XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Взаимосвязь музыки и математики. Музыкальные уравнения.
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«Математика и музыка требуют
единого мыслительного процесса»
(А. Эйнштейн)
Введение
Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.
«Мне казалось, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека, и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства», – писал Г. Нейгауз. Непривычно слушать подобные слова, исходящие из уст музыканта. Казалось бы, искусство – весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства.
Гипотеза: Числа и звуки взаимосвязаны. Мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.
Задачи:
Узнать историю происхождения дробей и теорию музыки
Научиться решать уравнения с дробями и нотами.
Изучить простые интервалы и обыкновенные дроби.
Узнать что такое интервалы и аккорды
Научиться решать примеры с точки зрения музыки.
Доказать, что «Математика» и «Музыка» тесно связаны между собой.
Рассмотреть теорию о связи дробей с нотами
Актуальность: многие увлекающиеся музыкой, не знают о ее происхождении.
Методы:
Изучение литературы
Анкетирование
Сравнение
Исследование
1. Теоретическая часть
1.1 Дроби
Дроби возникли не как результат деления целых чисел. Они возникли в процессе измерения, как определенные части некоторых определенных мер. Раньше дроби считались самым трудным разделом математики. Единой записи дробей, как и целых чисел, не было.
В древнем Египте были дроби вида , так называемые аликвотные дроби, и еще была дробь .
В древнем Вавилоне существовали шестидесятеричные дроби, т.е. дроби, знаменателями которых являлись степени числа 60.
В древней Руси основными дробями были
- «половина», «пол»
- «треть»
- «четверть» или «четь»
- «полтрети»
- «полчети»
- «пол-полтрети»
Остальные дроби выражались посредством сложения и вычитания основных дробей.
Все народы называли дробь «ломаным числом».
Герон Александрийский (1век до нашей эры) применял дроби общего вида и записывал их без дробной черты, числитель и знаменатель ставил рядом, причем числитель записывал с одним штрихом, а знаменатель записывал дважды и отмечал двумя штрихами.
Дробная черта начала применяться в XIIIвеке, но в постоянное употребление она вошла только в XVIвеке.
В древнем Вавилоне существовали шестидесятеричные дроби, т.е. дроби, знаменателями которых являлись степени числа 60.
Все народы дробь называли «Ломаным числом»
Диофант (3 век до нашей эры) дроби записывал почти так же, как и мы, только над чертой писал знаменатель, а под чертой – числитель или записывал числитель, слово частица и затем знаменатель.
Индусы при изображении простой дроби числитель записывали под знаменателем, а дробной черты не имели. При записи смешанного числа целую часть писали на числителе.
1.2 Ноты
До нот в европейской музыке использовались особые знаки — невмы. Современная музыкальная нотация восходит к трудам Гвидо д'Ареццо первой половины XI века, который начал записывать ноты на четырёхлинейном нотном стане. Впоследствии система дорабатывалась (добавилась пятая линейка, изменился внешний вид нот, ключи и т. д.), и в современном виде она существует с XVII века.
Названия семи нотам, (До, Ре, Ми, Фа, Соль, Ля, Си), дал монах ГвидоД’Ареццо, живший в далекие средние века (XI век).
Монахи пели свои молитвы и одна из молитв, в которой они просили Иоанна Крестителя дать им сильный голос, стала родительницей названиям нот. Дело в том, что первый слог каждой строчки из этой молитвы стал названием одной из нот:
УТ квэнтлаксис- УТ (ДО)
РЕзонарефибрис - РЕ
МИраисторум - МИ
ФАмулитуорум - ФА
СОЛвэполлути - СОЛЬ
ЛЯбииреатум - ЛЯ
СанктэИоаннэс - СИ
В переводе это звучало так: “Дай нам чистый и сильный голос, чтобы мы могли петь о чудесах, которые ты сделал, святой Иоанн!”
Название первой ноты “УТ” было неудобно петь, поэтому чуть позже ее переиначили на “ДО” (“ДОминус” значит “Господь”).
1.3 Дроби и ноты
Мы живем в мире звуков. Люди давно научились записывать различные звуки с помощью специальных знаков. Музыкальные звуки записываются с помощью нот. Давайте определим, какая же дробь, соответствует какой ноте определенной длительности.
Нота вдвое короче целой называется половинной. С точки зрения математики, целую ноту можно принять за единицу, половинная в два раза короче, значит, половинной ноте соответствует дробь . Нота вдвое короче половинной называется четвертой. С точки зрения математики, половинной ноте соответствует дробь , а четвертая в два раза короче, значит, четвертой ноте соответствует дробь .Нота вдвое короче четвертой называется восьмой. С точки зрения математики, четвертой ноте соответствует дробь , а восьмая в два раза короче, значит, восьмой ноте соответствует дробь . Нота вдвое короче восьмой называется шестнадцатой. С точки зрения математики, восьмой ноте соответствует дробь , а шестнадцатая в два раза короче, значит, шестнадцатой ноте соответствует дробь .
