовалась она в результате длительного вымывания известняковых пород талой водой и поэтому является карстовой пещерой3. Однако это не объясняет те относительно небольшие временные периоды, за которые могут быть образованы такие достаточно большие полости. И здесь можно указать первую связь между математикой и пещерой. Именно с помощью математических вычислений физик Петр Шимчак (Польша) и инженер-химик Энтони Лэдд (США) объясняют механизм образования такого рода пещер. Согласно их предположениям, в природе не существует абсолютно цельных материалов, и всегда есть определенный уровень отклонения от условного идеала. Применительно к горным породам – это наличие в них различных трещин, позволяющих воде просачиваться глубже и быстрее. Как показали дальнейшие исследования, с помощью математического анализа можно вычислить и скорость образования подобной пещеры [2].

Возвращаясь к названию пещеры – «Колодец на склоне возле дуба», следует указать и размеры данного колодца, а точнее естественного входа в пещеру. Он представляет собой цилиндр длиной 16 м и диаметром 8 м. Сейчас эти размеры не представляют из себя никакой тайны, достаточно открыть путеводитель или нужную страницу в Интернет. Но как люди могли определить глубину это входа раньше, не спускаясь на дно колодца? Конечно же, бросив камень и произведя несложные математические расчеты.

Считаем, что камень падает равноускоренно (ускорение постоянно по модулю и направлению). Тогда путь (или глубина колодца), который он проделает, будет определяться по формуле:

L – глубина колодца (естественного входа);

v0 – начальная скорость камня (в данном случае = 0);

t – время, с;

а – ускорение свободного падения (а = 9,8 м/с2).

Конечно, это приблизительный расчет и мы не учитывали скорость распространения звука в воздухе. Однако, предварительную информацию о глубине колодца получить достаточно просто4.

Зная глубину (длину) и диаметр, нетрудно определить и объем колодца (естественного входа), который, по своей сути, представляет собой простую геометрическую фигуру – цилиндр (рис.1).

=803,84 куб.м

π = 3,14;

r – радиус колодца (в данном случае = 4 м, так как диаметр составляет 8 м);

L = 16 м, (глубина нашего колодца).

Рис. 1. Определение объема колодца (естественного входа)

ВНУТРИ ПЕЩЕРЫ

В первой главе с помощью математических расчетов были определены размеры естественного входа в пещеру Эмине-Баир-Хосар. Однако самое интересное начинается уже внутри самой пещеры. И первый вопрос, который задает себе человек, спустившись под землю – а какой размер самой пещеры. И здесь, учитывая ее неправильную форму (с точки зрения геометрии), решение данной задачи будет уже немного сложнее.

Рассмотрим несколько вариантов.

Первый вариант: разбивка объекта (в данном случае пещеры) на отдельные части – геометрические фигуры, для каждой из которых можно определить значение площади (рис.2). Для наглядного примера я взял один из залов пещеры – Кечкемет, и схематичного разделил его отдельную часть на прямоугольники и треугольники, площадь которых можно легко определить. Суммарная площадь всех таких фигур и будет равна приблизительной площади всего зала.

Рис.2 Подсчет площади зала Кечкемет (вариант 1)

Если первый вариант больше основан на методе индукции (перехода от частного к общему или как в нашем примере - от отдельных разрозненных фигур к общей площади), то во втором варианте можно применить прямо противоположный метод – дедукцию.

В данном случае определение площади пещеры Эмине-Баир-Хосар (или ее отдельного зала) будет основываться на площади многоугольника, описывающего саму пещеру (рис.3). Однако здесь, с учетом оценки степени субъективности выбора формы многоугольника, возможна вариация площади пещеры порядка 10% [3].

Рис.3 Подсчет площади зала Кечкемет (вариант 2)

Тем не менее, по мнению некоторых ученых данный метод (вариант 2) дает некоторую неопределенность, в связи с чем, имеется третий вариант определения площади [4]:

Lk – расстояние в плане между двумя наиболее удаленными точками полости по ее длинной оси. м;

Bk - расстояние в плане между двумя наиболее удаленными точками по перпендикуляру к длинной оси, м;

Sk – площадь так называемого параллелепипеда Корбеля, м2.

В этом варианте (рис.4) площадь получается также немного завышенной. Для более точных измерений, пещеру рекомендуется разбить на условные элементарные участки и уже к каждому из них применять данное вычисление.

