Практическое решение экономических задач

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Практическое решение экономических задач

Фролов Г.Р. 1
1ГБОУ "Брянский городской лицей №1 имени А.С.Пушкина"
Ефремова Л.И. 1
1ГБОУ "Брянский городской лицей №1 имени А.С.Пушкина", учитель математики


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

I.Введение

Экономическую задачу ввели в экзамен ЕГЭ «Профиль по математике» только с 2015 года. Она стала называться заданием № 17 и по своей сложности находится на одном уровне с заданиями на параметры и теорию чисел. Для меня эта тема особенно важна, так как я учусь в 10 социально-экономическом классе и собираюсь свою профессию связать с экономикой. Приведу примеры статистики сдачи ЕГЭ по математике (профильный уровень) с 2018 по 2020 по Брянской области, взятые на сайте Брянского центра оценки и качества образования и сайте 4ЕГЭ.[8], [7]

Год

Средний балл по Брянской области

Средний балл по России

Решили задачу №17 по Брянской области

Не решили задачу №17 по Брянской области

Количество 100-бальников по Брянской области

2018

49,1

49,8

1,5%

98,5%

2

2019

57,8

56,5

18%

82%

2

2020

55,9

53,9

10%

90%

6

Такая статистика решения экономической задачи объясняется и сложностью задания и просто тем, что такой темы просто нет в наших учебниках по алгебре. Поэтому и возникла идея написать исследовательскую работу «Практическое решение экономических задач».

Актуальность темы моей работы определяется необходимостью уметь решать экономические задачи при сдаче ЕГЭ. Решение экономических задач очень полезно, так как жизнь современного человека тесно связана с финансовыми операциями.

Проблема заключается в отсутствии навыков применения математических и экономических знаний на практике в расчетах платежей банковских кредитов и прочих операций, а также неумение и боязнь решать экономические задачи на ЕГЭ.

Объект исследования: задачи с экономическим содержанием.

Предмет исследования: различные подходы к решению задач о кредитах, в зависимости от условия задачи.

Гипотеза: в современном мире необходимы знания об экономике и в этом может помочь математика.

Цель исследования – исследование методов решения задач с экономическим содержанием.

Задачи исследования:

изучить теоретический материал по выбранной теме;

научиться решать задачи с процентами разных видов сложности;

разобрать основные типы задач с примерами решений;

создать таблицы для различных видов платежей;

показать на примерах поиск решения реальной практической задачи (кредит с разными видами платежей – аннуитетные, фиксированные и дифференцированные);

провести анкетирование среди обучающихся 11-х профильных классов с целью выяснения трудностей, которые возникают у них при решении экономической задачи №17.

Конечно, на различных сайтах и в математической литературе можно найти решения таких задач, но зачастую либо они содержат много лишней информации, либо они решены непонятным для меня способом. Я же использовал табличный метод, так как считаю его самым наглядным и простым.

II.Основная часть

2.1. Основные теоретические сведения.

2.1.1. Необходимые знания при решении экономических задач.

Решение финансовых задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий и производной. Я не беру производную, так как в в10 классе по учебнику Ю.М.Колягина эта тема не изучается. Приведу основные определения, понятия, таблицы и формулы.

Из необходимых знаний и умений мне понадобились:

Определение понятия «Процент»

Определение понятий «Фиксированные платежи», «Аннуитетные платежи» и «Дифференцируемые платежи».

Виды мною созданных таблиц

Определение, формулы n-ого члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

2.1.2.Проценты.

Определение: один процент – это одна сотая доля. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

Пример: 5% от 80 это будет 0,05

r % от 14 это будет 0,01r

При решении задач необходимо понимать механизм начисления процентов по вкладам или кредитам. Например, если банк выдаёт кредит (S) клиенту, то через год клиент должен банку не только сумму кредита, но и некий процент (r). Возникает необходимость введения нового коэффициента b, b=1+0,01r. С учётом этого, долг клиента банку через год можно записать следующим образом: S + r% от S = S + 0,01r = S (1 + 0,01r) = b·S

2.1.3.Платежи.

В задачах по теме «Кредит» используют о три основных вида платежа:

Фиксированные платежи (платежи, которые чётко оговариваются в условии задачи)

2.Аннуитетные платежи (постоянные ежемесячные или ежегодные платежи, которые не меняются на протяжении всего периода кредитования)

3.Дифференцируемые платежи- ежемесячные или ежегодные платежи, уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы долга на одну и ту же величину. [1]

2.1.4.Таблицы.

