Матрица и ее практическое применение

XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Матрица и ее практическое применение

Рахмет Әлема Мейрамбекқызы 1
1«Назарбаев Интеллектуальная школа химико-биологического направления» города Павлодар
Сугралинова Б.А. 1
1НИШ ХБН г.Павлодар

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
   

Введение

Матрицы применяются в повседнейвной жизни и используются во всех отраслях деятельности. При решении различных практических задач в математике, биологии, физике, технике, химии, экономике, маркетинге, психологии и других областях науки используют матрицы. Матрицы внедрились в программные обеспечения, что является актуальным в современном мире.

Цель работы: Изучить матрицы, применение их в практических задачах, а также и в прикладных задачах, основанных на жизненных решениях проблем.

Для достижения цели можно выделить ряд задач исследования:

- изучение понятия матриц;

- определение видов матриц;

- вычисление опрделителей матриц;

- выполнение действий над матрицами;

- решение задач с применением матриц;

- использование задач из повседнейной жизни.

В математике матрица это прямоугольная таблица, состоящая из каких-либо элементов. Элементами матрицы могут быть различные данные о предметах, объектах, событиях, явлениях и т.д.

Матрицы бывают различных видов: квадратная, вектор-строка, вектор-столбец, диагональная, единичная, нулевая, транспонированная,

Над матрицами можно выполнять некоторые действия: сложение, вычистание, умножение на число, умножение матриц, деление матриц, возведение в степень и т.д. Матрицы также обладают различными свойствами: коммуникативность относительно сложения, ассоциативность сложения, ассоциативность умножения, дистрибутивность относительно сложения, дистрибутивность относительно умножения и т.д.

Определитель (детерминант) – это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, которую применяют при решении многих задач. Определитель матрицы чаще используют в решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и в нахождении обратной матрицы. Самое главное – определитель матрицы можно найти только для квадратной матрицы.

Благодаря теории детерминантов стало возможным ввести разные расчеты, связанные с матрицами. Например, открытие позволило вычислять определитель для квадратной матрицы и находить обратную матрицу.

Объект исследования: теория матриц, её применение

Гипотеза: зная свойства матриц и действия над ними, можно решать задачи широкого спектра, а применение её в различных сферах деятельности показывает и доказывает востребованность в познании мира матриц. [1]

1. Теоретические аспекты матрицы

1.1. История развития и применение матриц

В Древнем Китае матрицу называли «Волшебным квадратом». Магический квадрат 3 × 3 был известен около 2200 до н.э. и изображался на черепаховом панцере. Данный нормальный магический квадрат изобразил Ло Шу (рис.1). Позже они стали известны арабским математикам и в это же время стало известно о принципе сложения матриц.

Рис. 1 Изображение Ло Шу

В конце XVII века получило развитие теория определителей и тогда швейцарский математик Габриэль Крамер (1704-1752) приступил к разработке своей теории. В 1751 году он опубликовал «правило Крамера» и параллельно в это же время был опубликован «метод Гаусса». Эти две публикации раскрывали метод решения «систем линейных алгебраических уравнений», но для «правила Крамера» используется ненулевой определитель матрицы системы, а для «метода Гаусса» - последовательное исключение неизвестных.

Теория матриц начала активное развитие в середине XIX века. В это время уже были формулированы правила сложения и умножения матриц. Результаты теории матриц разработаны и отражены в работах ученых: ирландский математик и физик Уильям Гамильтон (1805-1865), английский математик Артур Кэли (1821-1895), немецкие математики Карл Вейерштрасс (1815-1897) и Фердинанд Георг Фробениус (1849-1917), французский математик Мари Энмон Камиль Жордан (1838-1922) и ввел термин «матрица» Джеймс Сильвестр (1814-1897) в 1850г.

В 1858году А.Кэли опубликовал «Мемуар по теории матриц», в котором дается первое абстрактное определение матрицы. У.Гамильтон и А.Кэли разработали теорию матриц: «любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению».

В 1878 году Ф.Г.Фробениус опубликовал работу «О линейных подстановках и алгебраических уравнениях», в которой доказывает результаты канонических матрицах. Он также доказал общую теорему матриц: «матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению». К.Вейерштрасс в своих лекциях использовал аксиоматическое определение определителя, а в 1903году после его смерти было опубликована статья «О теории детерминантов». Мари Энмон Камиль Жордан ввел нормальную (каноническую) форму матриц, которая имеет вид блочно-диагональной матрицы, по диагонали располагаются жордановы клетки.

