Множества на диаграмме Эйлера-Венна и ее практическое применение

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Множества на диаграмме Эйлера-Венна и ее практическое применение

Ахмет Бояубай Қазбулатұлы 1
1«Назарбаев Интеллектуальная школа химико-биологического направления» города Павлодар
Сугралинова Б.А. 1
1НИШ ХБН г.Павлодар

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
   

Введение

Множества встречаются в различных областях знаний: математике, физике, биологии, химии, лингвистике и т.д. Множества состоят из различных элементов, например, страны, дома, птицы, числа, фигуры, точки и т.д. В математике множество рассматривается в каждой задаче: алгебраические выражения, решение уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств, любые текстовые задачи, функции, расположение множества точек, геометрические задачи, логика, статистика, вероятность и т.д.

При решении большинства задач на множество применяют диаграмму Эйлера-Венна, поэтому данная тема очень актуальна в области математики.

Цель работы: изучить множества и действия над ними, рассмотреть решение практических задач на множество с применением диаграммы Эйлера-Венна, провести исследование среди учащихся 7-9 классов и смоделировать макет по множествам в 3D формате.

Для достижения цели необходимо выделить следующие задачи исследования:

- изучение понятия множества;

- определение видов множества;

- рассмотрение действий над множествами;

- изучение диаграммы Эйлера-Венна;

- решение задач на множества с применением диаграммы Эйлера-Венна;

- использование диаграммы Эйлера-Венна при исследовании;

Гипотеза: зная понятие множества и решение их с помощью диаграммы Эйлера-Венна приведет к упрощению решения задач и к сокращению времени на их выполнение, а применение его покажет и докажет востребованность в сравнении и нахождении неизвестного множества.

Объект исследования: Множества.

Предмет исследования: Множества на диаграмме Эйлера-Венна.

Работа состоит из теоретической, практической и исследовательской части. В теоретической части раскрыт вопрос о множествах, видах множества, действиях над ними и что представляет собой диаграмма Эйлера-Венна, а также различие кругов Эйлера и Венна. В практической части приведены решения пяти авторских сложных задач на множества с помощью кругов Эйлера-Венна. В исследовательской части проводится анкетирование среди учащихся 7-9 классов. Анализируя данные анкеты составляются диаграммы для решение определенных вопросов. Моделируется на 3D принтере макет из трех множеств.

1. Теоретические аспекты множества

1.1. Что такое множество?

Впервые изучение бесконечных множеств и множеств в неявной форме рассматривалось ещё в Древней Греции. Затем множества встречались в первых идеях Галилео Галилея, а также в начале 1800-х годов в работах Гаусса как бесконечное множество. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918гг). Его многочисленные работы были опубликованы в период с 1872 года по 1897 год. Георг Кантор говорил, что «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». [1]

Георг Кантор (1845-1918гг) немецкий математик

К сожалению, нет точного определения множества, только описательное объяснение.

Множество – этосовокупность каких-либо объектов с определенными характеристическими свойствами. Объекты множества называются элементами множества.Множество может состоять из различных элементов – здания, книги, ученики, числа, фигуры и т.д. Множества обозначаются заглавными буквами А, В, С и т.д., а элементы множества маленькими буквами а, в, с и т.д. латинского алфавита и записываются в фигурных скобках, например, А = { , , , ....}.

Принадлежность элемента к множеству записывается в следующем виде: ϵ А и читается: « принадлежит множеству А», где А – множество, – элемент множества А, ϵ - знак «принадлежит». Например, в библиотеке находится N количество книг, библиотека является множеством, а любая книга в библиотеке будет элементом этого множества.

Кроме множества есть такое понятие как подмножество. Некоторое множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В и обозначается А В. Например, допустим, в школе учатся 1000 учащихся, а в 8 классах учатся 147 учеников. Значит, учащиеся 8 класса являются подмножеством множества школы.

Следующее понятие множества - мощность множества. Мощность множества – это количество одинаковых элементов во множестве и обозначается: |С| или n(C) - мощность множества С.

Например, в корзине для мячиков есть всего 5 одинаковых мячей, корзина это множество, а 5 одинаковых мячей это мощность множества и запись имеет вид: n(C) = 5.

Существует различные виды множеств:

1. Пустое множество – это множество, в котором нет элементов. Например, в кошельке нет денег и обозначается как К ϵ Ø.

