Кривые второго порядка

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Кривые второго порядка

Запольских М.В. 1
1МБОУ Школа №156
Шамиева И.Э. 1
1Школа №156


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1. Предисловие

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка были известны еще в Древней Греции. Тогда они назывались «коническими сечениями», изучению свойств которых посвящались научные трактаты. Применение изученных греками кривым нашлось в XVII – XVIII веках в баллистике и астрономии: выяснилось, что пушечное ядро летит по параболической траектории, а движение планет происходит по эллиптическим орбитам. Позже в небесной механике были введены понятия космических скоростей. Оказалось, что тело, запущенное с земной поверхности c разной начальной скоростью может двигаться в космическом пространстве по различным траекториям, представляющие собой кривые второго порядка: окружность, эллипс, параболу, гиперболу.

В XX веке многие физические эксперименты показали, что частицы в этих экспериментах двигаются по траекториям, являющимися кривыми второго порядка. Например, заряженная частица в однородном электрическом поле плоского конденсатора движется по параболе, или альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома движутся по гиперболам. В этой связи, изучение кривых второго порядка в рамках курса высшей математики имеет весьма важное как теоретическое, так и прикладное значение.

2. Окружность

1.2. Определение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой её центром. Пусть точка ??(??0 ; ??0 ) – центр окружности, ?? – расстояние от любой точки окружности до её центра (это расстояние называют радиусом окружности), ??(??; ??) – произвольная точка окружности. Сделаем чертёж (рис. 1.1).

2.2. Каноническое уравнение окружности

 

 

2.3.

  1. Примеры
    1. Составить каноническое или нормальное уравнение окружности с центром в точке ?? радиуса ??:

?? (0;0), ??=2;

 

Решение.

  1. Воспользуемся каноническим уравнением окружности радиуса ??: x2+??2=??2. В условиях примера ??=2. Подставляем это значение в

каноническое уравнение окружности. Получаем: x2+ ??2=22. Преобразуем: x2+??2=4.

 

  1.  ?? (−2;5), ??=6 ;

Воспользуемся нормальным уравнением окружности с центром в точке ?? (??0; ??0) радиуса ??: (??−??0) 2 +(??−??0) 2=??2. В условиях примера ??0=−2, ??0=5, ??=6. Подставляем эти значения в нормальное уравнение окружности. Получаем: (??−(−2)) 2+(??−5) 2=62. Преобразуем: (??+2) 2+(??−5) 2=36

 

  1.  
  2.  
    1.  
    2.  
    3.  
      1.  
      2. Найти центр и радиус окружности

 

 

 

  1. Эллипс
  1.  
  2.  
  3.  
    1.  Определение эллипса

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек ??1 и ??2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2??. Требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами.

 

  1.  Каноническое уравнение эллипса

 

 

 

  1.  Форма эллипса

Проанализируем полученное каноническое уравнение и установим форму эллипса.

1) Так как при замене ?? на –??, ?? на –?? каноническое уравнение эллипса не меняется, то эллипс симметричен относительно обеих осей координат.

2) Найдём точки пересечения эллипса с осями координат.

 

 

 

 

 

  1.  Примеры

 

Построить эллипс по его уравнению

 

 

 

 

 

 

 

  1. Прикладное применение

Эллипс находит широкое применение в различных областях техники, архитектуре, оптике, астрономии, повседневной жизни. Относительно эллипса известны следующие факты.

  • Если в одном из фокусов эллипса поместить источник света, то лучи, отражаясь от эллипса, соберутся в другом его фокусе (оптическое свойство эллипса). Также распространяются акустические волны, что используют архитекторы для создания звуковых эффектов.
  • И. Кеплер установил, что каждая планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, находящегося в одном из фокусов эллипса, что позволило повысить точность расчётов по определению положения планет по сравнению с системой Н. Коперника, считавшего все орбиты круговыми.
  • При запуске искусственного спутника Земли со скоростью, большей первой космической скорости, но меньшей второй, движение спутника будет происходить по эллипсу, причём центр Земли будет находиться в одном из его фокусов.
  • В последнее время популярностью пользуются эллиптические тренажёры, сочетающие в себе велотренажёр, беговую дорожку и степпер. Во время движения педали тренажёра описывают эллиптическую траекторию, благодаря чему нагрузка на суставы снижается и переносится на мышцы.
  • Форму эллипса имеют некоторые бильярдные столы. Если ударить по шару, находящемуся в одном из фокусов эллипса, то, отразившись от края стола, шар пройдёт через второй фокус.

