Применение барицентрического метода к решению математических задач

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Применение барицентрического метода к решению математических задач

Казакова Е.А. 1
1ГБОУ СОШ №1 "ОЦ" с. Кинель-Черкассы
Зимовец Т.И. 1
1ГБОУ СОШ №1 "ОЦ" с. Кинель-Черкассы


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

С методом центра масс я познакомилась на уроках физики. Он меня очень заинтересовал, и я решила подробнее изучить возможности его практического применения. Из научных публикаций и электронных ресурсов Интернет узнала, что метод центра тяжести (барицентрический метод) широко используется во многих областях науки и техники, в строительстве, архитектуре, спорте, цирке, быту. Меня особенно заинтересовало его применение в математике, поскольку этот метод позволяет сравнительно просто решать изрядное число трудных математических задач и эти решения часто очень наглядные.

Актуальность моей работы состоит в том, что изучаемый метод даёт возможность решать задачи по математике, в том числе повышенного уровня сложности, с применением нестандартного, не изучаемого в школьном курсе математики метода доказательств теорем, свойств и формул, повышающих мои шансы и шансы моих одноклассников на успех при решении задач. Данная методика значительно упрощает решение задач практического характера.

Цель работы – исследование возможности применения барицентрического метода при решении геометрических, алгебраических и практических задач.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

ознакомиться с историей открытия барицентрического метода;

изучить теорию вопроса «Центр масс»;

ознакомиться с готовыми решениями задач, приведенными в моих школьных учебниках и справочной литературе;

показать, что физических представлений понятия центра масс достаточно, чтобы решать ряд задач, изучаемых в школьном курсе математики;

провести исследование, направленное на определение области применения барицентрического метода при решении физических и математических задач школьного и повышенного уровня сложности, а так же для решения практических задач;

создать тематический сборник задач для старшеклассников по данной теме.

Гипотеза исследования применение барицентрического метода значительно упрощает решение многих геометрических, алгебраических и практических задач.

Объект исследования – физические, математические и практические задачи школьного и повышенного уровней сложности; технические характеристики детских спортивных площадок и их оборудования.

Предмет исследования – барицентрический метод, задачи и теоремы, к которым можно применить этот метод, возможность применения метода барицентра к определению центра тяжести плоских фигур и исследованию условий безопасного использования детского спортивного снаряда.

Методы исследования – наблюдение, измерение, сравнение, анализ результатов исследования.

Практическая значимость работы заключается в полученных знаниях и овладении методом, который позволяет более просто и наглядно решить некоторые математические задачи, задачи практического характера, а также в создании тематического сборника задач, для старшеклассников, увлекающихся математикой.

Основная часть

История

Основоположником барицентрического метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Он еще в III в до н. э. обнаружил возможность доказывать некоторые математические факты с помощью свойств центра масс. В своем послании к Эратосфену «О механических теоремах» Архимед писал: «…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».[5, стр.7]. Именно таким способом Архимедом впервые была доказана теорема о пересечении медиан треугольника. «…Архимед использовал понятие о центре тяжести для определения площади параболического сегмента и для вычисления объёма шара». [3, с. 9]

Метод Архимеда был развит выдающимися математиками, такими как: древнегреческий геометр Папп, швейцарские геометры Поль Гюйден и Симон Льюилье, итальянский математик Джованни Чева, французский математик Лазарь Карно, Лагранж, Якоби и др. Одним из самых интересных исследований по данной теме была работа Августа Фердинанда Мёбиуса, опубликованная им в книге «Барицентрическое исчисление». Август Фердинанд Мёбиус ввёл понятие барицентрических координат, с помощью которых он сумел изложить проективную геометрию. В последние десятилетия барицентрический метод стал использоваться в вычислительной математике, ракетодинамике.

В технике, при конструировании и установке различных сложных машин, определение центра тяжести каждой детали и всего механизма в целом имеет большое значение. Для определения их центра тяжести пользуются точными математическими методами расчета, делают это еще в чертежах и схемах, до того времени, когда деталь машины будет окончательно изготовлена.

Теоретическая часть. Барицентрический метод

С применением барицентрического метода решения задач я впервые познакомилась при чтении школьного учебника физики. В основе данного метода лежат следующие физические понятия: материальная точка, центр тяжести тела, центр масс, момент силы, плечо, условия статического равновесия.

Материальная точка - тело, обладающее массой, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Центр тяжести тела - точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве.

Момент силы - физическая величина, равная произведению модуля силы и её плеча: М = FL.

Плечо силы - длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы.

Условия статического равновесия

Поступательное движение тела в инерциальной системе отсчёта не возникает, если векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю:

Вращательное движение твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта не возникает, если алгебраическая сумма моментов (относительно произвольной оси О) всех сил, действующих на тело, равна нулю ΣМ=0

Центр масс - точка, положение которой характеризует распределение массы системы тел в пространстве.

Координаты центра масс - средние координаты системы тел.

Для системы из п материальных точек координаты центра масс по осям X и Yопределяются формулами:

Хс= ;

Yc=

Центр тяжести однородного симметричного тела лежит в центре симметрии. [10, с. 65-68]

Если требуется найти центр тяжести плоской тонкой пластины сложной формы и разбить ее на части, имеющие правильную геометрическую форму трудно, то определить центр тяжести тела можно практическим путём.