Матрицы широко применяются в математике, физике, информатике, химии, биологии, экономике, технике, статистике и т.д. Он играет огромную роль в каждой сфере и значение его велико. В математике «матрица» означает систему элементов в прямоугольной таблице, в программировании - двумерный массив, в электронике – набор проводников, в фотографии – интегральная микросхема. Матрица встречается везде даже в таких таблицах как: таблица умножения, файл bmp с матрицей цветов пикселей, турнирная таблица на футбольном поле, таблица содержания в пище белков, жиров и углеводов. [2]

1.2 Понятие и виды матриц

Матрица – это набор чисел, символов или выражений, записанных в виде прямоугольной таблицы со строками и столбцами. В таблице строки распологаются горизонтально, а столбцы – вертикально. Числа, символы или выражения называются элементами матриц, которые располагаются на пересечении строк и столбцов. Размер матрицы определяют количеством строк и столбцов. Матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и записывают в круглых скобках следующим образом:

=

Данная матрица n × m типа имеет n – строк и m – столбцов, значит размер (количество элементов) матрицы равен n × m.

Матрицы 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 имеют вид:

= ; = ; =

Кроме строк и столбцов матрицы имеют такое понятие как диагональ.

Различают 2 диагонали матрицы:

1) Главная диагональ – это диагональ, проводимая из верхнего левого угла в нижний правый угол матрицы.

2) Побочная диагональ – это диагональ, проводимая из верхнего правого угла в нижний левый угол матрицы.

Д ля матрицы = главная диагональ , побочная - ;

Для матрицы = главная диагональ , побочная - ;

Для матрицы = главная диагональ , побочная - .

Существует несколько видов матриц:

1) Квадратная матрица – это матрица, у которой n = m, т.е. одинаковое количество строк и столбцов. Квадратные матрицы это матрицы 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 и т.д.

Из квадратных матриц можно получить диагональный, треугольный и единичный вид матрицы.

2) Диагональная матрица – это квадратная матрица, где все элементы кроме главной диагонали равны нулю. Такую матрицу можно считать и треугольной.

Диагональные матрицы 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 имеют вид:

= ; = ; =

3) Треугольная матрица – это квадратная матрица, где элементы, расположенные над (под) главной диагональю равны нулю. Примеры нижней и верхней треугольной матрицы:

а) верхняя треугольная матрица

= ; = ; =

в) нижняя треугольная матрица

= ; = ; =

4) Единичная матрица – это диагональная матрица с диагональными элементами равными 1.

= ; = ; =

5) Нулевая матрица – это матрица, состоящая из всех нулевых элементов.

= ; =

6) Вектор-строка – это матрица с одной строкой. Пример, А = .

7) Вектор-столбец – это матрица с одним столбцом. Пример, В = .

8) Транспонированная матрица – это матрица, полученная из произвольной матрицы путем замены строк на столбцы. Для матрицы A {\displaystyle A} А с размерами m × n {\displaystyle m\times n} m × n транспонированная матрица AТA T {\displaystyle A^{T}} будет с размерами n × m {\displaystyle n\times m} n × m. Например,

= ; =

9) Симметричной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой симметричны относительной главной диагонали, т.е. AТ = А. Например, симметричные матрицы:

= ; =

Рассмотрены основные понятия матриц, их виды необходимые для вычисления матриц и выполнения различных действий над ними. [3]

1.3 Вычисление определителей матриц

Для нахождения определителя матрицы используют различные способы вычисления.

Определитель матрицы второго порядка вычисляется как разность произведения элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Допустим, дана матрица вида:

= ,

то определитель матрицы = - .