2. Конечное множество – это множество, в котором содержится конечное число элементов. Например, количество страниц в книге 96, значит это конечное множество, т.е. К = {1, 2, 3…..96}

3. Бесконечное множество – это множество, в котором бесконечно много элементов. Например, количество чисел в последовательности Фибоначчи, т.е. Ф = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…….}

4. Универсальное множество – это множество, в которое входят все множества в качестве подмножества. Например, все числовые множества являются подмножеством действительных чисел или множество точек любой геометрической фигуры это подмножество в множестве всех точек геометрического пространства. Обозначается большой буквой Е. [2]

1.2. Действия над множествами

Над множеством, как и над любым понятием в математике, можно выполнить некие действия. Рассмотрим некоторые действия:

1. Пересечение множеств (произведение) – это новое множество, которое состоит из общего количества одинаковых элементов, входящих в каждое из нескольких множеств А, В, С, D .... и обозначается, если дано два множества А и В, а новое множество С: С = AB или С = А × В ↔ С = В А или С = В × А. Изображение пересечения на рисунке 1.

а) AB = С в) AB = {С} с) AB = Ø

Рис. 1. Пересечение множеств А и В

Пример, ученики посещают спортивные секции: теннис, борьба, шахматы и верховая езда. Пересечением будет спортсмен, который посещает все секции.

Приведем пример из математики:

1) Даны множества М = {1, 2, 3, 5, 8} и К = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. Найти пересечение множеств.

Пересечением множеств М и К: М К = {1, 3, 5}

2) Даны множества М = {4, 6, 7, 9, 10} и К = {1, 3, 5, 7, 12, 15}. Найти пересечение множеств.

Пересечением множеств М и К: М К = {7}

3) Даны множества М = {14, 16, 18} и К = {1, 3, 5, 7}. Найти пересечение множеств.

Пересечением множеств М и К: М К = Ø.

2. Объединение множеств (сложение) – это новое множество, которое состоит из всех элементов входящих в данные множества (А, В, С, D ....), но повторяющиеся элементы считают только один раз. Если дано два множества А и В, а новое множество С, то С = А В или С = А + В ↔ С = В А или С = В + А. Изображение пересечения на рисунке 2.

Рис. 2. Объединение множеств А и В

Пример, даны два слова. А множество всех букв слова «компьютер» и В множество всех букв слова «монитор». Найти число букв в объединении множеств А и В.

Объединение множеств А и В: А В = {К, О, М, П, Ь, Ю, Т, Е, Р, Н, И}

Пример из математики: Даны множества М = {1, 2, 3, 5, 8} и К = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. Найти объединение множеств.

Объединением множеств М и К: М К = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13}

3. Дополнение множества В – это новое множество, которое состоит из всех элементов универсального множества А, кроме элементов множества В. Обозначается = А / В. Изображение дополнения на рисунке 3.

Рис. 3. Дополнение множеств А и В

Пример, дано множество М = {1, 2, 3, 5, 8} и множество натуральных чисел N. Найти дополнение множества М относительно N.

Дополнением множества М: = N / М = {4, 6, 7, 8, 9, 10 …..}

4. Разность множеств А и В – это новое множество, в котором есть элементы первоначального множества А, но нет элементов второго множества В. Обозначается А / В, но А / В ≠ В / А. Изображение разности на рисунке 4.

Пример, даны множества М = {2, 5, 6, 7, 8} и К = {1, 2, 7, 10, 15}. Найти разность множеств.

Разность множеств М и К: М / К = {5, 6, 8}

Разность множеств К и М: К / М = {1, 5, 10, 15}.

а) A /B в) B / А

Рис. 4. Разность множеств А и В

Рассмотрено четыре основных действий над множествами, которые будут необходимы для раздела практического применения. [3]

1.3 Диаграмма Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера и Венна применяются при решении задач для наглядного представления о множествах и действиях над ними. В данную диаграмму объединены круги Эйлера и диаграмма Венна (рис.5). Для начала расскажем об авторах данных диаграмм, а затем разберемся, в чем же эти круги одинаковы и в чем их различие.

Рис. 5. Леонард Эйлер и Джон Венн

Леонард Эйлер (1707-1783) математик, механик, физик, астроном, внесший большой вклад в развитие мировой науки. Эйлер впервые собрал в единую систему алгебру, анализ, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины, а также сделал собственные открытия. Он написал более 850 работ по различным отраслям.

Джон Венн (1834-1923) английский математик и логик, известный как изложивший графический метод решения логических задач и расширивший математическую логику Джорджа Буля. Джон Венн является автором книги «Символическая логика», изданная в Лондоне в 1881г.