Возможность экспериментального метода определения положения центра тяжести объектов, конечно, ограничена. С его помощью невозможно найти центр тяжести молекул, звёздных скоплений, различных сооружений и механизмов.

В таких случаях при расчётах используют формулы координат центра масс.

Определим положение центра масс для двух материальных точек одинаковой массы m, соединённых невесомым нерастяжимым стержнем.

И з соображений симметрии центр масс этих материальных точек находится в точке О - в середине стержня. (Рис. 1)

Рис.1

Докажем это, используя условия статического равновесия.

Так как отсутствует вращательное движение ΣМс=0, или

mg· +N·0 – mg· = 0.

m g· = mg·

Так как отсутствует поступательное движение, то ΣF=0;

mgN + mg =0, т. е.

N=2 mg

По третьему закону Ньютона на опору в точке О со стороны стержня будет действовать полная сила тяжести 2 mg, т. е. точка О будет точкой приложения её силы тяжести, значит точка О – центр масс данной системы тел.

Использование условия статического равновесия, позволяет найти положение центра масс для двух материальных точек, соединённых невесомым нерастяжимым стержнем, разной массы (m1 <m2).В этом случае точка будет находиться ближе к центру большей массы. (Рис. 2)

Рис. 2

Из условия статического равновесия, так как отсутствует вращательное движение, ΣМс=0, или m1gl1+N·0 – m2gl2= 0

m1·gl1m2gl2·= 0, т.е. положение центра масс находится из соотношения

=

Так как отсутствует поступательное движение, то ΣF=0;

m1 g – N + m2 g =0, т. е.

N=(m1 + m2)g

Точка О – центр масс данной системы тел.

Чтобы найти центр масс трёх материальных точек М1, М2 и М3, имеющих массы m1,m2 и m3, находят центр масс М каких-либо двух материальных точек, напримерМ1 и М2, и приписывают ей массу (m1 + m2). Аналогично, находят центр масс точек М и М3, который является единственным центром масс трёх материальных точек М1, М2 и М3. Положение этого центра не зависит от порядка выбора пар.

Таким способом можно найти центр масс любых п материальных точек.

«Применение математики в физике общеизвестны,… существуют, однако, математические задачи, при решении которых с успехом могут быть использованы понятия и законы физики».[11, с. 4] Отметим, что физических представлений понятия центра масс достаточно, чтобы решать ряд задач, изучаемых в школьном курсе математики.

Для того чтобы с помощью понятия центра масс решать математические задачи, следует ввести точный математический смысл понятия центра масс с помощью геометрических терминов.

Если в точке А помещена масса m, то эту материальную точку можно обозначить так: (А, m).

Массу m иногда называют «нагрузкой точки А».

При решении математических задач материальную точку будем обозначать (А, а).

В математических приложениях число m можно считать не только положительным (как в механическом понимании массы), но и отрицательным.

Центром масс «двух материальных точек (А, а) и (B,b) называется такая третья точка С, которая лежит на отрезке АВ и удовлетворяет правилу рычага: произведение её расстояния СА от точки А на массу а равно произведению её расстояния СВ от точки В на массу b»: а · СА = b · СВ или = .

Если аb, то центр масс будет ближе к точке с большей массой.

Если прямая проходит через центр масс двух материальных точек и через одну из них, то она пройдёт и через другую.

Символическая запись: Z[(А, а), (B,b)] ≡ С означает центром масс «двух материальных точек (А, а) и (B, b) является точка С»

Центр тяжести n материальных точек при n ˃2 находится так:

находится центр тяжести (n-1) материальных точек;

помещается в эту точку масса всех (n-1) материальных точек;

находится центр тяжести этой, вновь образовавшейся (n-1) материальной точки, с n-ой материальной точкой.

Новая материальная точка, помещенная в центр тяжести нескольких точек и обладающая их общей массой, называется объединением данных материальных точек.

Задача Архимеда

Применим теперь эти общие положения к решению геометрических задач.

Рассмотрим предложенное Архимедом доказательство теоремы о медианах треугольника. Его способ доказательства отличается от варианта, который рассматривается в школьном курсе геометрии. (ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

Применение барицентрического метода к решению задач с растворами веществ

Понятие центра тяжести можно с успехом использовать для вычисления компонентов растворов, сплавов, химических соединений, механических смесей нескольких веществ.

Смесь веществ состоит из двух компонентов А и В. Пусть масса компоненты А равна p, а компоненты В равна q,

тогда масса всей системы m =p + q (единиц).

Концентрация компоненты А в смеси – масса компоненты А, приходящаяся на единицу массы всей смеси.

Концентрации компонент А и В в системе обозначим a и b, тогда концентрации

a = ,b = , а a + b =1.

Концентрацию часто выражают в процентах.

Раствор состоит из400 г воды 100 г соли.

Тогда m = 400 + 100=500(г).

Концентрация соли = 0,2 = 20%.

Концентрация воды в растворе равна = 80%

Начертим отрезок АВ длиной равной единице. (Рис. 3)

Рис. 3

Из двух компонентов можно составить много смесей, которые будут отличаться по массе или концентрации.

