XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Удивительный мир пропорций
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Пропорция обретается не только в числах и мерах,
но также в звуках, тяжестях, временах и положениях
и в любой силе, какая бы она ни была»
Леонардо да Винчи
ВВЕДЕНИЕ
В древности люди осознавали, что окружающий их мир пребывает в гармонии и равновесии. Они прибегали к помощи мифов и религии, чтобы больше узнать о порядке, которому подчинена природа. Сегодня мы обращаемся главным образом к ученым и математикам, чтобы они помогли нам объяснить то, что происходит в окружающем нас мире.
Актуальность проекта:
В наше время трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о пропорции. Понятие «Пропорция» занимает важное место в курсе всей математики вообще. Эта тема является одной из основных, базовых тем курса.
Практическая значимость:
Заключается в том, что данный материал можно использовать на уроках математики, на внеурочных занятиях. Он развивает воображение, мышление, смекалку.
Цель исследования:
Сформировать представление о пропорции через анализ имеющихся уже знаний, а также анализ деятельности человека и явлений живой природы.
Задачи:
анализ научно-литературных источников по теме: «Пропорция»;
изучение свойства пропорции в окружающем нас мире;
применение свойства «золотого сечения» для деления целого на две неравные части, с точки зрения прекрасной формы;
выяснить, в каких науках, кроме геометрии, мы можем встретиться с пропорцией.
Объект исследования: пропорция
Предмет изучения: применение пропорции в жизни человека.
Гипотеза: Золотая пропорция знаменует собой вершины эстетических изысканий, предел гармонии Космоса. Свойство «ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ» убеждает нас в неразрывном единстве «математики и гармонии».
Методология исследования:
Изучение определения пропорции;
Знакомство с историей возникновения пропорции;
Исследование роли пропорции в нашей жизни;
Применение свойства «золотого сечения» для деления целого на две неравные части, с точки зрения прекрасной формы.
Моя исследовательская работа посвящена изучению практического применения пропорциональности в науке и жизни человека. В этой работе, я попыталась найти тесную связь существования пропорций в разных областях науки, а так же в реальной жизни человека. Оказывается, что в повседневной жизни нередко возникают ситуации, когда пропорции помогают решать различные задачи.
Для начала я изучила различные источники информации, проанализировала и систематизировала материал, интернет-ресурсы, изучила уровень математической культуры одноклассников методом опроса (анкетирование) и анализа (статистической обработки данных).
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Теоретическая часть
История возникновения пропорции
Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н. э., переводя на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение». С тех пор вот уже 2000 лет пропорцией в математике называют равенство между отношениями четырёх величин a, b, c, d:
Пропорции начали изучать еще в древности. В IV в. до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.
Пифагор – выдающийся древнегреческий философ и математик был убежден в том, что в природе существует органическая гармония, которая может быть выражена посредством чисел и пропорции, а также в то, что эти пропорции можно применять для строительства домов или других зданий.
Пифагор провозглашал совершенно определенные пропорциональные соотношения, которые он считал идеальными для благополучного существования людей. Он назвал это «Золотой серединой» (имея в виду то, что такие пропорции представляют собой нечто среднее), «Золотым сечением». Эта пропорция иногда называется «Священной пропорцией». Пифагор был тем человеком, который довел соотношение разных частей одного целого до трансцендентного стандарта. Такие пропорции, воплощенные в чем-либо, обычно радуют глаз, и они встречаются повсюду в естественной природе.
Большой научный интерес вызывает деление отрезка в отношении «золотого» сечения.
Что такое пропорция?
«Пропорция» - происходит от латинского слова proportio, означающего соразмерность, определенное соотношение частей между собой. В математике: равенство двух отношений. Пропорции используют с древности при решении разных задач в математике. Ещё в древней Греции математики использовали такой аппарат, как ПРОПОРЦИЯ.
Практическая часть
Пропорция в биологии, медицине
В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд. Отношения и пропорции используются также в аптеках при изготовлении лекарств и лечебных напитков. Чтобы изготовить лекарственный препарат надо точно знать, сколько частей приходится на какую-либо часть.
Биологи на своих уроках, когда рассматривают, допустим, клетки кожицы луковицы, увеличивают с помощью микроскопа её размеры. Микроскопом также пользуются лаборанты, определяющие состав крови, мочи и т.д.
Пропорция в географии
В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает во сколько раз расстояние на плане меньше, чем указанное расстояние на самом деле.
Благодаря знаниям по теме «Пропорция» удалось смастерить подобие Земного шара – глобус.
Пропорции в искусстве, живописи
Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, превосходившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Все говорили о том глубоком знании Леонардо да Винчи о строении человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту загадочную улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.
Пропорции в геометрии
Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:
1. На две равные части – AB: AC = AB: BC;
2. На две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
3. На две части, когда AB: AC = AC: BC
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение –это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей.
a: b=b: cилиc: b=b: a
Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Многие предметы прямоугольной формы выполнены на основе «золотого сечения», так как это приятная для человеческого глаза форма. Окружающие предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длины, близкое к 0,618.