Пример 1. Вычислить определитель матрицы: =

Определитель матрицы = 4·11 – 7·5 = 9

Ответ: = 9.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется разными способами:

1) Правило треугольника:

Допустим, дана матрица = , то определитель матрицы находим, применяя правило треугольника:

- =

+ + – ( + + )

2) Правило Саррюса:

Допустим, дана матрица = . Для нахождения определителя матрицы, применяя, правило Саррюса нужно справа от матрицы дописать первые два столбца и из суммы произведения главных диагоналей (красные линии) вычесть сумму произведения побочных диагоналей (синие линии):

=

+ + – ( + + )

Пример 2. Вычислить определитель матрицы: =

Определитель матрицы = 7·1·8 + 5·2·6 + 3·4·4 - 3·1·6 - 5·4·8 - 7·2·4 = 164 – 234 = -70

Ответ: = -70.

Определитель матрицы третьего и высшего порядка вычисляется различными способами:

3) Разложение определителя матрицы: а) по любой строке, b) по любому столбцу

Пример 3. Вычислить определитель матрицы: =

Разложим определитель матрицы по четвертой строке:

= 3· · + 2· · + 0· · + 8· ·

= -3· + 2· + 8·

Далее разложим определители третьего порядка: первое слагаемое по первому столбцу, второе – по второму столбцу, третье – по третьему столбцу.

= -3·2· · -3·4· · -3·6· · +

2·1· · + 2·3· · + 2·5· · +

8·1· · + 8·3· · + 8·5· ·

= -6 · + 12 · -18· - 2 · + 6 · - 10 · +

8 · - 18 · + 40 · = 0

Ответ: = 0

4) Нахождение определителя матрицы приведением к треугольному виду, с помощью различных преобразований со строками и столбцами на основе свойств определителя. [4]

Пример 4. Вычислить определитель матрицы: =

Перепишем в определитель четвертого порядка, приведем его к треугольному виду, выполнив следующие действия:

1) первую строку поделим на 3, чтоб элемент = 1:

= ~

2) умножить 1 строку на (-2) и сложить со 2-ой строкой;

умножить 1 строку на (-5) и сложить с 4-ой строкой;

= ~

3) умножить 2 строку на 4 и сложить со 3-ей строкой;

умножить 2 строку на (-8) и сложить с 4-ой строкой;

= ~

3) разделить 3 строку на 30;

умножить 3 строку на 41 и сложить с 4-ой строкой;

= ~

4) используя свойство треугольной матрицы, вычислим определитель как произведение элементов диагонали:

= 1 · (-1) · (-1) · 21 = 21

Ответ: = 21

1.4 Действия над матрицами

Рассмотрим, какие действия можно выполнять над матрицами.

Для начала определим, что значит равенство матриц. Матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы данных матриц равны. Например, матрица А и В

= , =

Данные матрицы будут равны, если выполняется условие:

1) имеют одинаковую размерность 3 × 3;

2 ) = = , = , = , = , = , = , = , = , = .

Действия над матрицами:

1) Сложение (вычитание) матриц.

При сложении (вычитании) матриц необходимым условием, как и при равенстве матриц, является одинаковая размерность, т.е. при различном порядке данных матриц сложение (вычитание) матриц НЕВОЗМОЖНО. Сумма (разность) матриц есть матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц и имеет ту же размерность, что и матрицы слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого). Если даны матрицы А и В, то сумма (разность) равны:

= , =

А + В = ;

А – В =

Сложение следующих матриц и невозможно, так как размерность не одинакова, т.е. количество строк и столбцов в матрицах различны:

= и =

Пример, Найдите матрицу (А + В) – С, если

А = , В = , С = .

(А + В) – С = -

Ответ: (А + В) – С = .

Из определения и приведенных примеров вытекают свойства сложения (вычитания) матриц:

1) А + В = В + А коммутативность сложения;

2) А + О = О + А = А;

3) А − А = О;

4) (А + В) + С = А + (В + С) ассоциативность сложения,

где матрицы А, В, С, О, имеют одинаковую размерность.

2) Умножение матрицы на ненулевое число.

Чтобы умножить матрицу на число (число на матрицу) необходимо данное число умножить на каждый элемент матрицы с сохранением размерности. Если дана матрица А и некоторое число λ, то произведение будет равно:

λ × А = λ × =

Пример, найдите произведение матрицы А = на число λ = -0,5.

λ × А = -0,5 × =

Перечислим свойства умножения матрицы на число:

1) 1 × А = А нейтральное число 1;

2) 0 × А = 0;

3) λ × (А + В) = λА + λВ дистрибутивность умножение относительно сложения;

4) (λ + μ) × А = λА + μА дистрибутивность умножение;

5) (λ × μ) × А = λ × (μ × А) ассоциативность умножения,

где А, В матрицы и λ, μ любые числа.

