Вневписанная окружность

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Вневписанная окружность

Щербинина Е.Ю. 1
1МАОУ «Образовательный центр имени Героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны»
Шатова О.Р. 1Затеева В.П. 1
1МАОУ "Образовательный центр имени Героя Советского Союза Расковой Марины михайловны"


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Актуальность темы.

Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов, выпускников, участников математических олимпиад.

В большей части заданий термин «вневписанная окружность» не фигурирует, а появляется как вспомогательная фигура, именно поэтому объект исследования решать различные геометрические задачи.

Данная работа выходит за рамки школьной программы и будет полезна учащимся, интересующимся геометрией, для учащихся специализированных классов или для участников олимпиад.

Цели и задачи проекта:

Цели :

1. Дать определение вневписанной окружности треугольника.

2. Рассмотреть свойства вневписанных окружностей треугольника.

3. Показать применение свойств вневписанной окружности, как вспомогательного объекта при решении задач на доказательство, построение и вычисление.

Задачи:

Изучить математическую литературу по данной теме.

- Систематизировать свойства вневписанной окружности.

- Рассмотреть решение задач.

- Подготовиться к сдаче ОГЭ и ЕГЭ, а также к участию в различных олимпиадах.

История возникновения и развития геометрического понятия “окружность”.

Круг и окружность – одни из самых древнейших геометрических фигур, философы древности придавали им большое значение. Круг – воплощение нескончаемого Времени и Пространства, символ всего сущего, Вселенной.

“Из всех фигур прекраснейшая – круг”, – считал Пифагор.

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, похожие на шар. Специальных названий для геометрических фигур, не было. Говорили: “такой же, как кокосовый орех”. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими фигурами.

Математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод правил, проверенных практикой.

В Древней Греции все разрозненные знания привели в систему, геометрия стала бурно развиваться как наука. «Окружность” и “круг” получили свои названия.

В Древней Греции круг и окружность считали венцом совершенства. “В каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе”. Это свойство окружности стало толчком к возникновению колеса .

В русский язык слово круг пришло через латинский язык: Круг – “циркулус”, от него же и “циркуль”, без которого бы мы не построили круг.

Окружность и её виды:

Окру?жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом. Окружность разбивает плоскость на две части — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю.

Определение вневписанной окружности.

Вневписанная окружность – окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.

У любого треугольника существует три вневписанных окружности.

Дано:

АВС

Окр. (О; r)

М, N, К – точки касания

Доказать: О - точка пересечения биссектрис угла В,

угла КАС и угла NCA.

Решение:

Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС.

Ч.т. д.

Дано:

АВС

Вневписанная окр. (Оа; ra )

Доказать: АВ1 = АС1 = p

Доказательство:

Т.к. О - центр вневписанной

окружности. Касательные,

проведенные к окружности из

одной точки, равны между собой, поэтому ВВ1 = ВА1 ,

СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.

Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1

т.е. АВ1 = АС1 = p.

Д ано:

? АВС

Вневписанная окр. (Оа ; ra)

Доказать:

ra = ptg

Решение:

В прямоугольном треугольнике А Оа С1

raи p – длины катетов, угол Оа А С1

равен, поэтому ra = ptg.

Доказательство:

Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:

Значит,

Доказательство:

Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника:

Доказательство:

Воспользуемся формулами, ранее доказанными, нахождения радиусов через стороны и площадь треугольника:

Доказательство:

Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона:

Доказательство:

Из rarbrc= rp2 = rp × p = Sp.

Следовательно:

Задача №1

Задача №2.

Постойте треугольник по периметру и двум углам.

Дано: Р = 12, угол А =30°, угол В = 45°.

Построение:

1. АК = р = 6.

2. Угол А= 30°

3. ОКАК

4. Биссектриса А.

5. Окр. (О;R), R = ОК

6. Угол В1

7. ВС||В1F, при этом ВС – касательная.

8. DАВС – искомый.

Доказательство:

1. А = 30°, В = 45° по построению.

2.р=АК = АL= 6 по свойству вневписанных окружностей.

3. Р = АК + АL = 12.

Доказано.

Задача №3.

В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает две большие стороны. Найти периметр отсеченного треугольника.

Дано:

?АВС

Окр.(О;R) – вписанная

ВС = 6; АВ = 10 ; АС = 12

LK – касательная

Найти:

Р?АКL

Решение:

1. Окр.(О;R) является вневписанной для ?АКL.

2. По теореме №2: Р = АG + АМ.

3. GC = CF, FB = MB.

4. Значит МВ + GС = ВС.

5. Р = АВ + АС – ВС

Р = 10 + 12 – 6 = 16.

Ответ: 16.

Задача №16 из варианта ЕГЭ

Заключение.

В заключение хочется еще раз сказать, что геометрия начинается с треугольника. Треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии.

А изящество и красота применения окружности создают ощущение ее элитарности. К сожалению, в школьной программе этой фигуре уделяется незначительное время и внимание. А про вневписанную окружность и не упоминается.

В своей работе я проиллюстрировала связь вневписанной окружности с основными элементами треугольника (между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника) и показала применение выявленных свойств к решению задач различного типа.

Данная работа может быть использована на уроках геометрии в школах, на занятиях математического кружка, факультативах, при решении конкурсных задач, при подготовке к экзаменам и олимпиадам.

Литература

1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов. Геометрия. Доп. Главы к учебнику 8 кл., Учеб. Пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Издательство « Вита- Пресс» 2002. Стр. 161-167.

2.Гордин Р.К. ЕГЭ 2014. Решение задачи С4. – 3-е изд. доп. – М.: МЦНМО, 2014. – 448

3. Прокофьев А.А., Корянов А.Г . Вневписанные окружности прямоугольного треугольника.2014 г

Интернет – ресурсы.

- www.mathege.ru – Математика ЕГЭ 2014 (открытый банк заданий).

- http://reshuege.ru – Решу ЕГЭ, Образовательный портал для подготовки к экзаменам.

- http://zadachi.mccme.ru – Информационно-поисковая система «Задачи по геометрии»

Просмотров работы: 188