Рис.4 Подсчет площади зала Кечкемет (вариант 3)

СОКРОВИЩНИЦА ПЕЩЕРЫ

Рассказывая о пещерах, невозможно не упомянуть ее главные «сокровища» – сталактиты, сталагмиты и сталагнаты5. Природные украшения пещер, которые вместе с тем также связаны с математикой. Еще в далеком 1884 году известный ученый Пьер Кюри опубликовал небольшую заметку «О симметрии физических явлений». Еще больше данную тему развил русский минералог Илларион Шафрановский, который опубликовал книги о симметрии в природе, в которой установлены основные понятия о геометрии природных форм, связанных с симметрией поля земного тяготения. В частности, все что растет или движется горизонтально или наклонно к земной поверхности, подчиняется «билатериальной» симметрии (гусеница, бабочка, листья деревьев), вертикально, вверх или вниз (как простейший пример - сталактиты и сталагмиты) – «радиально-лучевой» симметрии (рис.5).

Рис. 5 Примеры радиально-лучевой симметрии в пещере

Затрагивая тему симметрии, нужно отметить, что все пещеры имеют одинаковые элементарные сечения: круг, эллипс, квадрат, прямоугольник и т.д. И многообразие пещер – это не что иное, как осложнение исходных форм или их комбинация. Внутри подземных полостей можно также встретить и глыбовые осколки, близкие по форме к параллелепипеду. Так в одном из залов пещеры Эмине-Баир-Хосар (Кечкемет) находится водное отложение в виде небольшого вулкана, в центр которого равномерно капают капли, обладающее симметрией довольно высокого порядка – эллипсоид, близкий к шару.

Скорость роста «сокровищ» - сталактитов и сталагмитов пещеры Эмине-Баир-Хосар варьируется от 3 мм до 10 см за тысячу лет. В одном из ее залов (зал Идолов) можно увидеть довольно высокие сталагмиты, один из которых, в частности, достигает высоты 10 метров. С помощью несложных математических расчетов можно определить сроки образования данного сталагмита:

Скорость роста сталагмита

Высота сталагмита в зале Идолов

Срок образования сталагмита

Примечание
(период зарождения сталагмита)

3 мм в 1000 лет

или 0,003 м в 1000 лет

10 м

3,3 млн. лет

Кайнозойская эра

10 см в 1000 лет

или 0,01 м в 1000 лет

10 м

1 млн. лет

Кайнозойская эра

Находясь внутри пещеры, нельзя не восхищаться причудливыми изваяниями ее сталактитов и сталагмитов. Их формы, на первый взгляд, кажутся весьма прихотливыми. Однако, несмотря на кажущееся разнообразие, в основе каждого сталактита лежит одна и та же уникальная математическая формула - «Есть только одна форма, к которой стремятся все сталактиты. Различие между сталактитами может быть достаточно велико, но все же это – одна и та же форма» [4]. В ходе научных исследований было выведено математическое уравнение, описывающее постепенное видоизменение сталактита, такой «геометрический закон движения». Дальнейшее компьютерное моделирование данного процесса показало, что вне зависимости от того какая форма использовалась учеными для исходной точки, удлинение и утолщение компьютерного сталактита осуществлялось универсальным образом. В результате чего получились фигуры в виде сосулек, очень похожие на классические сталактиты.

НЕМНОГО ЭКОНОМИКИ

В завершении своей работы мне хотелось бы рассмотреть еще одну область применения математики для анализа пещеры Эмине-Баир-Хосар, а именно остановиться на экономической составляющей. В настоящее время данная пещера является довольно популярным туристическим маршрутом, и математические расчеты позволят получить информацию об ожидаемых экономических показателях для данного туристического объекта.

С учетом имеющихся данных можно определить максимально возможные доходы от посещения туристами пещеры Эмине-Баир-Хосар.

Исходные данные:

Время работы пещеры: с 9.00 до 19.00 (10 часов в сутки), без выходных и праздничных дней.

Количество людей в группе: не более 10 человек.

Цены за посещение пещеры в зависимости от выбранного маршрута указаны в таблице.

Маршрут

Цена (руб.)

Продолжительность экскурсии (мин.)