3)Умножение матриц.

Чтобы умножить матрицу на матрицу нужно строку первой матрицы умножить на столбец второй матрицы и сложить, т .е.

× = ,

где матрицы и должны быть согласованными, т.е. количество столбцов матрицы и количество строк матрицы обязательно должны быть равными. Значит, результатом произведения матриц является новая матрица с количеством строк равных строкам первого множителя и количеством стобцов равных столбцам второго множителя. Если даны матрицы и , то произведение будет равно:

= ×

=

Пример, найдите произведение матриц × и × , если

= и =

Произведение матриц:

× = =

Произведение матриц × не имеет смыла, так как эти матрицы не согласованы, т.е. матрица имеет 2 стобца, а матрица имеет 3 строки.

Перечислим свойства умножения матриц:

1) (А × В) × С = А × (В × С) ассоциативность умножения;

2) (А + В) × С = АС + ВС или С × (А + В) = СА + СВ дистрибутивность умножение относительно сложения;

3) А × В ≠ В × А некоммутативность умножения;

4) λ × (А × В) = (λ × А) × В;

5) × = × = умножение на единичную матрицу,

где А, В матрицы, Е единичная матрица и λ любые числа.

В третьем свойстве говорится о некоммутативности умножения, т.е.

А × В ≠ В × А, но в некоторых случаях умножение матриц может быть коммутативным, в этом случае матрицы называют перестановочными.

4)Возведение матриц в степень.

В озведение матриц в степень основано на произведении матриц. Допустим, это и есть произведение сомножителей А n раз, т.е.

= А × А × … × А

n раз

Перечислим некоторые правила для степеней матрицы с натуральной степенью:

1) = Е;

2) × = ;

3) = .

5) Нахождение обратной матрицы.

Для нахождения обратной матрицы существует разные способы. Рассмотрим одно из них:

Для вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений необходимо знать:

1) Как найти определитель матрицы?

2) Как найти транспонированную матрицу?

3) Как найти элементы союзной матрицы и что значит союзная матрица?

4) Какую применить формулу для вычисления обратной матрицы?

5) Как проверить на верность полученной обратной матрицы?

Пункты 2 и 3 применяют и в обратном порядке, т.е. вперед находят союзную матрицу, а потом транспонируют матрицу, но результат от этого не должен меняться.

Если матрица А имеет вид квадратный, то обратную матрицу можно найти с помощью формулы:

= · ,

где – определитель матрицы, – союзная матрица.

Рассмотрим примеры с матрицами 3 × 3 и ответим на 5 вопросов при вычислении обратной матрицы:

Например, если дана матрица = , то

1) определитель матрицы = 3·5·8 + 7·2·6 + 1·4·10 – (1·5·7 + 3·6·10 + 8·2·4) = 120 + 84 + 40 – (35 + 180 + 64) = 244 – 279 = -35 ≠ 0. Так как = -35 ≠ 0, значит, можно продолжить нахождение матрицы.

Если же = 0, то обратной матрицы не существует, так как матрица вырожденная.

2) транспонированная матрица = .

3) найдем алгебраические дополнения матрицы (элементы союзной матрицы), транспонированной матрицы:

= = -20 = = 10 = = 5

= = -6 = = 17 = = -16

= = 7 = = -14 = = 7

Союзная матрица: =

4) Подставить вычисления из 1 и 3 в формулу и найдем обратную матрицу:

= · = ·

Внесем «-» в матрицу, то получим:

= ·

5) проверим на правильность полученной обратной матрицы. Для этого умножим данную с обратной матрицей и в результате должны получить единичную матрицу. Если этого не произойдет, значит, обратная матрица найдена не верно.

· · =

= ·

= · = = Е

Ответ: =

В данном разделе приведены различные вычисления определителей матриц, перечислены основные действия над матрицами для решения заданий на матрицы и проведения дальнейшего исследования. [5]

2. Решение практических задач

Рассмотрим несколько практических задач на применение матриц в математике. В задачах используются различные виды действий над матрицами, а также доказательство верности утверждения.

