Различные способы доказательства теоремы Пифагора

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Хисматуллина Э.А. 1
1МБОУ "СОШ №18" г.Салавата
Сергеева Л.И. 1
1МБОУ "СОШ №18" г.Салавата


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свиде­тельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Эта теорема формулировалась по-разному и появлялась в разных местах земного шара и в разное время. А объяснить и доказать эту теорему смог только Пифагор.

Узнав о том, что существует очень много доказательств теоремы Пифагора, я заинтересовалась этим и решила изучить теорему Пифагора.

Цель исследования:

Показать универсальность теоремы, рассмотрев различные способы доказательства;

Показать практическое ее применение в наше время.

Проблема состоит в рассмотрении интересных способов доказательства теоремы Пифагора и умению ее применять при решении задач.

В соответствии с целью, проблемой, объектом и предметом исследования были поставлены следующие задачи:

Рассмотреть различные способы доказательства теоремы;

Обосновать необходимость применения теоремы в повседневной

жизни.

Основная часть:

1.Биография Пифагора Самосского

Пифагор родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню. Сведения о его матери не сохранились. Родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил незаурядные способности. Увлекался музыкой и поэзией, был победителем олимпийских игр по кулачному бою. Неугомонному воображению Пифагора стало тесно на маленьком острове. Мудрый Ферекид – один из учителей Пифагора однажды сказал: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать – только так ты утолишь жажду познаний. Помни: путешествие и память – суть да средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости».

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Под его руководством Пифагор изучает математику и небесную механику. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Это несчастье сыграло счастливую роль в судьбе Пифагора: вавилонская математика была передовой наукой того времени, и у халдейских мудрецов было чему поучиться. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками.

В конце V в. до н.э. после неудачного выступления на политической арене пифагорейцы были изгнаны из городов Южной Италии, и их союз распался. Пифагорейцы бежали из Кротона в другие города, что во многом способствовало распространению учения Пифагора по всей Греции и даже за её пределы. Сам Пифагор удалился в город Метапонт, расположенный неподалеку от Кротон, где провел остаток своей жизни.

Смерть Пифагора также окружена красивыми легендами:

- по одной из них, в Кротоне, где Пифагор собирался со своими учениками, был подожжен. Преданные друзья бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам вышел из огня, как по мосту. Друзья погибли, а сам Пифагор, будучи спасенным столь дорогой ценой, так затосковал, что лишил себя жизни. Умер Пифагор около 500 г. до н.э.;

- по другой – он был убит злоумышленниками в окрестностях города;

- по третьей – он скончался в храме после сорокадневного голодания.

2.О теореме и ее формулировках

И сторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге.

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons asinorum- ослиный мост или elefuga – бегство убогих, так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучивали теоремы наизусть без понимания и прозванные поэтому «ослами», не были в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непроходимого моста. В связи с чертежом, сопровождающим доказательство Евклида, и другими, ему подобными, теорему Пифагора учащиеся называли также «ветряной мельницей», рисовали карикатуры вроде тех, которые воспроизведены на рисунке:

Рассмотрим различные формулировки теоремы Пифагора:

1.У Евклида эта теорема гласит:

«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

2. В русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

3. В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так:

«Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

4. Латинский перевод арабского текста Аннаирици(около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

5. Алгебраическая формулировка:

«В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов».

6. Теорема, обратная теореме Пифагора:

«Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c».

3.Доказательства теоремы Пифагора

Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство теоремы, носящей его имя. От этого доказательства не сохранилось никаких следов. Я приведу несколько способов доказательства теоремы Пифагора «квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов»:

Простейшее доказательство теоремы

Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана.

Алгебраический метод доказательства

На рисунке иллюстрируется доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!

Действительно, если расположить 4 равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке, и подсчитать сумму их площадей и площади внутреннего квадрата, то получим а2+b2. А это равно площади большого квадрата:с2 : c2 = 4*1/2*ab + (ba)2;
c2 = 2ab + b2 – 2ab + a2; c2 = a2 +b2.

Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.

Доказательство через подобные треугольники

П усть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам: прямой угол и общий угол А. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC по двум углам: прямой угол и общий угол В. Введя обозначения

BC = a, AC = b, AB = c

Получаем .

Отсюда следует: a2 = c HB; b2 = c  AH.

Сложив, получаем a2 + b2 = c (HB + AH) = c2, или a2 + b2 = c2.

Доказательство Мёльманна

Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна

с другой где p – периметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности

Имеем:

,

,

,

,

откуда следует, что c2=a2+b2.

Доказательство Гарфилда

Н а рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции

, либо как сумму площадей трех треугольников .

,

или .

Доказательство Эпнштейна

П реимуществом этого доказательства является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.

Доказательство через равнодополняемость

Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.

Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со

стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

.

 

 

4.Применение теоремы Пифагора

Т еорема Пифагора издавна широко применялась в разных сферах деятельности и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель - моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые пользовались этим отношением для определения прямых углов при построении зданий, т.е. теоремой, обратной теоремеПифагора. «Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный». Да и поныне строители, плотники, закладывая фундамент дома, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно и в Мексике.

Покажем, как применяется в задачах теорема Пифагора.

Строительство крыши

В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении).

Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.

Р ешение:

Треугольник ADC – равнобедренный, AB=BC=4 м, BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:

а) Из треугольника DBC: DB=2,5м

б) Из треугольника ABF: AF =  6 + 16 = 32  4,7
Ответ: 4,7 м и 5,7 м.

Телевидение. Останкинская телебашня

Теорема Пифагора о прямоугольном треугольнике находит применение и в современных сферах жизни человека, таких как телевидение.