Диаграммы Венна и Эйлера очень схожи, так как основаны на теории множеств. Если же внимательно изучить данные диаграмм, то можно найти различие между ними. Это различие очень тонкое, делающее диаграммы уникальными. Диаграмма Венна показывает различные логические взаимоотношения между множествами, а диаграмма Эйлера также показывает эти взаимоотношения, но только те которые существуют в реальной действительности. Приведем пример для такого различия.

Пример 1. Подмножеством трех видов растений возьмём водоросли, мхи и папоротники (таблица 1). Найди комбинации пересечений.

Таблица 1. Виды растений

Водоросли

Мхи

Папоротники

Диатомовые водоросли

Ундария перистая

Эггагропила Линнея

Фукус пузырчатый

Золотистые водоросли

Кукушкин лен

Маршанция

Сфагнум

Фунария

Тортула

Орляк

Голокучник

Щитовник

Папоротник Таиландский

Костенец гнездовой

Задачу решим с помощью диаграммы Венна (рис.6а) и диаграммы Эйлера (рис.6в).

Из данных диаграмм видно, что круги в диаграмме Эйлера не пересекаются, так как данная диаграмма показывает только допустимые в реальной действительности комбинации, т.е. папоротники не могут быть мхами, а мха не может быть водорослью.

Рис. 6а. ДиаграммаДжона Венна

Рис. 6в. Диаграмма Леонард Эйлер

По высказыванию Джона Венна любые комбинации, даже если они не могут существовать в реальном мире, но в диаграмме Венна круги пересекаются. Поэтому некоторые задачи, решенные диаграммой Венна, переводят на диаграмму Эйлера.

Рассмотрим другой пример с колодой карт.

Пример 2. Дана колода карт. Необходимо составить композицию из подмножеств: красных карт, черных карт и крести.

Диаграмма Венна Диаграмма Эйлера

Рис. 7. Различие диаграмм Эйлер и Венна

Из этих диаграмм видна разница между всеми возможными и реальными комбинациями (рис.8). Круги в диаграмме Эйлера не пересекаются, так как черные и красные карты не имеют общих характеристик, а карты крести входят как подмножество в колоду черных карт. В диаграмме же Венна круги с черными, красными и крести колодами представляют четыре пересечения, но не имеют связи с реальностью. На этом примере также убеждаемся в разнице между диаграммами Эйлера и Венна. [4]

Делаем вывод: диаграмма Эйлера и диаграмма Венна по своей структуре похожи, но более достоверную, правильную информацию получаем из диаграммы Эйлера, так как она связывает различные задачи на понимание и применение окружающей нас действительности и реальной жизни.

Теория по понятию множества, действий над множествами, диаграмма Эйлера-Венна разобраны. Перейдем к практической части и решим несколько задач на множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

2. Решение практических задач

Для решения практических задач на множества рассмотрим решение пяти задач с применением в математике и связанные с различной сферой деятельности.

Задача 1. Провели опрос среди45 учеников: какой их любимый предмет? 16 учащихся ответили английский, 12 - математика и 17 - литература. Количество учеников увлекающихся: английским и литературой - 5, математикой и литературой - 4, математикой и английским - 3, и те кто увлекаются всеми предметами - 2. Для решения используйте диаграмму Эйлера-Венна, ответьте на следующие вопросы, записав ответ в виде процента:

а) сколько учеников предпочитают предметы английский язык и математику;

б) нравится только математика из количества учеников предпочитающих математику вместе с английским языком;

в) нравится только английский язык из количества учеников предпочитающих и английский язык и литературу;

г) нравится математика и литература;

д) не нравится математика, но увлекается литературой и английским;

Решение

Составим диаграмму Эйлера-Венна. Возьмём 3 пересекающихся круга, так как всего выбранных предметов 3 – математика, английский язык, литература и количество учеников выбравших 1, 2, 3 предмета разное. Ниже на рисунке 8 приведена диаграмма.

Рис. 8. Диаграмма выбора предмета

а) используя данные построенной диаграммы найдем сколько учеников предпочитают предметы английский язык и математику, т.е. английский язык и математику выбирают 3 ученика, а всего учеников 45.

Значит отношение 3 : 45 = 6,67%

б) нравится только математика из количества учеников предпочитающих математику вместе с английским языком, найдем как отношение 3 : 3 = 100%.