При решении задач, связанных с аннуитетными платежами мне было очень удобно заполнять следующую таблицу:

S – сумма кредита

r% - годовые (ежемесячные) проценты

b=1+0,01r – коэффициент

х – ежегодная (ежемесячная) выплата

Год

Долг с %

Выплата

Долг после выплаты

0

   

S

1 год

Sb

x

Sb-x

2 год

(Sb-x)b=Sb2-xb

x

Sb2-xb-x

3 год

(Sb2-xb-x)b=Sb3-x b2-xb

x

Sb3-x b2-xb-x

4 год

(Sb3-x b2-xb-x)b= Sb4-xb3-xb2-xb

x

Sb4-xb3-xb2-xb-x

5 год

(Sb4-xb3-xb2-xb-x)b= Sb5-xb4-xb3-xb2-xb

x

Sb5-xb4-xb3-xb2-xb-x

6 год

(Sb5-xb4-xb3-xb2-xb-x)b= Sb6-xb5-xb4-xb-3xb2-xb

x

Sb6-xb5-xb4-xb-3xb2-xb-x

n год

Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb

x

Полная выплата, долг равен 0

При решении задач, связанных с дифференцированными платежами я использовал следующую таблицу:

Месяц

Долг с %

Выплата

Долг после выплаты

0

   

S

1

Sb

Sb

 

2

     

n-1

     

n

   

0

При решении задач по теме «Вклады»

Год

Вклад с %

0

 

1

Sb

2

Sb2

n

Sbn

При решении задач, в которых осуществлялись какие-либо действия (пополнение или снятие денег с вклада):

х – действие

Год

Вклад с %

Действие

Вклад после действия.

0

   

S

1 год

Sb

Sb+x

2 год

b(Sb+x)= Sb2+xb

Sb2+xb+x

3 год

b(Sb2+xb+x)=Sb3_b2+xb

Снял вклад

 

2.1.5. Арифметическая и геометрическая прогрессии.[2]

Арифметическая прогрессия.

Определение. Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: = + (n-1)·d

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

Sn=

С учётом этой формулы: (n-1) + (n-2) +…+3+2+1 = =

= =

= =

Геометрическая прогрессия

Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

bn =b1· qn-1

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

Sn=

Из этой формулы следует: bn-1+bn-2 +…+b2+b+1=

2.2. Практическое решение экономических задач.

2.2.1. 1 тип: нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита.

n-? (Аннуитетные платежи)

Задача №1

Максим хочет взять кредит 1,5 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?[3]

Решение: кредит (S) 1500000 руб.

Ставка (r) 10% годовых. Введём коэффициент b=1+0,01r

Ежегодная выплата (х) ≤350000 руб.

Сколько лет (n)-?

Год

Долг с %

Платёж

Долг после выплаты

0

   

1500000

1 год

1500000•1,1=1650000

350000

1300000

2 год

1300000•1,1=1430000

350000

1080000

3 год

1080000•1,1=1188000

350000

838000

4 год

838000•1,1=921800

350000

571800

5 год

571800•1,1=628980

350000

278980

6 год

278980•1,1=306878

306878

0

Ответ: 6 лет.

2.2.2. 2 тип: вычисление процентной ставки по кредиту.

r-? (Фиксированные платежи)

Задача №2

31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 560 тыс. рублей, во второй – 644,1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису? [3]

Решение Кредит (S) 1000000 руб.

Введём коэффициент b=1+0,01r

1 год выплата – x1=560000руб.

2 год выплата – x2=644100 руб.

r-?

Год

Долг с %

Платёж

Долг после выплаты

0

   

S

1 год

Sb

x1

Sb-x1

2 год

b(Sb-x1) =Sb2-bx1

x2

-

Sb2-x1b=x2

1000000b2-560000b-644100=0

10000b2-5600b-6441=0

D=56002+4•10000•6441=31360000+257640000=289000000

b1= = 1,13

b2= = - 0,57 не подходит по условию задачи. b=1+0,01r, r=13 Ответ: 13%

2.2.3. 3 тип: нахождение суммы кредита.

S-? (Аннуитетные платежи)

Задача №3.