Каждой такой смеси на отрезке АВ можно сопоставить точку C с носителем с, так чтобы СА=b, а СВ=a, т.е. точка С представляет собой центр масс двух точек (А, а) и (В, b), а значит и точек (А, ат) и (В, ).

Материальная точка С - объединение этих двух точек:

Z [(А, а), (B,b)] ≡ С

Обратно, любая материальная точка (С, с) на отрезке АВ изображает некоторую смесь веществ А и В. Масса этой смеси равна т единицам, концентрация компоненты А равна а, концентрация компоненты В равна b.

Если имеются две смеси из веществ А и В, каждая из них характеризуется материальными точками С1 ≡ (С11) и С2 ≡ (С22) необходимо составить смесь из двух этих смесей одну новую смесь.

На прямой АВ появится точка С, которая будет характеризовать соотношение компонентов новой смеси. (Рис. 4)

Z [(С11), (С22)] ≡ С

Рис 4

Смесь, которая получится от смешения двух или нескольких смесей, будем называть объединением этих смесей.

Вывод. Если две смеси характеризуются материальными точками

С1 ≡ (С11) и С2 ≡ (С22), то объединение этих смесей, характеризуется объединением этих двух материальных точек, т. е. материальной точкой

(С, с) ≡ (С11) + (С22), где с = с1 + с2.

Итак, решения многих математических задач можно получить, привлекая свойства масс (или барицентра системы материальных точек). «Барицентрическое решение» использует понятия, заимствованные из механики: масса, материальная точка, центр масс, правило рычага и опирается на наглядные физические соображения.

Практическая часть

Задача №1.Обладая этими знаниями, можно легко найти положение центра масс (О) тонкой однородной пластинки. (ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Рис. 1)

Решить эту задачу можно двумя способами:

методом геометрических построений;

аналитическим методом (ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Задача 21).

Задача №2. Определить центр тяжести плоской пластины неправильной формы. (ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Задача 22)

В учебнике физики В. А. Касьянова [12, с. 196] дана задача для самостоятельного решения, которая легко решается барицентрическим методом.

Задача №3. В цилиндрической шайбе радиусом R вырезано сквозное отверстие радиусом r. Центр отверстия находится на расстоянии l от оси шайбы (ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Рис. 2). Найдите расстояние, на котором находится центр масс шайбы от её оси.

Решим барицентрическим методом задачу, предложенную в 2017 году на региональном этапе Всероссийской олимпиады школьников

Задача №4. «Дан прямоугольник ABCD, у которого AD = 2,DC = 3. На стороне АВ взяли точку М, а на стороне ВС — точку N так, что ВМ = BN = 1. Прямые АN и СМ пересекаются в точке Р. Найдите угол АРМ.» [2, дата обращения:21.12.2019 г.] (Рис. 5) Рис. 5

Дано:ABCD- прямоугольник

AD =2, DC = 3, ВМ = BN = 1.

Найти:АРМ

Решение.

Из условия задачи ABCD- прямоугольник, значит AB = DC, AD=BC;

АМ=3 –1=2; СN=2-1=1.

С помощью правила рычага найдём массу точек Аи B:

АМ / ВМ = 1 / 2, т. е. имеем две материальные точки: (A, 1) и (B,2).

Z [(A, 1), (B, 2)] ≡ (М, 3)

СN=NВ=1с помощью правила рычага найдём массу точки С:

СN/NВ =1, значит (С, 2).

Z [(С, 2), (B, 2)] ≡ (N,4),

Р Є МС и для неё выполняется условие,

Z [(М, 3), (C,2).] ≡ (Р, 5).

Р Є АNZ [(А, 1), (N,4).] ≡ (Р, 5), значит АN и МС пересекаются точке Р и она является центром симметрии точек (A, 1), (B,2) и (С, 2).

Найдём длины сторон ∆ АРМ.

Согласно правилу рычага =

Из ∆АNВ по теореме Пифагора АN ==АР= .

Аналогично = ,МС = =РМ= .

АМ = 2

По теореме косинусов: АМ2 =АР2 + РМ2 − 2 АР·РМ·cosАРМ

cos АРМ =√2/2, АРМ =45°.

Использованный при решении данной задачи барицентрический метод, был для меня более простым и наглядным.

Я решила проверить: насколько использование этого метода окажется полезным одноклассникам. Для этого по моей просьбе учитель математики предложила им решить задачу №99573РЕШУ ЕГЭ (методом, изученным в школе). Далее я объяснила: как решать такие задачи барицентрическим методом (центра масс). Результаты решения задачи значительно улучшились, что можно увидеть из таблицы. (ПРИЛОЖЕНИЕ 2.Таблица 1)

Умение находить центр масс необходимо не только школьникам для успешного решения задач по физике и математике, но и людям разных профессий: простому рабочему, инженеру, конструктору, спортсмену, каскадеру.

Мы часто встречаемся в быту с задачами по получению веществ нужной концентрации. Например, маме на кухне нужен столовый уксус, а у нее только 70% уксусная кислота, или кошка поцарапала лапку, и, чтобы обработать ранку, я готовлю 1% раствор йода из 5%, купленного в аптеке.

Задача №5. Сколько воды надо добавить к 50г 70% раствора уксусной кислоты, чтобы получить 9% раствор столового уксуса?