в) нравится только английский язык из количества учеников предпочитающих и английский язык и литературу, найдем как отношение 6 : 26 = 23,07%

г) нравится математика и литература, найдем как отношение 4 : 45 = 8,89%

д) не нравится математика, но предпочитает литературу и английский язык, найдем как отношение 5 : 45 = 11,11%

Задача 2. Определить закрашенную область диаграмм (рис.9a, 9b, 9c, 9d) :

Рис. 9а. А / (В С) (В ∩ С) Рис. 9в. А / (В С) ∪ В / (А ∪ С) ∪ (В ∩ С)

Рис. 9с. (ABCD) ((AC)/(DB)) ((DC)/(BA)) ((BD)/(AC)) ((AB)/(DC))

Рис.9d.B/(ACD) D/(ACB) ((ABC)/D) ((DBC)/A)((ADC)/B) ((ABD)/C)

Задача 3. Из 100 человек 37 используют Whatsapp, 44 - Вконтакте, 29 - Instagram, и 35 Facebook. В Whatsapp и Вконтакте зарегистрированы 4 человека, в Whatsapp и Instagram 6, в Whatsapp и Facebook 5, в Вконтакте и Facebook 7, в Вконтакте и Instagram 3, в Instagram и Facebook 5, в Whatsapp-Вконтакте- Instagram 3, Instagram-Вконтакте-Facebook 4, Facebook-Whatsapp-Instagram 6, Whatsapp-Вконтакте-Facebook 5и 2 человека зарегистрированы во всех соц сетях. Какое количество людей не зарегистрированы в предложенных соц сетях?

Решение

Определим количество человек, которые пользуются только Whatsapp,только Вконтакт, только Instagram, только Facebook:

1) Whatsapp - 37 чел.,

Whatsapp и Вконтакт - 4 чел.,

Whatsapp и Instagram - 6 чел.,

Whatsapp и Facebook - 5 чел.,

Whatsapp-Вконтакте-Instagram - 3 чел.,

Facebook-Whatsapp-Instagram - 6 чел.,

Whatsapp-Вконтакте-Facebook - 5 чел.,

Во всех соц сетях 2 чел.

Значит, 37 – 4 – 6 – 5 – 3 – 6 – 5 – 2 = 6 чел. только Whatsapp

2) Вконтакт - 44 чел.,

Whatsapp и Вконтакте - 4 чел.,

Вконтакте и Facebook - 7 чел.,

Вконтакте и Instagram – 3 чел.,

Whatsapp-Вконтакте-Instagram - 3 чел.,

Instagram-Вконтакте-Facebook - 4 чел.,

Whatsapp-Вконтакте-Facebook - 5 чел.,

Во всех соц сетях 2 чел.

Значит, 44 – 4 – 7 – 3 – 3 – 4 – 5 – 2 = 16 чел. только Вконтакте

3) Instagram - 29 чел.,

Whatsapp и Instagram - 6 чел.,

Вконтакте и Instagram - 3 чел.,

Instagram и Facebook - 5 чел.,

Whatsapp-Вконтакте-Instagram - 3 чел.,

Instagram-Вконтакте-Facebook - 4 чел.,

Facebook-Whatsapp-Instagram - 6 чел.,

Во всех соц сетях 2 чел.

Значит, 29 – 6 – 3 – 5 – 3 – 4 – 6 – 2 = 0 чел. только Instagram

4) Facebook - 35 чел.,

Whatsapp и Facebook - 5 чел.,

Вконтакте и Facebook - 7 чел.,

Instagram и Facebook - 5 чел.,

Instagram-Вконтакте-Facebook - 4 чел.,

Facebook-Whatsapp-Instagram - 6 чел.,

Whatsapp-Вконтакте-Facebook - 5чел.,

Во всех соц сетях 2 чел.

Значит, 35 – 5 – 7 – 5 – 4 – 6 – 5 – 2 = 1 чел. только Facebook

Найдём количество людей не зарегистрированных в предложенных соц сетях:

Общее количество человек 100

только Whatsapp - 6 чел.,

только Вконтакте - 16 чел.,

только Instagram - 0 чел.,

только Facebook - 1 чел.,

Whatsapp и Вконтакте - 4 чел.,

Whatsapp и Instagram - 6 чел.,

Whatsapp и Facebook - 5 чел.,

Вконтакте и Facebook - 7 чел.,

Вконтакте и Instagram – 3 чел.,

Instagram и Facebook – 5 чел.,

Whatsapp-Вконтакте-Instagram – 3 чел.,

Instagram-Вконтакте-Facebook - 4 чел.,

Facebook-Whatsapp-Instagram – 6 чел.,

Whatsapp-Вконтакте-Facebook – 5 чел.,

Во всех соц сетях 2 чел.