31 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12%), затем Сергей переводит в банк 3512320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? [4]

Решение: ставка (r) - 12% , b=1,12

Ежегодная выплата (х) - 3512320 рублей

Количество лет (n) 3 года

Сумма кредита (S) -?

Год

Долг с %

Платёж

Долг после выплаты

0

   

S

1 год

Sb

х

Sb-x

2 год

b(Sb-x)= Sb2-xb

х

Sb2-xb-x

3 год

b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb

х

-

Sb3_хb2-xb =x , Sb3-(1+b+b2)x=0

S=Ответ: 8436000рублей.

2.2.4. 4 тип: нахождение ежегодного (ежемесячного) транша.

х-? (Аннуитетные платежи)

Задача №4.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?[4]

Решение:

Сумма кредита (S)- 9282000рубля

Ставка (а)=10%, b=1,1

Количество лет (n) 4 года

Ежегодная выплата ( транш): х -?

Год

Долг с %

Выплата

Долг после выплаты

0

   

S

1 год

Sb

x

Sb-x

2 год

(Sb-x)b=Sb2-xb

x

Sb2-xb-x

3 год

(Sb2-xb-x)b=Sb3-x b2-xb

x

Sb3-x b2-xb-x

4 год

(Sb3-x b2-xb-x)b= Sb4-xb3-xb2-xb

x

Полная выплата - остаток 0

Sb4-xb3-xb2-xb =x

Sb4-(b+b2+b3)x=x

Sb4-(1+b+b2+b3)x=0, X=

X= .

Ответ: 2928200 рублей.

2.2.5. 5 тип: нахождение разницы (аннуитетные платежи).

Задача №5.

31 декабря 2014 года Федор взял в банке 6951000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Федор переводит в банк платеж. Весь долг Федор выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?[5]

Решение: Сумма кредита (S) – 6951000 рублей

Ставка (r) -10%, b=1,1

3 равных платежа:

Год

Долг с %

Платёж

Долг после выплаты

0

   

S

1 год

Sb

х

Sb-x

2 год

b(Sb-x)= Sb2-xb

х

Sb2-xb-x

3 год

b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb

х

-

Sb3- хb2-xb=x

Sb3-(b2+b+1)x=0

X=

2 равных платежа:

Год

Долг с %

Платёж

Долг после выплаты

0

   

S

1 год

Sb

х

Sb-x

2 год

b(Sb-x)= Sb2-xb

х

-

Sb2-xb=x

Sb2-(1+b)x=0

X=

За три года: 2795100·3=8385300

За два года:4005100·2=8010200

Разница: 8385300-8010200=375100

Ответ: на 375100 рублей.

2.2.6. 6 тип: задачи, связанные с известным остатком (фиксированные платежи).

Задача №6.

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07

Долг (в процентах от кредита)

100%

90%

80%

70%

60%

50%

0%

 

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?[6]

Решение: S – сумма кредита

r% - годовые (ежемесячные) проценты (5%)

b=1+0,01r – коэффициент (1,05)

Месяц

Долг с %

Выплата

Долг после выплаты

15.01

   

S

15.02

Sb

Sb-0,9S

0,9S

15.03

0,9Sb

0,9Sb -0,8S

0,8S

15.04

0,8Sb

0,8Sb -0,7S

0,7S

15.05

0,7Sb

0,7Sb -0,6S

0,6S

15.06

0,6Sb

0,6Sb -0,5S

0,5S

15.07

0,5Sb

0,5Sb

Полная выплата - остаток 0

Общая сумма выплат:

(Sb+0,9Sb+0,8Sb+0,7Sb+0,6Sb+0,5Sb)-(0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)=

4,5Sb-3,5S=S(4,5b-3,5)=S(4,5·1,05-3,5)=1,225S

Ответ: 22,5 процента.

2.2.7. 7 тип: задачи, связанные с дифференцированными платежами.

Задача №7.

Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r. [6]

Решение: Сумма кредита (S), ставка (r) -? %, b=1+0,01r

Месяц

Долг с %

Выплата

Долг после выплаты

0

   

S

1

Sb

Sb

 

2

     

3

     

4

     

5

     

6

     

7

     

8

     

9

     

10

     

11

     

12

   

0

Sb(1+ )-S )=1,13S

- =1,13S /S

- =1,13

78b=1,13·12+66 , b=1,02, r=2% Ответ: 2%.