Решение.

На отрезке AB точка А соответствует чистой воде (100%), а точка В чистой уксусной кислоте (100%). (Рис. 6)

Рис. 6

Найдём массу материальной точки (A, m1).

Точка C(m1 +m2) ≡ Z[(A, m1), (D, m2)].

По правилу рычага: = = = =, откуда m1= ≈ 339 г.

Посещая детский сад, в который ходит моя младшая сестрёнка, я увидела в центре раздевалки сломанную пополам детскую скамейку. Оказалось, что скамейку туда поставили, чтобы показать родителям Димы. Дима – новый воспитанник детского сада и большой озорник. Он баловался, упал на эту скамейку и сломал её пополам. Я задумалась, разве один Дима виноват в данном случае, а может, в большей мере, виноваты те, кто спроектировал, изготовил, поставил в детский сад скамейку, которую сломал 6-летний ребёнок, упав на неё. Всё ли оборудование детских площадок безопасно для детей? Что произойдёт, если Дима вздумает баловаться на снаряде «Ракета»?

Задача №6. В детском садике на спортивной площадке есть спортивный снаряд «Ракета» (ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Рис. 3). Я решила проверить его устойчивость. Из школьного курса физики я знаю, что положение его будет устойчивым, если отвесная линия, проведённая из центра тяжести снаряда (вместе с Димой), не выходит из площади опоры. Я поставила себе задачу – определить положение центра тяжести снаряда (вместе с Димой) и выяснить его устойчивость.

Решение задачи.

1). В результате анализа формы снаряда я определила:

из каких геометрических фигур состоит «Ракета»;

сколько осей симметрии имеет снаряд;

имеет ли снаряд центр симметрии;

где расположены центры симметрии геометрических фигур;

2) Измерила длины вертикальных стоек, длины наклонных трубок, диаметр колец.

3) Рассчитала:

сколько метров трубки потребовалось на изготовление отдельных частей снаряда:

Диаметр кольца D=0,9 м. Длина трубки кольца равна длине окружности

С=3,14 ∙ 0,9 ≈ 2,83 (м)- длина окружности

длина вертикальной стойки -1,9м;

длина наклонной трубки - 0,74 м;

диаметр кольца-0,9 м.

определила массу этих частей, зная, что масса 1м трубы, из которой сделан снаряд, равна 2,12 кг/м:

масса кольца m1 = 2,12 ∙ 2,83 = 6,00 (кг);

масса вертикальной стойки m2 = 2,12 ∙ 1,9 = 4,03 (кг);

масса наклонной трубки m3 = 2,12 ∙ 0,74 = 1,57 (кг).

используя барицентрический метод, определила центр тяжести «Ракеты».

Так как фигура симметрична, то центры тяжести отдельных ее элементов лежат на оси симметрии снаряда.

Расположим на оси ОY положения центров тяжести этих частей. (Рис. 7)

Рис. 7 Рис. 8

Используя барицентрический метод, определила центр тяжести «Ракеты», на которой находится ребёнок массой 35 кг. (Рис. 8)

4) Используя условия устойчивого равновесия, сделала вывод об условиях безопасности использования снаряда в детском садике.

Так как линия отвеса, проведенная из центра тяжести «Ракеты» и ребенка, выходит за пределы площади опоры, то при установке снаряда необходимо было применить дополнительные меры безопасности: сместить центр тяжести конструкции за счет утяжеления его нижней части или увеличения площади опоры. Данный снаряд самодельный, и, очевидно, изготовитель не был знаком с условиями устойчивого равновесия. Фабричные «Ракеты» выглядят иначе.

Заключение

По результатам проведённых исследований сделала следующие выводы:

познакомившись с материалами учебника и дополнительными источниками, я получила новые знания об истории открытия барицентрического метода и изучила теорию вопроса «Центр масс»;

ознакомилась с готовыми решениями задач, приведенными в моих школьных учебниках и справочной литературе;

с помощью исследования выяснила, что физических представлений понятия центра масс достаточно для решения целого ряда задач, изучаемых в школьном курсе математики;

определила, что область применения барицентрического метода при решении физических и математических задач школьного и повышенного уровня сложности довольно обширна;

исследовала применение барицентрического метода к решению практических задач по определению концентрации веществ и выяснению условий безопасного использования детского спортивного снаряда;

основной результат моей работы - создание тематического сборника задач «Применение метода центра тяжести к решению математических задач» для старшеклассников (ПРИЛОЖЕНИЕ 3). (Сборник составлен, оформлен, распечатан и размещен в медиакабинете и кабинете «Точка роста» школы)

Анализируя результаты исследования, считаю, что практическая значимость моей работы заключается в следующем:

полученные дополнительные знания по данной теме укрепили мой интерес к науке;

я выступила перед старшеклассниками школы с сообщением по применению метода центра масс к решению задач, а материалы моей работы и сборника задач используются учителями школы, что подтверждается справкой школы (ПРИЛОЖЕНИЕ 4);

применение данного метода к решению сложных математических и физических задач мной и моими одноклассниками показало хорошие результаты;

я убедилась в целесообразности применения барицентрического метода к расчёту условий безопасности детского спортивного и игрового оборудования;

задачник размещен в медиатеке и кабинете «Точка роста» школы;

созданный сборник задач может быть использован учениками нашей школы при подготовке к урокам, экзаменам и олимпиадным работам по математике;

созданный сборник может быть использован учителями математики при проведении уроков и занятий внеурочной деятельности.