Значит, 100 - (6 + 16 + 0 + 1 + 4 + 6 + 5 + 7 + 3 + 5 + 3 + 4 + 6 +5 +2) = 27 чел.

Ответ: 27 человек не зарегистрированы в предложенных соц сетях

При решении этой задачи с помощью диаграммы Эйлера-Венна успрощается процесс вычисления. Зарисуем диаграмму и внесем все данные по этой задаче на рисунке 10.

Рис. 10. Диаграмма регистрации в различных соцсетях

100 – 73 = 27 чел.

Ответ: 27 человек не зарегистрированы в предложенных соц сетях

Задача 4. В Казахстане самые популярные книги казахских писателей:

1) Баян Мақсатқызы «Баян. Обо мне и не только» - 193 631 читатель,

2) Ермек Турсунов «Мелочи жизни» - 156 963 читателя.

Самые популярные книги зарубежных авторов:

3) Михаил Лабковский «Хочу и буду: Принять себя, полюбить жизнь и стать счастливым» - 185 757 читателей,

4) Джоан Роулинг «Гарри Поттер и Проклятое дитя. Части первая и вторая» - 177 419 читателей.

По рейтингу первую книгу прочитали 193 631 человек, вторую - 185 757 человек, третью - 177 419 человек, четвертую - 156 963 человека. Всего прочитано - 714 802 раза.

Количество людей, которые прочитали:

- первую и вторую книгу 31 382 читателя,

- первую и третью – 32 596 читателей,

- первую и четвертую – 19 848 читателя,

- вторую и третью - 21 821 читатель,

- вторую и четвертую – 12 130 читателей,

- третью и четвертую – 21 364 читателя,

- первую, вторую и третью – 34 828 читателя,

- первую, вторую и четвертую – 12 643 читателя,

- вторую, третью и четвертую – 31 543 читателя,

- первую, третью и четвертую – 23 456 читателей,

- все книги – 7 543 читателя.

Найдите:

a) Сколько процентов составляет людей, которые прочитали первую и третью книгу от тех, кто читал только вторую книгу?

b) Сколько процентов составляет людей, прочитавших только одну книгу от тех кто прочитал две книги?

c) Какая самая популярная книга?

d) Сколько процентов составляет людей, которые прочитали только одну книгу; две книги; три книги и четыре книги?

Решение

Для решения данного задания построим диаграмму Эйлера-Венна и найдем количество читателей, которые прочитали только одну книгу (рис.11).

Из диаграммы видно, что первую книгу прочитали 31 335 читателей, вторую - 33 867 читателей, третью – 4 268 читателей, четвертую – 28 436 читателя.

Рис. 11. Диаграмма популярных книг в Казахстане

Теперь можно ответить на вопросы данной задачи:

a) первую и третью книгу прочитали 32 596 читателя, а только вторую книгу - 33 867 читателей. Значит, это соотношение равно:

b) Найдем количество людей, которые прочитали две книги и людей, которые прочитали только одну книгу.

31 382 + 32 596 +19 848 + 21 821 + 12 130 + 21 364 = 139 141 читатель

31 335 + 33 867 + 4 268 + 28 436 = 97 906 читателей

Значит, это соотношение равно:

c) Баян Мақсатқызы «Баян. Обо мне и не только» - 193 631 читателей

d) Количество человек участвовавших в опросе:

31 335 + 31 382 + 33 867 + 4 268 + 32 596 + 34 828 + 21 821 + 21 364 + 23 456 +

7 543 + 31 543 + 28 436 + 19 848 + 12 643 + 12 130 = 347060 человек

прочитали только одну книгу:

две книги:

три книги:

четыре книги:

Задача 5.На диаграмме показано, сколько человек имеют брендовые сотовые телефоны Xiaomi, Samsung, Huawei, Iphone. (рис 12)

1) Буквы можно заменить числами, решив следующие задания:

А. Найди дискриминант уравнения: 5х² + 60х – 14,9 = 0

В. Вычисли: 85 · , при n = 6

С. Вычисли:

D. Найди произведение корней уравнения: (х – 23)·(х – 67)·(х – 2) = 0

F. Найди следующее число в последовательности: 479; 958; 1916;

G. Вычисли:

2) Определи, к какому множеству относится данные бренды телефонов, если известно, что:

a) найди количество людей, которые имеют все четыре вида телефона на 1203 меньше чем те, которые имеют только два вида телефона Huawei и Iphone;

b) найди количество людей, которые имеют три вида телефона Iphone, Xiaomi, Huawei на 427 больше чем те, которые имеют три иные вида телефона Xiaomi, Iphone, Samsung.