Пропорции в черчении
На уроках черчения при выполнении чертежей тоже нужно соблюдать масштаб, значит, и здесь присутствует пропорция.
Пропорции в химии
Больше всего сталкиваются на уроках химии с пропорциями при решении задач на концентрации растворов (процентное содержание вещества в растворе). Точные весовые пропорции различных веществ при соединении дают возможность получения нового вещества.
Пропорции в физике
С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией, где M и m – массы грузов, а L и l – «плечи» рычага. M : m = L : l
Пропорции в математике
Отношения 3:2 и 12:8 равны, т. к. 3:2=1,5 и 12:8=1,5.
Получаем равенство 3:2=12:8, или 3/2=12/8.
Читают: «Отношение 3 к 2 равно отношению 12 к 8», или «3 так относится к 2, как 12 относится к 8».
Равенство двух отношений называют пропорцией:
m/k = n/t, или m:k = n:t .
Все члены пропорции отличны от нуля: m≠0, k≠0, n≠0, t≠0.
Обрати внимание!
Числа m и t называют крайними членами пропорции, а числа k и n — средними.
Основное свойство пропорции:
произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Если m/k = n/t, или m:k = n:t , то m⋅t = k⋅n.
Действительно, в пропорции 3/2=12/8 произведение крайних членов 3⋅8=24 и произведение средних членов2⋅12=24 равны.
Верно и обратное утверждение. Если m, k, n и t — не равные нулю числа, и m⋅t=k⋅n, то m/k=n/t
Пример:
если 3⋅8=2⋅12, то3/2=12/8.
В пропорции 3/2=12/8 поменяем местами средние члены или крайние члены, тогда получим снова верные равенства:
3/12=2/8 и 8/2=12/3.
Пропорции в архитектуре
Пропорция в архитектуре – отношение подобных отрезков или фигур, составляющих архитектурное сооружение и придающих ему целостность и гармоничность. Архитектурные пропорции определяются как художественным замыслом, так и конструктивно-техническими требованиями.
Существует несколько теорий архитектурных пропорций, относящихся к различным историческим периодам. В своей основе они имеют понятие симметрии.
При постройке храма в честь богини Дианы римляне взяли такую пропорцию, которой отличаются стройные женщины: толщина колоны составила лишь 1/8 ее высоты. Благодаря этому колонны казалась выше, чем она была на самом деле, как раз за счет уменьшения толщины. В архитектуру вошли оба вида колонн, сохраняющие одна мужскую, другая женскую пропорции в отношениях между основанием и высотой.
Храм богини Дианы Храм Василия Блаженного в Москве
Пропорции в быту
А летом, в период заготовки продуктов впрок, ваши мамы тоже пользуются пропорциональными соотношениями. Например, в магазине часто продается 80% уксусная эссенция, а в рецептах заготовки продуктов используется столовый 9% столовый уксус. Как решить эту проблему?
Решим задачу «старинным арифметическим способом»:
Имеется 90 г 80% уксусной эссенции. Какое наибольшее количество 9% столового уксуса из нее можно получить? Столовый уксус из эссенции можно получить, разбавив ее водой, т. е. 0% «уксусом». Применяя старинный способ, имеем схему: из которой получаем, что 9 частей эссенции нужно разбавить 71 частью воды, т. е. к 90 г эссенции следует добавить 710 г воды.
В результате получится 90 + 710 = 800 г столового уксуса
• без пропорций не удастся приготовить суп или компот,
• нельзя по своему размеру связать свитер
• и сшить брюки,
• невозможно точно рассчитать количество корма
• или лекарства для своего питомца.
Практическая область страны «Пропорция»
Из 1 кг крупы получается 2,1 кг гречневой каши. Сколько нужно взять крупы, чтобы получить 1600 г каши?
|
Решение: Мы имеем отношение 1 кг крупы = 2, 1 кг каши х кг крупы = 1,6 кг каши х = 0,762 кг. |
В школе две уборщицы могут сделать уборку за 3 ч. Сколько нужно времени, чтобы три уборщицы выполнили ту же работу?
|
Решение: Мы имеем отношение 2 уборщицы - 3 часа 3 уборщицы - х часов обратно пропорциональная зависимость х = 2 часа |
Определите процент всхожести семян гороха, если из 200 горошин взошло 170 штук?
|
Решение: Мы имеем отношение 200 горошин = 100 % 170 горошин = х % х = 85 % |
Заведующая пришкольным участком сообщила, что на 3 сотки у нее ушло 9 ведер картофеля. А огород у нее 15 соток. Сколько ведер картофеля нужно, чтобы засадить весь огород?
|
Решение: Мы имеем отношение 3 сотки = 9 ведер 15 соток = х ведер х = 45 ведер |
В школьном коридоре длиной 33 м нужно покрасить пол. Покрасив 11 м, израсходовали 4,125 кг краски. Сколько нужно краски, чтобы выкрасить остальной пол?
|
Решение: Мы имеем отношение 11 м = 4,125 кг краски 22 м = х кг краски х = 8,25 кг краски |
Повар школы решил сварить варенье из смородины. По рецепту на 2 кг ягод расходуют 3 кг сахара. Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 2,5 кг смородины?
|
Решение: Мы имеем отношение 2 кг ягод = 3 кг сахара 2,5 кг ягод = х кг сахара х = 3,75 кг сахара |
Решите задачи:
Для лекарственного отвара ромашки на 100г кипятка необходимо 20 г сухой ромашки. Сколько г ромашки необходимо для 500г отвара.
Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 250 мг два раза в день в течение 7 дней. В одной упаковке лекарства содержится 10 таблеток по 125 мг. Какое наименьшее количество упаковок понадобится на весь курс лечения.
Найдите расстояние от Москвы до Северного полюса, если на карте это расстояние – 3,5 см, а М 1:100000000.
На строительство дома идет 4 тыс. штук кирпича. Сколько тысяч штук кирпича необходимо для строительства 15 таких же домов.
Для перевозки песка при строительстве потребовалось 14 автомашин грузоподъемностью 4,5 т. Сколько потребуется автомашин грузоподъемностью 7 т для перевозки этого же песка?
Выводы
- Исследования показали, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой пропорциональными зависимостями и эти зависимости люди используют в повседневной жизни.
- Пропорция играет огромную роль в биологии и медицине, географии, живописи, геометрии, черчении, химии, физике, математике и в быту.
- Пропорция широко используется в архитектуре. Симметрия форм зданий, отдельных их элементов придает им красоту. Использование симметрии в конструкции зданий, симметричных элементов в отделке, а также симметрично расположенные строения создают красоту и гармонию.
- При изучении золотой пропорции в частности, в архитектуре, я пришла к выводу, что математика помогает создавать целостное представление о произведениях и убеждает нас в неразрывном единстве «математики и гармонии». Таким образом, моя гипотеза полностью подтвердилась.
Заключение
В своем проекте по математике "Удивительный мир пропорций" мною была изучена теория пропорции. Пропорции сопровождают нас повсюду и являются неотъемлемой частью нашей жизни.
Совершенные конструкции в космическом пространстве, завитки самого древнего существа на Земле – улитки Наутилус и расположение визуальных элементов на полотнах великих мастеров живописи находятся в соотношении 0,618 или 1,618. Сплавы металлов обладают лучшими свойствами, если атомарные веса составляющих их элементов находятся в данной пропорции. Совсем недавно было обнаружено, что существует наномир, подчиняющийся золотой пропорции. Окислы урана и других металлов образуются в соответствии с числами Фибоначчи. Можно предполагать, что золотая пропорция является основополагающим принципом образования химических соединений.
Золотая пропорция – понятие математическое, ее изучение – это, прежде всего, задача науки. Но она уже является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства. В своей работе я рассмотрела лишь некоторые области, в которых сознательно или интуитивно применялась «золотая пропорция»: скульптуру, архитектуру, поэзию, живопись, музыку. Но золотая пропорция определяет и закономерности развития многих организмов, ее присутствие отмечают почвоведы, химики, геологи, астрономы и др. ученые.
С глубокой древности люди используют математический аппарат в повседневной жизни. Одним из них является пропорция. Она используется, начиная с приготовления пищи и заканчивая произведениями искусства, такими как скульптура, живопись, архитектура, а также в живой природе.
В результате исследования я установила: в мире существует уникальная пропорция, которую называют «формулой красоты», что человек применяет пропорцию в своей деятельности и сам является продуктом природы, отвечающим закону пропорции.
Исследовательская работа по математике на тему "Удивительный мир пропорций" будет интересна учащимся всех классов.
В процессе своей работы я расширила знания о пропорциях, убедилась, что они присутствуют во многих областях жизни, с пропорцией мы сталкиваемся в живой и не живой природе, при изучении различных предметов. Пропорция действительно создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.
Над темой я работала с ноября месяца. В дальнейшем я планирую расширять свой кругозор, пополнять знания по этой теме.
Я выбрала эту тему потому, что люблю математику.
Надеюсь на то, что моя исследовательская и практическая работа вам была понятна, интересна и познавательна.
Спасибо за внимание!
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
И.Агеева “Занимательные материалы по информатике и математике” –М.: Творческий центр, 2005.
CD-ROM “От плуга до лазера 2.0”, Новый диск, 1998 г.
Математика: наглядная геометрия: учеб. Для учащихся 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Т.Г. Ходот, А.Ю. Ходот. – М.: Просвещение, 2007. – 143с.
Математика 5 класс Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Учебник для образовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2013 г.
Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая пропорция. Симметрия вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы/авт.-сост. Л.С. Сагателова, В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2007. – 158с.
Математика. Школьная энциклопедия. С.М. Никольский.- М: Большая Российская энциклопедия: Дрофа 1997-527с.
http://http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/
Приложение 1
АНКЕТА
1) Знаете вы, что такое пропорция?
2) Знаете,как найти неизвестный член пропорции?
3) Знаете, где в природе можно встретить пропорцию?
4) Знаете, что такое «Золотое сечение»?
5) Знаете, где применяют «золотое сечение»?
Приложение 2