XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Лобачевский Николай Иванович и его геометрия
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цель: изучить вклад Лобачевского Николая Ивановича в сфере математики; сравнить геометрию Лобачевского и Евклида, создать модели геометрии Лобачевского.
Задачи:
Подобрать материалы Лобачевском Николае Ивановиче;
Дать представление о нем в презентации;
Выяснить, его главное открытие в сфере геометрии;
Построить модели Лобачевского;
Проблемный вопрос: Геометрия Лобачевского миф или реальность?
Гипотеза: Применяется геометрия Лобачевского в современной жизни
Методы исследования: сравнительный анализ, теоретический анализ, построение моделей.
Практическая значимость работы: Демонстрация модели геометрия Лобачевского
Введение:
Детские и юные годы
Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября 1792 г., в Нижнем Новгороде, в семье чиновника геодезического департамента, И. М. Лобачевского.
В 1802 г. поступил в Казанскую гимназию и закончил ее в 1806 г. Особенно хорошие знания он показал в области математики, а также французского, немецкого и латинского языков.
В те годы в гимназии преподавал Г. И. Карташевский. Именно
благодаря ему у Николая пробудился интерес к математике.
В феврале 1807 г. юный Лобачевский стал студентом Императорского Казанского училища.
Начало научной деятельности
Университет Лобачевский закончил в 1811 г. Получив степень магистра по физике, он был оставлен при университете. Летом 1811 г. он, совместно с И. М. Симоновым, наблюдал комету. В октябре этого же года принялся за изучение работ Гаусса и Лапласа. Это способствовало началу самостоятельных поисков.
В конце 1811 г. Лобачевский Николай Иванович представил свою работу “Теория эллиптического движения небесных тел”.
Начало научной деятельности
Университет Лобачевский закончил в 1811 г. Получив степень магистра по физике, он был оставлен при университете. Летом 1811 г. он, совместно с И. М. Симоновым, наблюдал комету. В октябре этого же года принялся за изучение работ Гаусса и Лапласа. Это способствовало началу самостоятельных поисков.
В конце 1811 г. Лобачевский Николай Иванович представил свою работу “Теория эллиптического движения небесных тел”.
Основные научные открытия
Лобачевский считал Евклидову аксиому параллельности произвольным ограничением. По его мнению, это требование было чересчур жестким. Оно существенно ограничивало возможности теории, которая описывала пространственные свойства.
Николай Иванович изменил существующую аксиому на другую. Она звучит так: “через точку, не лежащую на прямой, может проходить множество прямых параллельных с первой”.
В 1826 г. ученым было сделано устное заявление о своем открытии. После этого он опубликовал несколько трудов, посвященных этой теме.
Современники Лобачевского отнеслись прохладно к его идеям. В 1832 г. он представил свой труд “О началах геометрии”. Эта работа была отрицательно оценена М. В. Остроградским.
Пытаясь найти понимание за границей, в 1837 г. Лобачевский опубликовал свою статью “Воображаемая геометрия” в немецком журнале “Крелле”. Идеи русского ученого удалось продвинуть “королю математиков”, К. Ф. Гауссу. Заинтересованный его трудами, он даже начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с ними в оригинале.
Лобачевский сделал и иные открытия. Независимо от Ж. Данделена, он разработал метод приближенного решения уравнений. В мат.анализе им было получено несколько теорем о тригонометрических рядах. Также Лобачевский дал понятие о признаке сходимости рядов и о непрерывной функции.
Смерть
Николай Иванович Лобачевский ушел из жизни 12 (24) февраля 1856 г. В этот же день тридцать лет назад он впервые опубликовал свою теорию неевклидовой геометрии. Выдающийся русский математик был похоронен на казанском Арском кладбище.
