XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение задач ЕГЭ с помощью построения графиков сложных функций
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Предмет исследования: построение графиков сложных функций.
Объект исследования: сложные функции.
Цель исследования: изучение методов построения графиков сложных функций и их использование при решении задач ЕГЭ.
Задачи исследования:
рассмотрение построения графиков сложных функций элементарными методами
изучение алгоритма построения графиков сложных функций методами дифференциального исчисления
использование данного алгоритма при решении задач ЕГЭ (на конкретных примерах)
Методологическую базу составилиметоды построения графиков сложных функций.
Математические функции — это не что-то выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве науки. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.
Функции и их графики – одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Умение строить графики функций необходимо при решении задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Во многих задачах график является лишь вспомогательным элементом решения, что лишний раз подчеркивает необходимость исследования методов его построения.
В работе рассматривается построение графиков функций без помощи производных, с помощью производной, путем преобразования графиков известных функций, а также решение задач ЕГЭ с их помощью. В качестве примеров нами были использованы задания из письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов страны. Данная тема представляется для нас интересной, так как построение графиков функций предложенными методами будет необходимо при решении задания № 18 на ЕГЭ.
Основная часть
1. Построение графиков сложных функций элементарными методами
Функцию можно изображать геометрически с помощью графика. График функции – это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты – соответствующими значениями функции y. [1]
Из школьного курса математики нам известен алгоритм построения графиков функций без помощи аппарата производных, а также с использованием последовательных геометрических преобразований уже известных графиков.
Существует всего пять типов элементарных функций: степенные (к этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, , , . Все они содержат выражения вида ); показательные (это функции вида ); логарифмические ( ); тригонометрические (в их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы); обратные тригонометрические (они содержат , , , ).
Общая схема построения графика функции:
1. Область определения функции.
2. Область значений функции.
3. Четность – нечетность (если есть).
4. Периодичность (если есть).
5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат).
6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).
7. Асимптоты (если есть).
8. Поведение функции в бесконечности.
9. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.[7]
10. Исследование на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
1.1. Построение графиков функций без помощи производных
Рассмотрим алгоритм построения графиков сложных функций без применения производной на примере функции вида и .
Алгоритм построения графиков таких функций следующий:
1) Найти область определения функции или ;
2) Разбить функцию на две: или и или ;
3) Построить график функции или и отметить особые точки (точки пересечения с осями координат, промежуточные точки);
4) Произвести заданные операции над ординатами выбранных точек, то есть вычислить значения или ;
5) Нанести полученные точки на рисунок, так чтобы ось z и ось y лежали на одной прямой, соединить отмеченные точки плавной линией.
Пример. Построить график функции без применения производной .
Решение:
1. Область определения функции , – не существует, значит – точка разрыва.
2. Найдём односторонние пределы функции:
Вычислим левосторонний предел в точке:
Вычислим правосторонний предел в точке:
Значит, точка – точка разрыва II рода.
3. Найдём пределы функции на бесконечности:
Строим график функции по результатам исследования [8]:
1.2. Построение графиков путем преобразования графиков известных функций
Такая тема как построение графиков путем преобразования графиков известных функций зачастую выпадает из школьной программы, из-за чего многим старшеклассникам сложно решать задачи с параметрами. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Рассмотрим основные преобразования графиков функций. В данном случае возможности построения графиков ограничены, так как такого рода преобразования применимы не ко всем функциям.
Сначала рассмотрим сдвиг графиков по осям OX и OY. [7]
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и , тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и – некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на вверх. График функции сдвинут относительно исходного на вниз.
Теперь рассмотрим растяжение графика или сжатие. [7]
Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и . Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если .
Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и . Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если .
И, наконец, отражение по горизонтали и по вертикали.
Отражение по горизонтали
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
2. Построение графиков сложных функций методом дифференциального исчисления
2.1. Построение графиков функций с помощью производной
Производная функции обозначается . Покажем, как найти с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого – тангенс угла наклона касательной. Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
В качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси OX (касательная к графику функции – это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком).
Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника AMN:
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.
Есть и другое важное соотношение.
Прямая задается уравнением .
Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.
Мы получаем, что
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной. Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других – убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке A функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.
В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция возрастает, ее производная положительна.
Если убывает, ее производная отрицательна.
Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка C – точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке C с «плюса» на «минус».
В точке D – точке минимума – производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
На основании этого можно сделать вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует:
Если производная положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и, при переходе через эту точку слева направо, меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс», при переходе через эту точку слева направо.
Здесь необходимо сделать небольшое уточнение, которое понадобится при решении задач ЕГЭ.
Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:
В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала – и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется – она как была положительной, так и осталась. [7]
2.2. Задачи ЕГЭ и их решение предложенными методами.
В сборнике «ЕГЭ. Математика: профильный уровень» под редакцией И.В. Ященко под номером 18 предлагаются следующие задачи [2]:
Пример: Решить уравнение .
Решение: Заданное уравнение удобно решать графическим методом. Рассмотрим графики функций и
Графиком функции является «уголок» с вершиной в точке , стороны которого с осью образуют углы 45?. Функция на координатной плоскости образуетсемейство парабол с вершиной в точке .
Тогда решениями заданного уравнения при каждом фиксированном значении параметра абудут абсциссы точек пересечения графиков, указанных выше функций.
1 случай
Если , то парабола или проходит через точку – точку пересечения прямых и .
2 случай
Если , то парабола будет пересекать только прямую .
При этих значениях корнями исходного уравнения будут корни уравнения
или
3 случай
Если , то один из корней заданного уравнения – это меньший корень уравнения , то есть
А второй корень – больший корень уравнения
4 случай
Если , то имеем , откуда
5 случай
Если , где – это такое значение параметра а, при котором парабола касается прямой .
Тогда рассматриваемое уравнение имеет корни
,
6 случай
Если , где – значение параметра а, при котором парабола касается прямой . В этом случае наше уравнение имеет корни
7 случай
Если , то графики функций не пересекаются. Следовательно, заданное уравнение корней не имеет.
Ответ:
если , то
если , то ,
если , то ,
если , то ,
если , то
если , то решений нет.
Заключение
Принаписанииработыпо теме исследования была изучена специальная литература, рассматривающая различные методы построения графиков сложных функций.
При решении задач исследования, в работе были проанализированы методы построения графиков сложных функций, изучаемые на уроках математики в средней школе, а также рассмотрено применение построения графиков функций без помощи производной при решении задач ЕГЭ на конкретных примерах.
Таким образом, задачи, поставленные в исследовании, решены, цель достигнута.
На основании проведённых исследований можно сделать вывод о том, что выпускнику школы и будущему абитуриенту безусловно необходимо владение различными методами построения графиков функций, что помогает при решении задач ЕГЭ выбрать именно те методы, которые значительно упрощают задачу.
Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных результатов при решении задач на экзамене по математике.
В дальнейшем, нам представляется целесообразным, более подробно рассмотреть другие методы построения графиков сложных функций, в частности, построение графика функции по результатам её исследования и с помощью асимптот.
Библиографический список:
Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль, Э. Э. Функции и графики (основные приемы) – М.: МЦНМО, 2006. – 120 с.
ЕГЭ. Математика: профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2020. – 254 с.
Шахмейстер А. Х. Построение графиков функций элементарными методами. – СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс»: М.: МЦНМО, 2011. – 184 с.
Шагин В.Л., Соколов А.В. Теория. Задачи. Решения. Ответы. Функции и графики. – М. Вита-Пресс, 2007. – 176 с.
Интернет-ресурсы:
https://pandia.ru/text/77/372/30936.php
http://www.matp4.ru
https://ege-study.ru/preobrazovanie-grafikov-funkcij/
http://matematiku5.ru/postroit-grafik-funkcii-bez-primeneniya-proizvodnoj/
7