Количество возможных экскурсий в день (расчет*)

Получаемые доходы, исходя из группы в 10 человек (расчет**)

В сутки, тыс.рублей

В год, млн.рублей

Северная галерея

500

30

20

100,0

36 500,0

Северная галерея – Зал идолов – Кечкемет

600

80

7

42,0

15 330,0

Все маршруты пещеры

700

90

6

42,0

15 330,0

Примечание:

* количество экскурсий принимаем как целое число (без дробных значений)

** для расчета принимается 100% посещаемость

Конечно, в данном расчете мы смоделировали идеальную ситуацию: ежедневная 100% заполняемость экскурсий – полный расчет экономических показателей будет намного сложнее, с учетом расходов на содержание пещеры, зарплату ее сотрудников, влиянием сезонного фактора на количество туристов. Однако даже такой простой математический расчет подтверждает значение математического инструментария для анализа пещеры Эмине-Баир-Хосар.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью моей работы было установить связь между математикой и окружающим нас миром на примере природной пещеры Крыма, а также подтвердить прикладную значимость математических знаний. Казалось бы, абсолютно несравнимые вещи – математика и пещеры. Однако окружающий нас мир полон математических объектов: геометрических фигур, чисел и т.д. Более того, вся наша современная жизнь – это результат развития технологий, в основе которых находятся математические формулы и точные расчеты.

Математические знания не только помогают нам совладать с окружающим миром, они позволяют нам понять его суть. С помощью органов чувств мы можем наблюдать за объектами вокруг нас и получать, так называемые, «описательные» знания, но именно математика объясняет природу существования окружающего нас мира. В рассмотренном мной случае (с пещерами полуострова Крым) – это и механизм образования самой пещеры, ее форма и размеры, скорость образования сталактитов и сталагмитов. Более того, при анализе пещеры Эмине-Баир-Хосар как туристического объекта, математические расчеты дают информацию и об экономических аспектах ее функционирования, которые также необходимы в практической деятельности - при формировании и развитии туристического рынка полуострова.

Мир математики поражает удивительными связями между различными объектами и областями. Во время обучения в школе мы привыкли к ее взаимодействию практически с любым школьным предметом, но ее роль значительна и за пределами школьного курса. Так и я, побывав в обычной туристической поездке и посетив несколько природных пещер, убедился в возможностях прикладной направленности математических знаний. Очень интересное наблюдение сделал американский профессор-математик Джордан Элленберг, который сравнил математику с рентгеновскими очками, позволяющими увидеть структуру мира, скрытую под беспорядочной, хаотичной поверхностью [5]. А владение математическим инструментарием позволит получить наиболее глубокое и осмысленное представление об окружающем нас мире. Осталось дело «за малым» - продолжать изучать математику дальше.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

Почему математика хорошо описывает реальность? https://habr.com/ru/post/390201//

Математика помогла ответить на вопрос, почему пещеры формируются так быстро http://mathemlib.ru/news/item/f00/s00/n0000022/index.shtml

В.Н. Дублянский, В.В. Илюхин, Ю.Е. Лобанов. Морфологические показатели карстовых полостей. Пещеры: Межвуз. сб. науч. тр./Перм. ун-т. – Пермь, 1981г. http://www.rgo-speleo.ru/biblio/dubl_morfolog.htm/

Математики нашли новую идеальную форму https://grani-ru-org.appspot.com/Society/Science/m.81635.html

Дж. Элленберг. Как не ошибаться. Сила математического мышления https://mir-knig.com/read_434726-1

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПЕЩЕРА ЭМИНЕ-БАИР-ХОСАР

Краткая информация:

Эмине-Баир-Хосар – карстовая (вымывная) пещера

Общая протяженность – 2 км,

Глубина – 125 м

Необорудованная часть спускается на глубину 180 м – геологический заповедник, вход для посетителей закрыт

1 Ряд Фибоначчи (в честь средневекового математика Леонардо Пизанского, более известного как Фибоначчи) – элементы числовой последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

2 Спираль Архимеда – спираль или плоская кривая, траектория точки М, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в Т, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг О.

3 Вода с поверхности проникает внутрь горной породы и начинает взаимодействовать с содержащейся в ней диоксидом углерода. В результате химической реакции получается слабая кислота, которая разрушает известняк (или другую, легкорастворимую горную породу), в результате чего образовывается карстовая пещера.

4 В настоящее время возможности сбросить камень в колодец (естественный вход) нет, по причине того, что пещера является туристическим объектом. Но, зная длину колодца – 16 м, можно произвести обратный расчет и определить время падения камня. Получится около 1,8 с.

5 Сталактит (от греческого stalaktos - «натекший по капле») – образования, свисающие со сводов пещер (похожи на сосульки, но могут быть и других форм). Сталагмит (от греческого stalagma - «капля») поднимаются с пола пещер вверх. Когда, растущие навстречу друг другу, сталактит и сталагмит соединяются, образуется сталагнат.

Просмотров работы: 22