 

  1. Гипербола
  2. Определение гиперболы

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек ??1 и ??2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2??. Требуется, чтобы эта постоянная была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Указанная разность берётся по абсолютной величине.

 

 

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
    1.  
    2. Каноническое уравнение гиперболы

 

 

  1. Форма гиперболы

                    Асимптотой называется прямая, расстояние от которой до точек кривой стремится к нулю при стремлении координаты какой-либо точки к ∞ или к −∞.

Прямые  являются асимптотами гиперболы.

 

 

 

 

  1. Примеры

Построить гиперболу по её каноническому или нормальному уравнению:

 

 

Решение:

 

  1. Прикладное применение

Гипербола находит широкое применение в различных областях тех-ники, астрономии, физике, строительстве, оптике, логистике, военной разведке, повседневной жизни. Вот некоторые факты:

 

  • При движении космического тела со скоростью, большей второй космической, траектория тела превратится в гиперболу, при этом ветви гиперболы будут приближаться к прямой, то есть к асимптотам гиперболы.
  • Комета или метеорит движутся по ветви гиперболы.
  • При бомбардировке атомного ядра -частица, пролетающая мимо ядра, движется по гиперболе.
  • Если вращать гиперболу вокруг её оси симметрии, не пресекаю- щей её ветвей, то получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом. Русский инженер В. Г. Шухов предложил использовать эту поверхность в строительной технике. Конструкции, выполненные в виде однополостного гиперболоида являются наиболее прочными. Они используются при строительстве водонапорных башен, высоких радиомачт и т. д.
  • Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса (оптическое свойство).
  • Если вращать гиперболу вокруг оси симметрии, пересекающей её ветви, то получится поверхность, называемая двуполостным гиперболоидом. Свойства этой поверхности используется в устройстве телескопов.
  • Вокруг гиперболоида строится сюжет фантастического романа

А. Толстого "Гиперболоид инженера Гарина". В действительности, в основу работы прибора, описанного в романе, положено оптическое свойство параболы, а не гиперболы.

 

 

  1. Парабола

 

  1. Определение параболы

Параболой называется множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки ??, называемой фокусом, равно расстоянию от этой же точки до фиксированной прямой, называемой директрисой. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через ??.

 

  1.  
    1.  
    2. Каноническое уравнение параболы

 

 

 

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
    1.  
    2.  
    3. Форма параболы

 

 

  1. Примеры

Построить параболу по ее каноническому или нормальному уравнению:

 

Решение:

 

 

  1. Арифметика комплексных чисел

Потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечение корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел. Здесь, например, при извлечении корня из положительного числа вводятся иррациональные числа. Однако, решение алгебраических уравнений второй степени и выше привело к необходимости извлекать корень из любого действительного числа: так появились комплексные числа.

 

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
    1. Определение комплексных чисел.

     Операции над комплексными числами

 

 

 

 

 
 

 

  1.  Геометрическое изображение комплексных чисел.

       Модуль и аргументы комплексного числа

       

 

 

  1. Геометрия комплексных чисел

 

 

Надпись: и 1

 

  1. Заключение

В ходе работы над проектом:

  • Был собран и систематизирован материал по кривым второго порядка, рассмотрены канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
  • Рассмотрена комплексная плоскость и геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел.
  • Решены примеры по заданию кривых второго порядка в комплексной плоскости.

В дальнейшем планирую продолжить работу над проектом, рассмотреть кривые второго порядка в полярной системе координат.

Считаю, что цель проекта достигнута.

 

  1. Источники
  • Н. В. Деменева «Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка»
  • С.Е. Городецкий, 2016-2017 уч. год, 10 кл. Математика. Комплексные числа
  • А. М. Тимохин, Г. С. Шахнович, «руководство к решению задач по теории функций комплексного переменного»
Просмотров работы: 158