Рис. 12. Количество брендовых сотовых телефонов

РешениеНайдем значения букв для дальнейшего использования диаграммы (рис. 12а)

Рис. 12а. Количество брендовых сотовых телефонов с дополнениями

А. Найди дискриминант уравнения:

5х² + 60х – 14,9 = 0

D = 60² - 4 · 5 · (-14,9) = 3 898

В. Вычисли: 85 · , при n = 6

85 · = 5 440

С. Вычисли:

D. Найди произведение корней уравнения:

(х – 23)·(х – 67)·(х – 2) = 0

23 · 67 · 2 = 3 082

F. Найди следующее число в последовательности: 479; 958; 1916;

479; 958; 1916;

G. Вычисли:

3 000 – 9 · 11 = 2901

Ответы:

1) А. 3898; В. 5440; С. 4942; D. 3082; F. 3832; G. 2901.

2)

a) количество людей, которые имеют все четыре вида телефона – 1698, те, кто имеют только два вида телефона Huawei и Iphone – 2901. Значит, можно определить два множества с телефонами Huawei и Iphone, но точно указать какое множество пока невозможно;

b) количество людей, которые имеют три вида телефона Iphone, Xiaomi, Huawei – 5079, те, которые имеют три иные вида телефона Xiaomi, Iphone, Samsung - 4652. Отсюда видно, что Xiaomi и Iphone повторяются дважды, а Samsung и Huawei один раз.

Значит, принимая во внимание а) и b) можно определить порядок слева на право: Samsung, Xiaomi, Huawei, Iphone (рис. 12в).

Рис. 12в. Брендовые сотовые телефоны

В практической части разобраны пять различных авторских задач на множество. С помощью диаграмм Эйлера-Венна даны подробные, наглядные решения задач.

3. Диаграмма Эйлера-Венна в исследовании

Исследование проведено среди учащихся 7-9 классов. В исследовании участвовали 155 учеников. Анкета состоит из 7 различных вопросов (приложение 1). Разберем каждый вопрос в отдельности и сделаем выводы.

1 вопрос:Какой напиток пьете по утрам?

Ответы: только чай пьют 63 ученика, только кофе – 36, и чай, и кофе – 53, другое – 21. Если сложить эти числа, то получим:

63 + 36 + 53 + 21 = 173 ученика

Значит, некоторые ученики ответили на вопрос анкеты, выбрав два или более ответа. В дополнительных сведениях можно найти, кто сделал более одного выбора в ответах.

«и чай, и кофе» и «только чай» - 1 ученик,

«и чай, и кофе» и «другое» - 4 ученика,

«и чай, и кофе», «только чай», «только кофе» - 3 ученика,

«и чай, и кофе» и «только кофе» - 2 ученика,

«только чай» и «другое» - 5 ученик.

Определим, какой больше всего напиток предпочитают учащиеся. Для этого построим диаграмму Эйлера-Венна (рис. 13).

Рис. 13. Диаграмма выбора напитка

Из этой диаграммы видно, что учащиеся больше всего предпочитают напиток «чай», что составляет 112 учеников или 72%. [5]

2 вопрос:Каким видом спорта занимаешься?

Ответы: футбол - 14 ученика, плавание – 20, шахматы – 18, другое – 119. Сложим числа и получим:

14 + 20 + 18 + 119 = 171 ученик

В дополнительных сведениях:

«футбол» и «шахматы» - 2 ученика,

«футбол» и «плавание» - 1 ученик,

«плавание», «другой вид спорта» - 4 ученика,

«футбол», «другой вид спорта» - 2 ученика,

«шахматы», «другой вид спорта» - 5 учеников,

«шахматы», «футбол», «другой вид спорта» - 1 ученик.

Определим, сколько учеников не занимается спортом. Для этого построим диаграмму Эйлера-Венна (рис. 14).

Рис. 14. Диаграмма по увлечению спорта

Вычислим, сколько учащихся не занимается спортом:

155 – (10 + 15 + 8 + 67 + 1 + 2 + 4 + 5 + 1 + 2) = 40 учеников или 26%.

3 вопрос:Какие языки знаешь в совершенстве?

Ответы: Казахский язык – 95 учеников, русский язык – 138 учеников, английский язык - 46 ученик, другие языки – 2 ученика. Сложим числа и получим:

95 + 138 + 46 + 2 = 281 ученик.