Библиографический список

Алгебра и начала математического анализа 10 класс: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни / [С.Н. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и д.р.]. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2018. - 431 с.

Архив Всероссийской олимпиады [vos.olimpiada.ru](дата обращения: 21.12.2019 г.)

Балк М. Б. Геометрические приложения понятия центра тяжести, Физматгиз, 1959. - 232 с.

Банк заданий ФИПИОГЭ [fipi.ru](дата обращения: 09.12.2019 г.)

Библиотечка «Квант»: № 61 М. Б. Балк, В. Г. Болтянский, Геометрия масс. – 1987 г. - 160 с.

Геометрия.10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б Кадомцев и. др.]. - 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. - 255 с.

Ракетодинамика в середине ХХ века [https://prosopromat.ru/istoriya-sopromata/ocherki-iz-istorii-nauki/k-e-ciolkovskij-k-zvezdam/raketodinamika-v-seredine-xx-veka.html](дата обращения: 15.11.2019 г.)

Решу ЕГЭ [ege.sdamgia.ru](дата обращения: 17.12.2019 г.)

Решу ОГЭ [phys-oge.sdamgia.ru](дата обращения: 27.11.2019 г.)

Соколова Н. Е., Центр тяжести, Учпедгиз, 1958. - 96с

Успенский В. А., Некоторые приложения механики к математике, Физматгиз, 1958.Учпедгиз, 1958. - 48 с.

Физика. Углубленный курс. 10 класс: учебник / В. А. Касьянов.

- 8-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2020. - 480 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Задача Архимеда

Т еорема. Три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. (Рис. 1)

Дано: ∆АВС, AA1, BB1, CC1 – медианы

Рис.1 Доказать: т. О – точка пересечения медиан

= = = .

Доказательство:

Пусть точки А, В и С обладают равными массами. Получающаяся система трех материальных точек А, В и С имеет однозначно определенный центр масс О. Положение центра масс не изменится, если массы материальных точек В и С мы перенесем в их центр масс, т.е. в точку А. Тогда O окажется центром масс лишь двух материальных точек A′ и А. Значит OЄ AA′. Аналогично убедимся, что O ЄВВ' и OЄСС′. Таким образом, все три медианы имеют общую точку O. И тогда, по правилу рычага 2·ОА'=1·ОА, т.е. = .

Теорема доказана.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Рисунки и таблица

Р ис. 1 Рис. 2

Рис. 3

Таблица 1

Количество человек, участвовавших в эксперименте – 48 учеников 10 класса.

Критерии

Решение изученным методом

Решение новым методом

Время, потребовавшееся на решение, мин

10

3

Решили правильно, %

52

78

ПРИЛОЖЕИЕ 3

Применение метода центра тяжести к решению математических задач

сборник ЗАДАЧ по математике

для 9-11 классов

Составитель:

Казакова Екатерина

ученица 11а класса

ГБОУ СОШ №1 «ОЦ»

с. Кинель-Черкассы

Самарской области

2020 год

Сборник задач может быть использован учителями математики, при проведении уроков и внеурочной деятельности и учениками, проявляющими интерес к математике, при подготовке к урокам, экзаменам и олимпиадным работам по математике.

«Применение математики в физике общеизвестны,… существуют, однако, математические задачи, при решении которых с успехом могут быть использованы понятия и законы физики». [Успенский В. А., Некоторые приложения механики к математике.]

Решения многих математических задач можно получить, привлекая свойства масс (или барицентра системы материальных точек). «Барицентрическое решение» использует понятия, заимствованные из механики: масса, материальная точка, центр масс, правило рычага и опирается на наглядные физические соображения.

Отметим, что физических представлений понятия центра масс достаточно, чтобы решать ряд задач, изучаемых в школьном курсе математики.

Использование условия статического равновесия, позволяет найти

положение центра масс для двух материальных точек, соединённых невесомым нерастяжимым стержнем. Если точки имеют разную массу (m1 <m2), центр масс будет находиться ближе к центру большей массы.

Рис. 1

Из условия статического равновесия, так как отсутствует вращательное движение, ΣМс=0, или m1gl1+N·0 – m2gl2= 0

m1gl1m2gl2·= 0, т.е. положение центра масс находится из соотношения

=

Так как отсутствует поступательное движение, то ΣF=0;

m1 g – N + m2 g =0, т. е.

N=(m1 + m2)g

Точка О – центр масс данной системы тел.

Чтобы найти центр масс трёх материальных точек М1, М2 и М3, имеющих массы m1,m2 и m3, находят центр масс М каких-либо двух материальных точек, например М1 и М2, и приписывают ей массу (m1 + m2). Аналогично, находят центр масс точек М и М3, который является единственным центром масс трёх материальных точек М1, М2 и М3. Положение этого центра не зависит от порядка выбора пар.

Таким способом можно найти центр масс любых п материальных точек.