Геометрия Лобачевского
Геометрию Лобачевского называют еще неевклидовых геометрией,
основанная на тех же посылках, что и обычная – евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на иную. Евклидова аксиома о параллельных состоит в том, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более чем одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её (в евклидовой геометрии такие прямые называют параллельными). В геометрии Лобачевского эта аксиома заменяется следующей: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её (достаточно, чтобы это было выполнено для одной точки и одной прямой). Начало этой геометрии было положено Н. И. Лобачевским, который впервые сообщил о ней в 1826. Несколько позднее эту же теорию предложил Я. Больяй; поэтому иногда называют геометрией Лобачевского – Больяя. Её также называют неевклидовой геометрией, хотя обычно термину «неевклидова геометрия» придают более широкий смысл, включая сюда и др. теории, возникшие вслед за геометрией Лобаческого., а также теории, основанные на изменении посылок евклидовой геометрии. Иногда ее называют гиперболической.
С современной точки зрения можно дать, например, следующее определение геометрии Лобачевского на плоскости: геометрия Лобачевского есть геометрия внутри круга на обычной (евклидовой) плоскости, лишь выраженная особым способом. Именно, внутренность круга, т. е. круг за исключением ограничивающей его окружности, называют «плоскостью»(Приложение рис.1). Точкой «плоскости» является точка внутри круга. «Прямой» называют любую хорду с исключёнными концами (т. к. окружность исключена из «плоскости»); «движением» – любое преобразование круга самого в себя, которое переводит хорды в хорды. Равными называются фигуры внутри круга, которые можно перевести одну в другую такими преобразованиями. Оказывается, что любой геометрической факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь не выполняется, т. к. через точку O, не лежащую на данной хорде (т. е. «прямой»), проходит сколь угодно много не пересекающих её хорд («прямых».) Аналогично геометрия Лобачевского в пространстве может быть определена как геометрия внутри шара, выраженная в соответствующих терминах («прямые» – хорды, «плоскости» – плоские сечения внутренности шара, «равные» фигуры – те, которые переводятся одна в другую преобразованиями, переводящими шар сам в себя и хорды в хорды). Таким образом, геометрия Лобачевского имеет совершенно реальный смысл и столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.
Геометрия Лобачевского изучает свойства плоскости Лобачевского в планиметрии и пространства Лобачевского в стереометрии. Плоскость Лобачевского – это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии (а также движения фигур, расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется сформулированной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовывались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии геометрии Лобачевского. В 1868 Э. Бельтрами заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера (Приложение рис. 2). Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставить точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению плоскости Лобачевского сопоставить перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, т. е. деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. Таким образом, геометрия Лобачевского получает простой реальный смысл (интерпретация Бельтрами). При этом длины, углы, площадипонимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере, однако здесь даётся интерпретация только геометрии на куске плоскости Лобачевского, а не на всей плоскости и тем более не в пространстве. В 1901 Д. Гильберт доказал, что в евклидовом пространстве не может существовать регулярной поверхности, геометрия на которой совпадает с геометриейвсей плоскости Лобачевского.
Возможно чисто аналитическое определение модели геометрии Лобачевского Напр., точки плоскости можно определять как пары чисел, прямые можно задавать уравнениями, движения – формулами, сопоставляющими точкам новые точки. Это абстрактно определённая аналитическая геометрия на плоскости Лобачевского, аналогичная аналитической геометрии на евклидовой плоскости. Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии и тем самым фактически наметил такую модель, хотя полное её построение выяснилось уже после того, как на основе работ Ф. Клейна и др. выявилось само понятие о модели.
Содержание геометрии Лобачевского
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к которой относятся, напр., теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др. разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрий. Ниже перечислены несколько фактов геометрии Лобачевского, установленных самим Н. И. Лобачевским, которые отличают её от геометрии Евклида.
1) В геометрии Лобачевского не существует подобных, но не равных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, напр., сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2) Сумма углов всякого треугольника меньше π и может быть сколь угодно близкой к нулю. Разность π−(α+β+γ)π−(α+β+γ), где α,β,γ – углы треугольника, пропорциональна его площади.
3) Через точку O, не лежащую на данной прямой a, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих a и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b и b', которые называются параллельными прямой a в смысле Лобачевского.
