Вычисление площади фигур по формуле Пика

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Вычисление площади фигур по формуле Пика

Кобелева Д.А. 1
1МБОУ СОШ № 4, г.Радужный
Гусейнова Р.А. 1
1МБОУ СОШ № 4,г.Радужный
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

Всегда было интересно, почему тетрадь по математике – именно в клеточку? Наверное, чтобы удобнее было записывать числа, а еще, чтобы легче было выполнять построения. Клетки на бумаге позволяют выполнять разные чертежи с помощью линейки. Но нужно помнить свойства геометрических фигур, ведь именно они позволяют использовать клетки в полной мере.

Однажды на уроке математики учитель предложил найти нам площадь фигуры по клетчатой бумаге. Все сразу начали делить эту фигуру на составные, и это заняло у нас много времени. И тут я задалась вопросом, какие еще есть способы нахождения площадей фигур по клетчатой бумаге. В поисках рационального способа нахождения площади многоугольника по клетчатой бумаге в интернете, я наткнулась на формулу Пика. Мне сразу же стало интересно,как она работает.

Актуальность работы заключается в том,что задачи по клетчатой бумаге рассматриваются в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ. Существуют разные способы выполнения таких заданий: способ сложения, способ вычитания и др. [1].Формула Пика не изучается в школьной программе курса геометрии. Поэтому, считаю изучение этого материала полезным для применения его не только в дальнейшем учебном процессе, но и для решения нестандартных олимпиадных задач.

Новизна работы заключается в применении формулы Пика в школьной программе.

Гипотеза: вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задач по сравнению с вычислением площади фигур по формулам планиметрии.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Цель исследования:

Изучение формулы Пика и ее применение для вычисления площади многоугольников по клетчатой бумаге.

Задачи:

1. Изучить литературу по теме исследования.

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

4.Провести эксперимент, направленный на выявление эффективного способа вычисления площадей фигур по клетчатой бумаге.

5. Сделать выводы по результатам работы.

6. Подобрать наиболее интересные,наглядные примеры.

7.Разработать рекомендации по использованию формулы Пика в школьной программе.

Методы исследования:

1. Моделирование.

2. Анализ и классификация информации.

3. Синтез.

4. Сравнение,обобщение.

Глава 1. Исследование формулы Пика.

1.1 Формула Пика.Решетки.Узлы.

Свою исследовательскую работу я начала с выяснения вопроса: площади каких фигур я смогу найти? Применить известные формулы для вычисления площадей различных треугольников и четырехугольников я смогла. А как найти площади многоугольников, у которых количество сторон больше 4?

Формула Пика справедлива для многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равностоящих прямых. Эти прямые называются основными целочисленными прямыми, а точки их пересечения называются узлами решетки. Прямая, соединяющая два узла решетки, называется целочисленной прямой. Основные целочисленные прямые являются целочисленными линиями, но есть также много других целочисленных линий. Многоугольник, ребра которого лежат на целочисленных прямых, называется целочисленным многоугольником[2].

Внутренние узлы многоугольника - красные.

Узлы на гранях многоугольника - синие.

Теорема Пика утверждает, что площадь целочисленного многоугольника равна В + Г/2 - 1 , где В — число узлов решетки внутри многоугольника, а Г — число узлов решетки на границе многоугольника. Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал. Однако, в 1969 году, польский учёный Штейнгауз, один из основоположников Львовской математической школы, включил его в свой знаменитый “Математический калейдоскоп”. С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью. Особенностью данной формулы является тот факт, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге[3].

Чтобы оценить площадь многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы примем за единицу). Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Александром Пиком (1859-1942) в г. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет.Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильберта. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк.В частности, им боле 50 научных работ. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчета площади многоугольника. В германии эта теорема включена в школьные учебники [4].

Глава 2. Применение формулы Пика.

2.1. Первый опыт по вычислению площади фигур.

Мы на уроке математики в 5 классе рассмотрели следующую задачу: Найти площадь фигуры по клетчатой бумаге.

Сначала мы нашли площадь фигуры по формуле Пика, у нас получилось-11,5 квадратных единиц. Мы засомневались в формуле Пика, так как подсчитали площадь этого же многоугольника другим способом, разбив его на два треугольника. Получили,что площадь многоугольника равна 12,5. (Приложение 1)

Такого расхождения не должно было быть,подумали мы. Стали искать ошибку и нашли ее. В нашей задаче количество внутренних узлов-10 точек, граничных-7 точек, тогда: S =10+ 7:2 – 1 = 10 + 3,5 – 1 = 12,5.