2.2.8. Вклады. Задача №8

Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?[3]

Решение:

S=3600 тысяч – сумма вклада

r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%

b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1

n=3 года, х =? – действие

Год

Вклад с %

Действие

Вклад после действия.

0

   

S

1 год

Sb

Sb+x

2 год

b(Sb+x)= Sb2+xb

Sb2+xb+x

3 год

b(Sb2+xb+x)=Sb3_b2+xb

Снял вклад

 

Sb3+хb2+xb = 1,485S

х(b2+b) = 1,485S - Sb3

х(1,21+1,1) = 1,485S – 1,331S

2,31х = 0,154·3600

2,31х = 554,4

х = 240

Ответ: 240000.

2.3. Результаты анкетирования

В анкетировании приняли участие: 11 физико-математический, 11 инженерный, 11 социально-экономический, 11академический. Всего 74 человека. Это классы, в которых почти все обучающиеся сдают профильную математику. Мне было интересно, как будущие выпускники этого учебного года ответят на предложенные им вопросы.

Вопросы для анкетирования:

1.Какую задачу из второй части ЕГЭ вы считаете самой трудной:

№13, №14, №15, №16, №17, №18, №19?

2.У вас всегда, получается, правильно решить задачу №17?

А) Да; Б) Нет; В) Другой ответ.

3.Вы решаете задачу №17 с помощью таблицы?

А) Да; Б) Нет; В) Другой ответ.

4.Сколько в среднем я решил(а) самостоятельно задач под номером 17 в этом учебном году?

5. Хотели бы вы научиться хорошо решать задачи №17?

А) Да; Б) Нет; В) Другой ответ.

На первый вопрос ответы были следующими: самой трудной задачей выпускники считают задачу №18(28%), потом задачу №19(25%), затем №16(19%), №14(17%) и №17(11%). Экономическую задачу большинство респондентов не считают трудной, но почему тогда низкий процент её выполнения. Может ответ кроется в допущении вычислительных ошибок? Там нужно производить достаточно сложные расчеты без калькулятора. На второй вопрос, 42% респондентов решают экономическую задачу №17, 48% нет и 10% когда как, иногда получается, а иногда нет. Большинство выпускников при решении задания №17 используют таблицы(64%), остальные 36% нет. Конечно, 11-е классы готовятся к экзаменам и решают экономические задачи, но нашлись такие, которые пока не решили самостоятельно ни одной такой задачи (7%), может до №17 пока не дошла очередь. Ипри ответе на пятый вопрос 86%респондентов хотят хорошо научиться решать задачи, 6%-нет, и 8% уже хорошо научились решать экономические задачи.

Вывод: потребность в исследовании, конечно, есть. Даже 36% выпускников не пользуются таблицами, а мы ещё в 10 классе, нам многому надо учиться. Также много желающих хотят потренироватьсяв решении таких задач(86%). Более подробно ознакомиться с результатами анкетирования можно в приложении.

III. Заключение

Таким образом, понимание процентов и умение производить процентные расчеты, в настоящее время необходимы каждому человеку. Их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Изучение банковских процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В целом работа по данной теме для меня оказалась полезной, а также она принесла мне необходимые знания финансовой математики в сфере банковских процентов. Я считаю, цели, поставленные в работе, были достигнуты. Тема работы очень актуальна, так как все рассматриваемые задачи взяты из материалов по подготовке к ЕГЭ по математике «Профиль». Я расширил свои математические навыки и получил дополнительные теоретические знания по теме «Проценты», научился самостоятельно решать экономические задачи из кимов ЕГЭ. Ведь решение экономических задач нужно не только для сдачи экзамена, а также для повышения финансовой грамотности молодёжи.

IV. Список источников информации

1. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Социально – экономические задачи. «Легион». Ростов на Дону,2016.

2. Википедия – свободная энциклопедия.

3. ЕГЭ 2018 под редакцией А. Л. Семенова, И.В. Ященко.

4. Открытый банк заданий ЕГЭ fipi.ru

5. Сайт «Решу ЕГЭ».

6. Сайт «Алекс Ларин».

7. Сайт 4ЕГЭ.

8. ege32.ru ГАУ «Брянский региональный центр обработки информации».

V. Приложения

Результаты анкетирования.

 

Просмотров работы: 153