Определим, наибольшее количество учащихся, которые в совершенстве знают два языка (рис. 15).

Рис. 15. Диаграмма знания языка

В дополнительных сведениях:

«казахский» и «русский» - 54 ученика,

«казахский» и «английский» - 1 ученик,

«русский» и «английский» - 5 ученика,

«казахский», «русский» и «английский» - 30 ученика,

«казахский», «русский», «английский» и «другое» - 2 ученика

Определим количество учеников, которые владеют двумя языками:

казахский и русский язык:

54 + 30 + 2 = 86 учеников

казахский и английский язык:

30 + 2 +1 = 33 ученика

русский и английский язык:

30 + 5 + 2 = 37 учеников

Значит, 86 учеников в совершенстве владеют казахским и русским языком.

5 вопрос:Каков Ваш любимый цвет?

Ответы: Зеленый цвет – 23 ученика, синий цвет – 26 учеников, красный цвет - 29 учеников, другие цвета – 116 учеников. Сложим числа и получим:

23 + 26 + 29 + 116 = 194 ученика.

Сравним, процент учащихся, которые выбрали только один цвет с теми, кто выбрал два и более цвета (рис. 16).

Рис. 16. Диаграмма выбора цвета

В дополнительных сведениях:

«зеленый» и «синий» - 1 ученик,

«зеленый» и «красный» - 1 ученик,

«зеленый» и «другой» - 4 ученика,

«зеленый», «красный» и «другой» - 1 ученик,

«зеленый», «синий» и «красный» - 1 ученик,

«зеленый», «синий», «красный» и «другой» - 2 ученика,

«зеленый», «синий» и «другой» - 3 ученика,

«синий» и «красный» - 3 ученика,

«синий», «красный», «другой» - 2 ученика,

«синий» и «другой» - 3 ученика,

«красный» и «другой» - 7 ученика.

Учащиеся, которые выбрали только один цвет:

10 + 11 + 12 + 94 = 127 ученик

выбрали два и более цвета:

1 + 3 + 7 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 3 + 4 = 28 учеников

Сравним, процент учащихся, которые выбрали только один цвет с теми, кто выбрал два и более цвета:

82% > 18%.

Значит, процент учащихся, которые выбрали только один цвет больше на 64% (99 ученика), чем учащихся, выбравших два и более цвета.

6 вопрос:Где проводишь летние каникулы?

Ответы: В своем городе – 121 ученик, в деревне – 36 учеников, в другом городе Казахстана - 19 учеников, за пределами Казахстана – 57 учеников. Сложим числа и получим:

95 + 138 + 46 + 2 = 281 ученик.

Сравним, количество учащихся, которые отдыхают на летних каникулах в разных местах (рис. 17).

Рис. 17. Диаграмма проведения летних каникул

В дополнительных сведениях:

«в деревне» и «в своем городе» - 13 учеников,

«в деревне» и «другой город Казахстана» - 3 учеников,

«другой город Казахстана» и «в своем городе» - 20 ученика,

«другой город Казахстана» и «за пределами Казахстана» - 3 ученика,

«в деревне», «за пределами Казахстана» и «в своем городе» - 1 ученик,

«в своем городе», «за пределами Казахстана» и «другой город Казахстана» - 8 учеников,

«в деревне», «за пределами Казахстана» и «другой город Казахстана» - 3 ученика,

«в деревне», «в своем городе» и «за пределами Казахстана» - 9 ученика.

Количество учащихся, которые проводят летние каникулы только в одном месте:

8 + 69 + 3 + 16 = 96 учеников

В двух местах:

14 + 17 + 3 + 3 + 3 = 40 учеников

В трех местах:

1 + 8 + 9 + 1 = 19 учеников

Если сравнить полученные данные, то видно, что летние каникулы ребята проводят в основном в одном месте – 62%, в двух местах проводят – четверть учащихся, в трех местах самое меньшее количество учащихся – 12%.

Из данного исследования, следует, что в вопросах 1, 2, 3, 5, 6, проведен анализ ответов учащихся, дан ответ на поставленный актуальный вопрос и показана диаграмма Эйлера-Венна. На 4 и 7 вопрос учащиеся ответили только одним ответом, поэтому пересечения кругов Эйлера-Венна нет.

Первый вопрос актуален для организаций общественного питания, можно предложить для кафе, ресторанов при составлении меню, выяснить не только кофе или чай предпочитают посетители, но и какую еду больше употребляют жители.