Сравним длительности звучания таких нот:
и
?и
и
Так как, точетвертная больше восьмой; так как , то половинная меньше целой; так как , то шестнадцатая меньше восьмой.
Итак, в ходе проделанной работы, мы выяснили, какие бывают длительности нот, как эти длительности обозначаются, а также провели аналогию между длительностями нот и обыкновенными дробями, между сравнением длительностей нот и сравнением обыкновенными дробями.
1.4Уравнения с обыкновенными дробями и уравнения с нотами
В течение многих веков шли поиски точной наглядной системы записи музыкального произведения. Сложность фиксации музыкального текста заключается в том, что два основных свойства музыкального звука – высоту и длительность – необходимо выразить одним знаком. Такой знак получил название ноты. Длительности нот (целая, половинная, четвертая, восьмая, шестнадцатая) аналогичны обыкновенным дробям (1, , ,,). Покажем, что можно решать уравнения не только с дробями, но и с нотами.
Рассмотрим такое неравенство .
Давайте посчитаем длительность левой и правой частей выражения. Левая: 1-и-2-и. Правая: 1-и-2. Мы видим, что в правой части одной ноты не хватает. Мы сможем ее найти, как если бы мы искали неизвестное x в уравнении с обыкновенными дробями.
Xаналогично
Решаем уравнение с обыкновенными дробями:
Сравним длительности левой и правой частей. Левая: 1-и-2-и. Правая: 1-и-2-и. Видим, что длительности левой и правой частей совпадают, уравнение решили верно
Мы выяснили, что решение уравнений с нотами сводится к решению обыкновенных дробей. Зная длительность такта при отсутствии некоторых нот, мы всегда можем сказать, чему равна длительность отсутствующих нот. Отсюда, также можем сделать вывод, что длительность такта равна сумме длительностей нот, входящих в него.
1.5Простые интервалы и обыкновенные дроби
Соотношение двух музыкальных звуков по высоте называется интервалом. Выясним, как обыкновенные дроби соотносятся с количеством тонов в интервале.
Вслушиваясь в мелодию песни, можно заметить, что между каждой парой ее соседних звуков образуются различные интервалы – она течет то плавно, то делает широкие шаги в восходящем и нисходящем направлении. Каждый интервал от его основания (нижнего звука) до вершины (верхнего звука) заключает в себе определенное количество ступеней звукоряда. Самое маленькое количество ступеней содержит интервал, который называется прима. Он имеет одну ступень и 0 тонов. Две ступени содержит секунда. Секунда бывает малой и большой. Можем высчитать количество тонов у секунды малой и большой, зная, что между примой и малой секундой полтона (в математике это расстояние соответствует обыкновенной дроби ), а между секундами малой и большой тоже полтона. Значит, у секунды малой тона, а у секунды большой: , 1 тон. Аналогично терции (малая и большая), имеющие 3 ступени, отличаются на полтона: терция малая имеет тона, терция большая – – 2 тона. Кварта (4 ступени) бывает чистая и увеличенная. Чистая имеет 2,5 тона, а увеличенная имеет 3 тона. Квинта (5 ступеней) бывает уменьшенная и чистая. Уменьшенная квинта имеет 3 тона, чистая тона. Секста (6 ступеней) бывает малая (4 тона) и большая ( тона). Септима (7 ступеней) бывает малая (5 тонов) и большая ( тонов). И остался последний интервал - октава чистая, имеет 8 ступеней, 6 тонов.
Итак, исходя из тоновой величины, интервалы можно поделить на две группы. Первая – чистые интервалы: прима, кварта, квинта и октава. При увеличении на полутон (на дробь они становятся увеличенными, при уменьшении на полутон – уменьшенными. Вторая – большие и малые интервалы: секунды, терции, сексты и септимы. Малые интервалы, увеличенные на полутон, становятся большими и, наоборот, большие интервалы, уменьшенные на полутон, становятся малыми.
1.6 Решение уравнений с дробями и нотами
Нотная запись разбита вертикальными линиями на отдельные части. Каждая такая часть называется тактом.
Подсчитаем общую длительность всех нот, входящих в каждый такт
(все ответы запишем в виде дроби со знаменателем 4).
=
+ + = + = + =
+ = =
+ + + =
Как видим, в каждом случае мы получили одно и тоже число – число
Это число называется размером музыкального произведения и записывается в начале нотного стана.
+ =++ y
+ = + + + y
= + y
y = -
y =
y =
+ = + + + x
+ = + x
= + x
x = -
x=
1.7 История исследования связи музыки с математикой
Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика пронизывает музыку.
Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как утверждали древние мудрецы.
В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году: “Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.
Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: “Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольдбах ему отвечает: “Музыка – это проявление скрытой математики”.
Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета – музыку и математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.
Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки. Родился Пифагор около 570 года до нашей эры на острове Самосее. Пифагор основал науку о гармонии сфер, утвердив ее, как точную науку. Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева.
Они проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на интеллект. Он учился музыки в Египте и сделал ее предметом науки в Италии. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд - “CompendiumMusicae” в переводе “Трактат о музыке” ) , Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, ЖанД’Аламбер, Даниил Бернулли и другие.
2.Практическая часть
2.1.Интервалы и аккорды
В музыке существуют интервалы, такие как прима (1), секунда (2), терция (3), кварта (4), квинта (5), секста (6), септима (7), октава (8) – это основные интервалы. Также интервалы бывают чистыми, малыми, большими, уменьшенными и увеличенными.
Также музыка не может существовать без аккордов. Аккорд - созвучие из трёх и более музыкальных звуков разной высоты. Аккорды состоят из интервалов. Вот, например трезвучия, секстаккорды и квартсекстаккорды, все они состоят из трех звуков.
|
Трезвучия |
Секстаккорды |
Квартсекстаккорды |
|
Б53 = б.3 + м.3 |
Б6 = м.3 + ч.4 |
Б64 = ч.4 + б.3 |
|
М53 = м.3 + б.3 |
М6 = б.3 + ч.4 |
М64 = ч.4 + м.3 |
|
Ув53 = б.3 + б.3 |
||
|
Ум53 = м.3 + м.3 |
С помощью этих таблиц мы можем решать уравнения. Например:
М53 = м.3+б.3
М64 = ч.4 + м.3
Б6 = м.3 + ч.4
Ув53 = б.3 + б.3
Итак, мы видим, что аккорды в музыке строятся по сложению интервалов
2. 2 Мои исследования
Подробно изучив связь музыки и математики, мы решили проверить на практике. Взяв композицию Баха «Прелюдия №1», мы провели исследование и выявили:
1.Рассмотрим шесть тактов этого произведения.
Получили следующий ряд чисел:
1351351313513513 / 1262462412624624 / 7252452472524524 / 1351351313513513 / 1263663613636636 / 1262462412624624 /…
2. Сложим цифры – устойчивые ступени – 44, II – 2, III – 20, IV – 44, V – 17, VI – 2…
Получили ряд чисел: 44, 2, 20, 44, 17, 2.
Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр: 44 и 2.
3. Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.
Получили числа в соответствии с номерами тактов:
I. 455625 (1*3*5*1*3*5*1*3*1*3*5*1*3*5*1*3)
II. 21233664 (1*2*6*2*4*6x2x4x1x2x6x2x4x6x2x4)
III. 501760000 (7x2x5x2x4x5x2x4x7x2x5x2x4x5x2x4)
IV. 455625 (1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x3x5x1x3)
V. 136948896 (1x2x6x3x6x6x3x6x1x3x6x3x6x6x3x6)
VI. 21233664 (1x2x6x2x4x6x2x4x1x2x6x2x4x6x2x4)
Числа I и IV, II и VI тактов повторяются, следовательно, представляют математическую модель, которая имеет числовую закономерность.
Любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности. Однако, в ходе выполнения исследования, выше перечисленными способами, мною выявлено, что каждый числовой ряд имеет свою математическую закономерность (из-за разного количества нот в тактах). Таким примером является музыкальное произведение «Прелюдия № 1».
3 Анкетирование
Как вы думаете, дроби и ноты взаимосвязаны между собой?
А - да
Б - нет
2– Знаете ли вы об истории происхождения дробей?
А – знаю
Б – не знаю
В – Воздержался
3– Знаете ли вы, кто создал теорию музыки?
А – знаю
Б – не знаю
В – воздержался
Заключение
«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства» – писал Г. Нейгауз. Изучив работы ученых, мною было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики. Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг друга, музыку и математику.
Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом...
В своей исследовательской работе я научилась решать уравнения с дробями и нотами, выдвинула гипотезу о том, что любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности, и доказала что «Математика» и «Музыка» тесно связаны между собой.
Список литературы:
1.Азевич А. И. 20 уроков гармонии А. И. Азевич.- М.:1998
2.Волошинов, А.В. Математика и искусство» - М.: Просвещение, 1992
3.Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005
4. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.
5. В.П. Ковалев “Математика в музыке”. Выступление на семинаре в Московском физико-техническом институте в секции математических основ жизнеустройства, 2007
6. Холопов Ю. Н. Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.
7. Хорошо темперированный клавир: Ноты произведений на InternationalMusicScoreLibraryProject
Интернет ресурсы:
1. http://www.stonot.ru/
2. http://www.krugosvet.ru/
3. http://www.wikipedia.org/
4. http://ru.wikibooks.org/wiki