Для того чтобы с помощью понятия центра масс решать математические задачи, следует ввести точный математический смысл понятия центра масс с помощью геометрических терминов.

Если в точке А помещена масса m, то эту материальную точку можно обозначить так: (А, m).

Массу m иногда называют «нагрузкой точки А».

При решении математических задач материальную точку будем обозначать (А, а).

В математических приложениях число m можно считать не только положительным (как в механическом понимании массы), но и отрицательным.

Центром масс «двух материальных точек (А, а) и (B,b) называется такая третья точка С, которая лежит на отрезке АВ и удовлетворяет правилу рычага: произведение её расстояния СА от точки А на массу а равно произведению её расстояния СВ от точки В на массу b»

а · СА = b · СВ или = .

Если аb, то центр масс будет ближе к точке с большей массой.

Если прямая проходит через центр масс двух материальных точек и через одну из них, то она пройдёт и через другую.

Символическая запись: Z[(А, а), (B,b) ] ≡ С означает центром масс «двух материальных точек (А, а) и (B, b) является точка С»

Центр тяжести n материальных точек при n ˃2 находится так:

находится центр тяжести (n-1) материальных точек;

помещается в эту точку масса всех (n-1) материальных точек;

находится центр тяжести этой, вновь образовавшейся (n-1) материальной точки, с n-ой материальной точкой.

Новая материальная точка, помещенная в центр тяжести нескольких точек и обладающая общей массой всех этих точек, называется объединением данных материальных точек.

Для решения задач важны следующие простейшие свойства центров тяжести.

Положение центра тяжести n материальных точек не зависит от порядка, в котором последовательно объединены эти точки. (Теорема о единственности центра тяжести для системы из n материальных точек.)

Положение центра тяжести системы из n материальных точек не изменится, если заменить несколько материальных точек их объединением. (Теорема о возможности группировки материальных точек.)

Понятие центра тяжести можно с успехом использовать для вычисления компонентов растворов, сплавов, химических соединений, механических смесей нескольких веществ

Смесь веществ состоит из двух компонентов А и В. Пусть масса компоненты А равна p, а компоненты В равна q,

тогда масса всей системы m = p + q (единиц).

Концентрация компоненты А в смеси – масса компоненты А, приходящаяся на единицу массы всей смеси.

Концентрации компонент А и В в системе обозначим a и b, тогда концентрации

a = , b = , а a + b =1.

Концентрацию часто выражают в процентах.

Раствор состоит из 400 г воды и 100 г соли.

Тогда m = 400 + 100=500(г).

Концентрация соли = 0,2 = 20%, Концентрация воды в растворе

равна = 80%

Изобразим растворы с помощью материальных точек. Начертим единичный отрезок АВ, где точка A изображает воду (100%), а точка B данное вещество (100%).

Рис. 2

Из двух компонентов можно составить много смесей, которые будут отличаться по массе или концентрации.

Каждой такой смеси на отрезке АВ можно сопоставить

точку С с носителем с, так чтобы СА = b, а СВ = a, т.е. точка С представляет собой центр масс двух точек (А, а) и (В, b).

Материальная точка С - объединение этих двух точек:

Z [ (А, а), (B,b) ] ≡ (С, с)

Источник. Физика. Углубленный курс. 10 класс: учебник / В. А. Касьянов.

Расстояние между атомами углерода и кислорода в молекуле угарного газа СО составляет 1,13·10-10 м. На каком расстоянии от атома кислорода находится центр масс молекулы, если масса углерода 12 а. е. м., а кислорода — 16 а. е. м.? (А- е. м. — атомная единица массы. 1 а. е. м. = 1,66 · 10-27 кг)

Ответ: 4,8 · 10-11м.

Источник. Физика. Углубленный курс. 10 класс: учебник / В. А. Касьянов.

Пять шаров расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Найдите положение центра масс данной системы тел.

Ответ:2,7 l .Рис. 3

Источник. Физика. Углубленный курс. 10 класс:

учебник / В. А. Касьянов.

Найдите положение центра масс трёх планет массами т, 2т, 3т, находящихся в вершинах равностороннего треугольника со стороной l.

Ответ:l; l· . Рис. 4

Источник. Физика. Углубленный курс. 10 класс: учебник / В. А. Касьянов.

В цилиндрической шайбе радиусом R вырезано сквозное отверстие

радиусом r. Центр отверстия находится на расстоянии l от оси шайбы (рис.5). Найдите расстояние, на котором находится центр масс шайбы от её оси.

Ответ: Хс= - l·r2/(R2-r2).

Рис. 5

Источник. Архив Всероссийской олимпиады [vos.olimpiada.ru]

Дан прямоугольник ABCD, у которого AD = 2, DC = 3.

На стороне АВ взяли точку М, а на стороне ВС — точку N так, что ВМ = BN = 1. Прямые АN и СМ пересекаются в точке Р. Найдите угол АРМ.

Ответ: 45°. Рис.6

Источник. Банк заданий ФИПИ ОГЭ.

Имеются два раствора спирта в воде. Первый раствор массой 400 г содержит 30% спирта, второй массой 600 г содержит 80% спирта. Из этих двух растворов составляют один раствор. Сколько в нём будет процентов спирта?

Ответ: 60 %.