Второй вопрос о спорте, необходим при выборе открытия или проведения той или иной секции в комплексах, регионах, областях и т.д. Третий вопрос можно использовать при открытии каких-либо языковых центров и т.д. Эти два вопроса переплетаются.

Пятый вопрос актуален в психологии, где можно применить круги Эйлера-Венна при определении характера, темперамента и других качеств человека.

Шестой вопрос как проводить каникулы школьникам можно порекомендовать школам, колледжа, институтам. Чтобы организовать путевки в различные места, так как ученики в основном находятся в своем городе и редко посещает новые. Если школьники будут посещать различные лагеря отдыха, курорты и путешествовать, то у учеников повыситься интерес к изучению увлекательных и познавательных мест планеты.

Вывод: применение диаграммы Эйлера-Венна расширяет спектр данных, по сравнение с графиками и различными диаграммами.

Для наглядности предоставляю макет диаграммы Эйлера-Венна, состоящий из 3 множеств (рис.18).

Рис. 18. Макет диаграмма Эйлера-Венна

Макет изготовлен на 3D принтере, где видно как пересекаются множества друг с другом в 3D пространстве.

Заключение

В математике используют различные понятия, такие как числа, функция, геометрические фигуры и т.д. Все это является множеством. Множество это фундамент математики. Множество представляет какое-то количество предметов, объектов, но кроме этого множеством обозначают и объекты, состоящие из одного или вообще не имеющего количества предметов.

Данная работа состоит из трех частей: теоретической, практической и исследовательской.

В начале изучил теоретические аспекты множеств: историю множеств, понятие множества, из каких элементов может состоять множество, какие есть виды множеств (пустое, конечное, бесконечное, универсальное), какие действия можно осуществлять над множествами (пересечение множеств (произведение), объединение множеств (сложение), дополнение множества, разность множеств). Также при изучении теории множеств определил различие между кругами Эйлера и кругами Венна.

Изучение теории множеств привела к такой мысли: какие же задачи можно составить на множества с использаванием диаграммы Эйлера-Венна. При решении некоторых задач на множество удобно применять диаграмму Эйлера-Венна, в особенности задачи имеющее большие по объему решения. Диаграмма наглядно представляет все действия над множеством. В практической части разобраны авторские задачи, которые решаются с помощью диаграмм Эйлера-Венна. В решении задач применяются диаграммы не только состоящие из 3 кругов, но и из 4 кругов.

Проведено анкетирование для исследовательской работы. Вопросы анкеты составлены для учащихся 7-9 классов. Анализ ответов 155 учеников изображался на диаграммах Эйлера-Венна, где можно было видеть развернутое представление об ответах учащихся. По данным диаграммам можно видеть сколько выборов сделали ученики, отвечая на вопросы, что интересует их больше всего или сколько учащихся ни чем не заинтересованы. Подводя итоги исследовательской работы предоставлены выводы по каждому вопросу и показаны применения диаграммы Эйлера-Венна в различных сферах деятельности.

Изготовлен макет на 3D принтере для наглядного представления понятия множества.

Вывод: решение задач на множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна сокращает ход решения, а наглядность диаграммы дает более быстрый ответ на вопрос задачи по сравнению со стандартным решением.

Список использованной литературы

1. Электронная еврейская энциклопедия, 1988. Том 4, с.80

2. Н.Я.Виленкин Рассказы о множествах. 3-е издание. – М.: МЦНМО, 2005, с.150 https://clck.ru/RwWog

3. С.А.Ануфриенко Введение в теорию множеств и комбинаторику. Учебное пособие. – Екатеринбург: УрГУ, 1998, с.62

4. Статья «Диаграммы Эйлера против диаграммы Венна» https://creately.com/blog/

5. Джим Вуланд, Математика 2 издание. Часть 1, модуль 3. 14с.

https://clck.ru/RwaWq

6. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. – 5-у изд., - М.: МЦНМО, 2017. -112 с.

7. Mathprofi http://mathprofi.ru/mnozhestva.html

8. Киреенко С.Г., Гриншпон И.Э Элементы теории множеств. Учебное пособие. - Томск, 2003. – 42с

9. Шахмейстер А.Х. «Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии» - М.: МЦНМО, 2014. - 296 с.

10. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - 3-е изд. - М.: Физматлит, 1995. - 256 с.

11. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: Наука, 1977.  368 с

Приложение 1

Результаты анкетирования среди учащихся 7-9 классы

Приложение 1 (продолжение)

Просмотров работы: 120