Значит, для этого многоугольника эта формула справедлива.

2.2 Задачи из КИМов ОГЭ и ЕГЭ.

Знакомство с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ОГЭ и ЕГЭ. Данный вид задач входит в один из разделов части единого государственного экзамена по математике.

С помощью этой формулы можно решать большой банк задач, которые предлагают на экзаменах. Можно уверенно утверждать, что маленькая формула Пика заменит целый ряд формул,необходимых для решения подобных задач.

Для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не выяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, формула Пика-будет спасательным выходом из подобной ситуации. А с другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы).

Задача из ЕГЭ (профильный уровень):

З адание 3  №  27547

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (с м. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах

S=6+5/2-1=7,5

Задача из ОГЭ:
Задание 19 No 323790
Площадь од ной клетки равна 1. Найдите площадь закрашенной фигуры [5].

S=5+8/2-1=8

2.3. Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Я решила рассмотреть различные фигуры по клетчатой бумаге и найти их площадь. Провела сравнительный анализ решения задач на нахождения площадей многоугольников по клетчатой бумаге по формулам планиметрии и формуле Пика. (Приложение 2)
Мое внимание привлекли более интересные фигуры по клетчатой бумаге , площадь которых можно найти только по формуле Пика.
Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на черт еже. Размер каждой клетки равен 1 см * 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

Задача 1: Найти «площадь ракеты»

Дано:

Г=20, В=25.

Решение: S=25+20:2-1=34 (кв.ед.)

Ответ: 34 кв.ед

Задача 2: Найти площадь «плачущего сердца»

Д ано:

Г=10, В=4.

Решение: S=4+10:2-1=8(кв.ед.)

Ответ: 8 кв.ед

 

Я предложила сравнительный анализ решения задач на нахождение площадей многоугольников по клетчатой бумаге по формулам планиметрии и формуле Пика. (Приложение 2)

 

2.4. Эксперимент и исследование
Мы решили провести эксперимент для того, чтобы выяснить какой из рассмотренных способов является самым эффективным (безошибочным и малозатратным по времени).
Обучающимся 9-11 классов мы напомнили и объяснили способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Каждому нужно было решить 2 задачи и засечь время их выполнения.
Затем мы рассказывали им о формуле Пика, показали на примерах её применение и предложили решить те же задачи, но по формуле Пика (снова засекали время). (Фото 1,2)

Задача 1.

1 способ: Нужно разбить фигуру на трапецию и треугольник. Найти их площади и сложить.

2 способ: Формула Пика

Задача 2.

1 способ: Достроить до прямоугольника, чтобы треугольник целиком в нем содержался. Найти площадь прямоугольника, площади трех прямоугольных треугольников, затем из площади прямоугольника вычесть сумму площадей трех треугольников.[4]

2 способ: Формула Пика (Приложение 3)

Проведенный эксперимент показал, что: 

1) практически никто из учеников не знал формулу Пика;

2) 26 из 50 учащихся допустили ошибки при решении задач альтернативными способами;

3) 14 из 50 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;

4)количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, сократилось почти в 2 раза.

5) количество безошибочных работ увеличилось в 2 раза, а у 10-11-классников – в 2,6 раза;

6) время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось почти в 2 раза. 

 

3. Заключение

 В результате своей работы я изучила много справочной, научно-популярной литературы, отобрала материал для исследования,проанализировала и систематизировала полученную информацию. Провела эксперимент и доказала свою гипотезу, что вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии. Рассмотрела различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, подобрала нестандартные задания. Эти задачи отличаются от обычных задач, предложенных в действующих учебниках и задачниках по математике. Эффективность использования данной формулы моим учителем математики можно наблюдать в успешной сдачи ГИА выпускниками (Приложение 4).

Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению, поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии.

Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. 

 В результате работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедилась в их многообразии. 

Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от  простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Результат моей работы-это разработанные, мною рекомендации по использованию формулы Пика. (Приложение 5)

4. Список используемой литературы.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы. М. Просвещение, 2016.

2.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

3. Вавилов В.В, Устинов А.В. .Многоугольники на решетках. М.МЦНМО,2006.

4. Математика,которая мне нравится [Электронный ресурс] Режим доступа: http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-1942/(дата обращения 20.02.2020)

5.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2019 – 2020.

Приложения

Приложение 1

Приложение 2

Сравнительный анализ решения задач на нахождение площадей многоугольников по клетчатой бумаге по фрмулам планиметрии и формуле Пика

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

Задача №1

S=Sпр-(2S1+2S2)

Sпр=4*5=20 см2

S1=(2*1)/2=1см2

S2=(2*4)/2=4см2

S=20-(2*1+2*4)=10 см2

Ответ:10 см².