Источник. Банк заданий ФИПИ ОГЭ.

Сколько 5-процентного раствора поваренной соли нужно прибавить к 600г 25-процентного раствора, чтобы получить 20-процентный раствор?

Ответ: 200 г.

Источник. Банк заданий ФИПИ ОГЭ.

Сколько воды надо добавить к 130г 40-процентного раствора серной кислоты, чтобы получить 5-процентный раствор?

Ответ: 910 г.

Источник. Банк заданий ФИПИ ОГЭ.

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Ответ: 2:1.

Источник. Банк заданий ФИПИ ОГЭ.

Первый сплав содержит 5% меди, второй 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

Ответ: 16 кг.

Источник. Банк заданий ФИПИ ОГЭ.

Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого ве­щества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 11%

Источник. Банк заданий ФИПИ ОГЭ.

Имеются два сосуда, содержащие 40кг и 20кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Ответ: 2.

Источник. Банк заданий ФИПИ ОГЭ.

Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого ве­щества с таким же количеством 95-процентного раствора ­этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 58.

Источник.3адание 11 профильный уровень по математике. Решу ЕГЭ. Задача 8.

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 17%.

Источник.3адание 11 профильный уровень по математике. Решу ЕГЭ. Задача 9.

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: 21%.

Источник.3адание 11 профильный уровень по математике. Решу ЕГЭ. Задача 11.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго. Ответ: 100 кг.

Источник.3адание 11 профильный уровень по математике. Решу ЕГЭ. Задача 12.

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Ответ: 9 кг.

Источник.3адание 11 профильный уровень по математике. Решу ЕГЭ. Задача14.

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Ответ: 18 кг.

Источник. Олимпиада пгути 2020 г.

Сплав меди и цинка, содержащий 30кг, сплавлен с 10 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 10%. Сколько цинка стало в сплаве?

Ответ: 30 кг.

Источник. Олимпиада « Физтех» по физике 2018 г.

Два сосуда соединены короткой трубкой с закрытым краном. В сосуде объёмом V1 = 3 л находится влажный воздух с относительной влажностью φ1 = 50 % при температуре Т. В другом сосуде объёмом V2 = 2 л находится влажный воздух с относительной влажностью φ2 = 75% при той же температуре. Кран открывают, и влажный воздух в сосудах перемешивается. В сосудах устанавливается та же температура Т. Найти относительную влажность φ воздуха в сосудах.

Ответ:60%.

Практические задачи

Найдите центр масс тонкой однородной пластинки, используя только карандаш и линейку.

Рис. 7

Определить центр тяжести плоской пластины неправильной формы.

Р ис. 8

Определить положение центра тяжести снаряда (вместе с Димой, поместив его на верхнее кольцо) и выяснить устойчивость снаряда с ребенком. Длина вертикально стойки - 1,9м; длина наклонной трубки - 0,74 м; диаметр кольца - 0,9 м; масса 1м трубы, из которой сделан снаряд, равна 2,12 кг/м, масса Димы равна 35 кг.

Рис. 9

Сколько воды надо добавить к 50г 70% раствора уксусной кислоты, чтобы получить 9% раствор столового уксуса?

Ответ: 339 г.

Предложите способы повышения устойчивости снаряда.

Рис. 10

Определите максимальное смещение кошки от левой стены. Количество кирпичей неограниченно; размеры кирпича: (4х2х1) см; масса кирпича 4 г; масса кошки 12 г; центр тяжести кошки проходит через точку 1,5 см от края левой ноги.

Рис. 11

Решение задач.

5. Дан прямоугольник ABCD, у которого AD = 2, DC = 3.

На стороне АВ взяли точку М, а на стороне ВС — точку N так, что ВМ = BN = 1. Прямые АN и СМ пересекаются в точке Р. Найдите угол АРМ.

Ответ: 45°. Рис. 6

Решение.

Из условия задачи ABCD- прямоугольник, значит AB = DC, AD=BC;

АМ=3 – 1=2; СN=2 – 1=1.

С помощью правила рычага найдём массу точек Aи B:

АМ / ВМ = 1 / 2, т. е. имеем две материальные точки: (A, 1) и (B, 2).

Z [(A, 1), (B, 2)] ≡ (М, 3).

СN=NВ=1с помощью правила рычага найдём массу точки С:

СN/NВ =1, значит (С, 2).

Z [(С, 2), (B, 2)] ≡ (N,4),

Р Є МС и для неё выполняется условие ,

Z [(М, 3), (C,2).] ≡ (Р, 5).

Р Є АNи для неё выполняется условие

Z [(А, 1), (N,4).] ≡ (Р, 5), значит АN и МС пересекаются точке Р и она является центром симметрии точек (A, 1), (B,2) и (С, 2). Найдём длины сторон ∆ АРМ.

Согласно правилу рычага =

Из ∆АNВ по теореме Пифагора АN ==АР= .

Аналогично = , МС = =РМ= .

АМ = 2

По теореме косинусов: АМ2 =АР2 + РМ2 − 2 АР·РМ·cosАРМ

cos АРМ =√2/2, АРМ =45°.

15.Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с

6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 21%

Решение.

Изобразим растворы с помощью материальных точек. Начертим единичный отрезок АВ, где точка A изображает воду (100%), а точка B данное вещество (100%).