4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают др. прямой.
5) Линия равных расстояний от прямой есть не прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой или гиперциклом.
6) Предел бесконечно растущих окружностей есть не прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью или орициклом.
7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса есть не плоскость, а особая поверхность – предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это послужило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее, чем радиус.
9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше метрических соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Напр., чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π, чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2π, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.
Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного Л. г. помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с Л. г. здесь была отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи». Л. г. находит применение также в теории чисел, в её геометрич. методах, объединённых под назв.геометрия чисел. Установлена связь Л. г. с кинематикой частной теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света
|
Евклидова аксиома о параллельных |
Аксиома Лобачевского о параллельных |
|
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит полько одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. |
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. |
Вывод: Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме – пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства.
Применение геометрии Лобачевского в реальной жизни:
В наши дни геометрия Лобачевского используется в космонавтике для прокладывания дальних маршрутов, вычисления траектории полета, в современной физике и во многих других естественных науках.
Хотелось бы остановиться на эволюции принципа относительности в физике и её связи с геометрией.
Теория относительности – теория, описывающая универсальные пространственно-временные свойства физических процессов. Галилео Галилей, а впоследствии и Исаак Ньютон считали, что если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно) движется относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым. То есть одинаковые опыты протекают одинаково и при разных пространственно-временных условиях. При таком принципе справедлива геометрия Евклида(пространство трехмерное, кривизна пространства-времени не учитывается и скорость движения не сравнима со скоростью света(мала)).До открытия электродинамики, то есть до XIX века, этот принцип мог считаться верным, так как необходимые условия соблюдались(изучаемые тела двигались на малых по сравнению со скоростью света скоростях, у изучаемого пространства кривизна была нулевая).
В электродинамике, открытой как раз в XIX веке, скорости движения частиц были гораздо больше. Назрела необходимость переосмысления принципа относительности.
Бернхард Риман, а за ним и Кингдон Клиффорд предположили, что некоторые физические явления обусловлены кривизной пространства, то есть одинаковые явления в разных условиях(при различной кривизне) могут протекать по-разному.
Не буду углубляться в историю физики. Скажу лишь, что эта гипотеза нашла окончательное обоснование в теории относительности Эйнштейна, в которой пространство было уже четырехмерным(четвертой мерой являлась кривизна пространства-времени) и соответственно эта теория не могла существовать без геометрии Лобачевского аксиомы Лобачевского выполнялись.
При помощи теории относительности были объяснены законы движения небесных тел, явление гравитации, возникновение черных дыр, движение частиц и многое другое. И все это было бы невозможно без геометрии Лобачевского.
Мифы о геометрии Лобачевского и их опровержение:
Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой.
Не правда. Четыре постулата Евклида в данной геометрии оставлены без изменений. Лобачевский не согласен лишь с пятым, ложность которого была им успешна доказана.
Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются.
Это не так. Пятый постулат Лобачевского звучит так: "На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную". В нем не идет речь о пересекающихся прямых. В этом постулате лишь сказано, что существует более, чем одна прямая, проходящая через точку, не лежащую на прямой, и не пересекающая её. Это заблуждение появилось из-за незнания теории великого российского математика.
Миф третий. Геометрия Лобачевского - единственная неевклидова геометрия.
Это также неверно. Неевклидовых геометрий довольно много. Кроме геометрии Лобачевского есть также геометрия Римана, описывающая пространство с положительной кривизной(на сфере).Вот в ней параллельные прямые пересекаются. Как пример можно рассмотреть глобус. Меридианы параллельны, но сходятся у полюсов. Вместе теории Евклида, Лобачевского и Римана называют "три великих геометрии".
Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни.
Современная наука считает, что геометрия Евклида- частный случай геометрии Лобачевского и что реальный мир можно описать точнее лишь при помощи детища нашего соотечественника. Сильнейшим толчком к дальнейшему развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта Эйнштейна, которая показала, что само пространство нашей Вселенной не является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Но ,несмотря ни на что, Лобачевский всю жизнь считал свою геометрию «воображаемой», нереальной.
Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию.
Это не совсем так. Венгр Янош Бойяи немец Карл Ф. Гаусс пришли к подобным выводам одновременно с Лобачевским, но по разным причинам не были замечены широкой публикой. Поэтому Николай Иванович считается первым создателем геометрии, отличной от евклидовой. Но есть теория, согласно которой Евклид сам создал геометрию, отличную от своей первоначальной, самокритично опровергая 5 постулат. Подтверждением сторонники этой теории считают то, что многие теоремы Евклид доказал, не
используя V постулат.
Создание моделей Лобачевского.
От теории мы бы хотели перейти к практике, и хотим рассказать о том, как мы создавали данные модели Лобачевского:
1) на основу из узких бутылочных горлышек приклеиваем коричневые рейки. Между ними остаётся просвет, который будет заполнен позже. На нижнюю часть горлышка приклеиваем нарезанные толстые белые рейки по окружности, после чего поверх приклеиваем ещё одну коричневую рейку. (Рис.1)
Заполняем просвет по форме нарезанными коричневыми рейками и покрываем лаком.
2) из двух горлышек бутылки создаём каркас. Покрываем его с верху в низ коричневыми рейками. После же приклеиваем спиралью тонкие белые рейки (Рис.2). Зачищаем наждачной бумагой и покрываем лаком.
2) По аналогии 1 фигурой обклеиваем два бутылочных каркаса коричневыми рейками с верху вниз. У обеих заготовок остаются просветы которые заполним позже. Склеиваем два каркаса и на стыках склеивания с помощью толстых реек приклеенных по окружности делаем возвышение. Соединяем коричневые рейки так чтобы они образовывали угол(Рис.3)
Покрываем лаком.
Основные сложности фигур: изогнутые формы, недостаток эластичности некоторых материалов (наподобие бумаги) и невозможность их использования
Заключение:
Мы изучили вклад Лобачевского Николая Ивановича в сфере математики; сравнили геометрию Лобачевского и Евклида, создали модель геометрии Лобачевского.
С поставленными задачами справились. Убедились, что геометрия Лобачевского это реальность.
Открытие Лобачевского поставило перед наукой по крайней мере два принципиально важных вопроса, не поднимавшихся со времен "Начал" Евклида: "Что такое геометрия вообще? Какая геометрия описывает геометрию реального мира?". До появления геометрии Лобаческого существовала только одна геометрия - евклидова, и, соответственно, только она могла рассматриваться как описание геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующее развитие науки. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений.
Создание и разработка геометрии Лобачевского поставили вопрос об исследовании всей структуры системы аксиом, как евклидовой геометрии, так и других возникающих к этому времени геометрий и выяснение независимости этих аксиом друг от друга.
Выдающийся вклад Николая Лобачевского в различные математические области были признаны как на родине гения, так и за рубежом.
В наши дни геометрия Лобачевского используется в космонавтике для прокладывания дальних маршрутов, вычисления траектории полета, в современной физике и во многих других естественных науках.
Список литературы:
1. Лаптев Б.Л., Великий русский математик, "Вестник высшей школы", 1967, № 12 - с. 8-11;
2. Лобачевский Н.И., Сочинения по геометрии, М. - Л., 1946 - 49 (Полн. собр. соч., т. 1 - 3) - с. 59, 72-78 ;
3. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956- с. 7-19;
4. Каган В.Ф. Геометрия Лобачевского и ее предистория, М. - Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1) - с. 142-158;
5. В.С. Антонов "Энциклопедия по истории России XIX века".
6. А.М. Прохоров "Энциклопедический словарь" - с. 163-167.
7. Лаптев В.И. Жизнь и деятельность Н.И. Лобачевского // Успехи математических наук. - М., 1951. - Т. 6. - № 3 (43). - с. 10-17.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис.1 Рис.2
Н.И.Лобачевский