В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Ответ: 10 см².

З адача №2

S=Sкв-(S1+2S2)

Sкв=42=16 см2

S1=(3*3)/2=4,5см2

S2=(1*4)/2=2см2

S=16-(4,5+2*2)=7.5 см2

В = 6, Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

З адача №3

S=Sпр-(S1+S2+ S3)

Sпр=4*3=12 см2

S1=(3*1)/2=1,5см2

S2=(1*2)/2=1см2

S3=(1+3)*1/2=2см2

S=12-(1,5+1+2)=7.5 см2

В = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

З адача №4

Sтр=(4+9)/2*3=19,5 см2

Ответ: 19,5 см2

В = 12, Г = 17

S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

Ответ: 19,5 см2

Задача № 5.

Нет решения

Г=20, В=25

S=25+20:2-1=34

Ответ: 34 кв.ед.

Задача № 6.

Нет решения

Г=10, В=4.

S=4+10:2-1=8(кв.ед.)

Ответ: 8 кв.ед.

Приложение 3

Сравнительный анализ времени, затраченного на решение задач.

Результаты эксперимента:

Количество участвующих в эксперименте

Затраченное время

Количество ошибок

 

1 cп

2 cп (ФП)

1 сп.

2 сп.

1/9

5

4

1

1

2/9

6

4

0

0

3/9

4

3

0

0

4/9

8

5

1

0

5/9

5

3

0

0

6/9

11

6

2

1

7/9

9

5

1

1

8/9

6

3

1

0

9/9

5

4

0

0

10/9

9

4

0

0

11/9

7

4

1

0

12/9

5

3

1

1

13/9

6

3

0

0

14/9

8

4

0

0

15/9

10

6

1

2

16/9

4

5

1

1

17/9

7

6

1

0

18/9

12

9

2

0

19/9

6

3

1

0

20/9

5

3

0

0

21/10

5

3

1

0

22/10

6

3

1

1

23/10

7

4

2

1

24/10

6

3

0

0

25/10

7

5

2

2

26/10

5

4

1

2

27/10

5

3

0

0

28/10

5

3

0

0

29/10

4

2

2

1

30/10

7

4

0

0

31/10

5

3

0

0

32/10

6

4

1

0

33/10

6

3

0

0

34/10

6

3

0

0

35/10

6

3

1

0

36/11

5

3

0

0

37/11

7

4

1

0

38/11

4

2

0

0

39/11

4

2

0

1

40/11

4

3

1

0

41/11

4

3

0

0

42/11

4

3

1

0

43/11

5

2

0

0

44/11

5

3

0

0

45/11

4

2

0

0

46/11

4

3

0

0

47/11

4

3

1

1

48/11

4

3

0

0

49/11

4

2

1

1

50/11

4

2

1

0

Всего

(50 учеников)

       

Общие результаты эксперимента:

 

Затраченное время - среднее значение (мин)

Количество уч-ся, допустивших ошибки

Безошибочных работ

1 сп.

2 сп.

1 сп.

2 сп.

1 сп.

2 сп.

9 класс

(20 учеников)

6,9

4,35

12

6

8

14

10 – 11 класс

(30 человек)

5,1

3

14

8

16

22

Всего

(50 учеников)

5,8

3,54

26

14

24

36

Фото 1

 

Фото 2

Приложение 4

Приложение 5

Рекомендации по использованию формулы Пика.

Преимущества формулы Пика:

Формула универсальна для всех многоугольников.

Проста для запоминания.

Удобна в применении.

Многоугольник может быть любой формы.

Алгоритм использования формулы Пика:

Отметить внутренние и граничные узлы.

Посчитать количество внутренних узлов.

Посчитать количество граничных узлов.

Находим площадь многоугольника по формуле S=В+Г/2-1

В-внутренние узлы, Г-граничные узлы.

Применение формулы Пика при решении задач:

Задача 1.

Решение:

Г=10, В=27.

S=27+10:2-1=31(кв. ед.)

Ответ: 31 кв.ед.

Задача 2.

Решение:

Г=3, В=0.

S=0+3:2-1=1 (кв. ед)

Ответ: 1 кв. ед.

Задача 3:

Решение:

Г=6, В=14.

S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)

Ответ: 16 кв.ед.

Задача 4:

Решение:

Г=26, В=32.

S=32+26:2-1=44(кв.ед.)

Ответ: 44 кв.ед.

 
Просмотров работы: 114