(Рис. 12)

Рис. 12

Первый раствор соответствует материальной точке C ≡ (C, 4), где AC = 0,15 (15 сотых). Второй раствор точке D ≡ (D, 6). Объединением этих двух растворов будет раствор

O ≡ (O, 10), где OZ[C, D].

По правилу рычага

= =

Пусть AO = x, тогда CO = x – 15, а OD = 25 – x, получаем

= , откуда x = 21%.

21. Найдите центр масс тонкой однородной пластинки, используя только карандаш и линейку.

Рис. 7

Решение 1. Практическое

Рис. 13

Р ешение 2.Аналитическое

Разобьем фигуру на 2 прямоугольника. Центр тяжести каждого из прямоугольников расположен в его геометрическом центре. Тогда координаты О1 (3,5; 3), О2 (10,25; 8,5)

Найдем центр тяжести всей плоской фигуры.

Для этого применим условия статического равновесия.

Рис. 6m1g∙(xx1) +N·0 – m2g∙(x2x) = 0

m1·g∙(xx1) – m2g∙(x2x) = 0

Рис.14 m = ∙V = ∙ Sd

d толщина пластины; пластина однородная.

S1dg∙(x1x) = ∙S2dg∙(x2 x)

x = 8,39

y = 6,99

Центр масс тонкой однородной пластинки имеет координаты О (8,39; 6,99).

22.Определить центр тяжести плоской пластины неправильной формы.

Рис. 8

Решение.

Сделаем несколько отверстий по краю пластинки, подвесим ее на гвоздик, прикрепим к этому же гвоздику отвес. Покачавшись немного, пластина успокоится и повиснет, так что нить отвеса будет проходить через центр тяжести нашей пластины и находится в одной из точек вертикальной прямой АВ. Наметим эту вертикальную прямую. Если затем это тело подвесить на нить за другое, отверстие, то и в этом случае, пластинка придет в равновесие. Проведем снова вертикальную прямую СД, на которой тоже должен находиться центр тяжести нашей - пластинки. Но Рис. 15

центр тяжести, как математическая точка, в одно и то же время, находиться на двух прямых может только в точке их пересечения. Находим точку пересечения прямых АВ и СД, и определим положение центра тяжести тела.

23.Определить положение центра тяжести снаряда (вместе с Димой, поместив его на верхнее кольцо) и выяснить устойчивость снаряда с ребенком. Длина вертикально стойки - 1,9м; длина наклонной трубки - 0,74 м; диаметр кольца - 0,9 м; масса 1м трубы, из которой сделан снаряд, равна 2,12 кг/м, масса Димы равна 35 кг.

Решение задачи.

1). В результате анализа формы снаряда я определила:

из каких геометрических фигур состоит «Ракета»;

сколько осей симметрии имеет снаряд;

имеет ли снаряд центр симметрии;

где расположены центры симметрии геометрических фигур;

2) Измерила длины вертикальных стоек, длины наклонных трубок, диаметр колец.

3) Рассчитала:

сколько метров трубки потребовалось на изготовление отдельных частей снаряда:

Диаметр кольца D=0,9 м. Длина трубки кольца равна длине окружности

С=3,14 ∙ 0,9 ≈ 2,83 (м)- длина окружности

длина вертикальной стойки -1,9м;

длина наклонной трубки - 0,74 м;

диаметр кольца-0,9 м.

определила массу этих частей, зная, что масса 1м трубы, из которой сделан снаряд, равна 2,12 кг/м:

масса кольца m1 = 2,12 ∙ 2,83 = 6,00 (кг);

масса вертикальной стойки m2 = 2,12 ∙ 1,9 = 4,03 (кг);

масса наклонной трубки m3 = 2,12 ∙ 0,74 = 1,57 (кг).

используя барицентрический метод, определила центр тяжести «Ракеты».

Так как фигура симметрична, то центры тяжести отдельных ее элементов лежат на оси симметрии снаряда.

Расположим на оси ОY положения центров тяжести этих частей. (Рис. 16)

Рис. 16 Рис. 17

Используя барицентрический метод, определила центр тяжести «Ракеты», на которой находится ребёнок массой 35 кг. (Рис. 17)

4) Используя, условия устойчивого равновесия, сделала вывод об условиях безопасности использования снаряда в детском садике.

Так как линия отвеса, проведенная из центра тяжести «Ракеты» и ребенка, выходит за пределы площади опоры, то при установке снаряда необходимо было применить дополнительные меры безопасности: сместить центр тяжести конструкции за счет утяжеления его нижней части или увеличения площади опоры.

24.Сколько воды надо добавить к 50г 70% раствора уксусной кислоты, чтобы получить 9% раствор столового уксуса?

Решение.

На отрезке AB точка А соответствует чистой воде(100%), а точка В чистой уксусной кислоте (100%). (Рис. 18)

Рис. 18

Найдём массу материальной точки (A, m1).

Точка C(m1 +m2) ≡ Z[(A, m1), (D, m2)].

По правилу рычага: = = = =, откуда m1= ≈ 339 г.

Ответ: 339 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Справка об использовании материалов исследовательской работы

в рамках внеурочных занятий в школе

Просмотров работы: 109