Зная высоту Останкинской телебашни и радиус земли, можно вычислить радиус зоны покрытия, и наоборот. Представим радиус зоны покрытия (r) и радиус земли ( R) как катеты, гипотенузой в этом случае нам послужит сумма радиуса земли ( R) и высоты телебашни ( h ).

По теореме Пифагора получаем формулу (R+h)2=R2+r2

Высота Останкинской телебашни составляет 540 метров, средний радиус земли 6371 км, радиус зоны покрытия можно найти по формуле:

r2=(R+h)2-R2 ;

r2=2Rh+h2 ;

r2=2*6371*0,54+0,29=6880,97 км; r=82,95 км.

Таким образом, радиус вещания Останкинской телебашни должен составлять 83 км. На сайте Википедии (http://ru.wikipedia.org/wiki/Останкинская_телебашня) говорится, что реальный радиус вещания зависит еще от Частотного канала и Мощности (кВт) и равен от 60 до 120 километров, видно из таблицы. Значит мои вычисления верны.

Применяя теорему Пифагора я вычислила радиус вещания Останкинской телебашни и потом сравнила с данными которые взяла с сайта Википедии. Мои вычисления совпадают с данными таблицы. Значит, применяя теорему Пифагора можно вычислить радиус вещания Останкинской телебашни.

Телеканал

Частотный канал

Мощность (кВт)

Покрытие (км) 

Первый канал

1

40

115

ТВ Центр/3 канал

3

40

120

Россия-2

6

1

60

НТВ

8

40

105

Россия-1

11

60

120

Перец (телеканал)

23

10

65

Итак, в XXI веке теорема Пифагора приобретает новый смысл. Её применяют в различных сферах современной жизни. Например, в компьютерных технологиях, в телевидении, при необходимости определения радиуса видимости маяка из воды, зоны покрытия мобильной связи и т.д. Этот факт доказывает актуальность теории Пифагора и на сегодняшний день.

Задача индийского математика ХII века Бхаскары

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Решение:

1) АВС-прямоугольный по т. Пифагора

АВ2=АС2+СВ2

АВ2=32+42

АВ2=25

АВ=5 (см)

2) По условию задачи АВ=DB

CD=СВ+АВ

CD=3+5=8 (см)

Ответ: 8см

Занимательная задача

Упоминается теорема Пифагора и в произведениях наших русских писателей. Так, у Льва Николаевича Толстого есть занимательная задача.

Смысл этой задачи таков: одному человеку – некоему Пахому башкиры предложили приобрести землю, но на определенных условиях. Пахом должен был заплатить 1000 рублей, затем оббежать за день какое - то количество земли и обязательно вернуться назад, к тому месту, от которого начал бег до рассвета. Если же Пахом не возвратиться, то его деньги останутся у башкир. Если же вернется, то ему отдадут всю землю, которую он оббежал. Как же поступил Пахом? Сначала он пробежал 10 верст, затем повернул так, что угол этот равен был 90 градусам и пробежал еще несколько верст. Снова повернув на 90 градусов, Пахом пробежал еще 2 версты. И, наконец, повернув еще раз, пробежал 17 верст и достиг того места, от которого бежал. Сможем ли мы узнать площадь той фигуры, которую обежал Пахом?

Решение:

Начертим маршрут Пахома:

AB – это часть пути Пахома, равная 10 верстам, BC – эта неизвестный отрезок пути, CD – 2 версты, DA – 17 верст. Проведем из точки D перпендикуляр к прямой AB. Тогда у нас получится прямоугольный треугольник AED, но мы знаем, чему равны его катет и гипотенуза, значит, по теореме Пифагора мы можем найти ED. Так как в прямоугольном треугольнике AED AE равно 8, а AD равно 17, то по теореме Пифагора найдем катет

.

Найдем площадь фигуры, которую оббежал Пахом. Она равна площади трапеции ABCD, состоящей из прямоугольника EBCD и прямоугольного треугольника AED:

S=2 15+ 0, 5 8 15 = 90 кв. верстам. Мы решили задачу Л. Н. Толстого.

Заключение

В данной исследовательской работе объектом исследования стала теорема Пифагора.

В теоретической части работы я привела различные способы доказательства теоремы. Разносторонний подход к доказательству теоремы повышает интеллектуальный уровень развития учащихся, учит использовать различные приемы доказательств, такие как: алгебраический метод доказательства, доказательство через равнодополняемость, доказательства методом достроения, доказательства методом разрезания. Рассмотрение одного объекта с «разных» позиций способствует логическому развитию мышления учащихся.

Теорема Пифагора является основным инструментом при геометрических вычислениях. Я показала решения как исторических задач, так и современных. Этим самым доказала огромную практическую значимость теоремы Пифагора.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии.

Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях.

Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

Работа может быть использована как на уроках геометрии, как и при проведении внеклассных уроков, так как содержит разносторонний математический и исторический материал, направленный на расширение сферы математических знаний учащихся и общекультурный кругозор.

Используемая литература:

Глейзер Г.И. История математики в школе, VII-VIII классы. М.: Просвещение, 1982

Литцман В. Теорема Пифагора. М.: 1960, 117с.

(http://ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm)

Ризванова Х.Я. Книга для внеклассного чтения по математике. Уфа: Китап, 1998, 176с.

Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1989, 352с.

Хинн О.Г. Я познаю мир. Математика. М.: АСТ, 1998, 480с.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора

http://th-pif.narod.ru

http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

http://www.math.com.ua/articles/theorem_pifagor.html

http://ru.wikipedia.org/wiki/Останкинская_телебашня

http://ru.wikipedia.org/wiki/Земля

Просмотров работы: 112