Задача 1. Найти (4А + В) - 2С, если даны матрицы А, В и С:

Решение

1) Вычислить матрицу 4А и 2С:

2) Сложить матрицы 4А и В, затем вычитать от результата матрицу 2С:

=

Ответ:

Задача 2. Вычислить определитель , разлагая его по элементам второй строки.

Решение

Разложить определитель по элементам второй строки:

Вычисляя, получим:

x(-27-8-8-(-3-24-24)) – у((18+24+16)-(9+48+16)) + z((-12-18-4)-(-6-36-4)) –

t((-16-27-16)-(-24-48-6)) = 8x + 15y + 12z – 19t

Ответ: 8x + 15y + 12z – 19t

Задача 3. Найти матрицу Х из уравнения:

+ 2Х =

Решение

1) Найти неизвестное слагаемое 2Х:

=

2) Найти матрицу Х:

Х =

Ответ: Х =

Задача 4. Найди АВ, если: [6]

Решение

Найдем произведение матриц, используя правило умножения [6]

Ответ:

Задача 5. Не раскрывая определителя показать, что он равен нулю

Решение

По свойству определителя: если к элементам любой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменится.

Если прибавить 1 и 2 столбец определителя, то , , . Значит, в определителе два столбца имеют одинаковые элементы, равные 1.

Следующее свойство гласит, что определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

Поэтому данный определитель будет равен 0.

Ответ: 0

Задача 6. Числа 1370, 1644, 2055, 3425 делятся на 137. Доказать, что определитель также делится на 137.

Решение

Необходимо доказать, что определитель делиться на 137, при этом каждая строка состоит из цифр, составляющие числа: 1370, 1644, 2055, 3425.

Разложим числа на разрядные слагаемые:

1370 = 1 · 1000 + 3 · 100 + 7 · 10 + 0;

1644 = 1 · 1000 + 6 · 100 + 4 · 10 + 4;

2055 = 2 · 1000 + 0 · 100 + 5 · 10 + 5;

3425 = 3 · 1000 + 4 · 100 + 2 · 10 + 5.

Отсюда видно, что число получается из цифр самого числа, т.е. к последней цифре прибавляется предыдущая, умноженная на 10, третья, умноженная на 100, вторая, умноженная на 1000. Применим данные действия к столбцам определителя, основываясь на свойстве определителя: если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не измениться. В конечном результате, последний столбец будет располагать числа, данные в условии задачи, которые делятся на 137.

На основании свойства: общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

В данном случае, определитель делиться на общий множитель 137.

Задача7. Найди матрицу Х, если

XA - 2B = E, где

Решение

Чтобы найти матрицу, выполним необходимые действия.

1) Найдем произведение числа 2 и матрицы В:

2) сложим матрицы 2В и Е:

3) разделим матрицу 2В + Е на матрицу А, т.е. умножим матрицу 2В + Е на обратную матрицу . Вычислим обратную матрицу :

А =

Определитель матрицы:

= 1·5·2 + 3·1·(-2) + (-1)·7·(-1) – (-1·5·3 + 2·(-2)·(-1) + 1·1·7) =

10 - 6 + 7 – (-15 + 4 + 7) = 15 ≠ 0.

Транспонированная матрица:

= .

Найдем алгебраические дополнения матрицы (элементы союзной матрицы), транспонированной матрицы:

= = 3 = = -3 = = 3

= = 5 = = 5 = = 0

= = -22 = = -13 = = 3

Союзная матрица: =

Найдем обратную матрицу:

= · = ·

(2В + Е) · =

(2В + Е) · =

Ответ:

В данном разделе рассмотрели различные способы решения практических задач с применением матриц. Далее рассмотрим применение матриц в некоторых сферах деятельности человека. [7]

3. Практические задачи на матричные исчисления в экономике

Рассмотрели применение матриц в математике. Как оказалось основным применением матриц является компактная запись, особенно инструментов линейной алгебры. Проиллюстрируем несколько задач связывающие теорию и практику. В прикладных науках матрица используется для записи данных и их преобразования. Разберём несколько экономических задач.

Задача 1. (умножение числа на матрицу)В магазине предлагаются скидки в 30% на товары С1, С2, С3, С4 в конце года. В таблице приведены запасы товаров в трех филиалах В1, В2, В3. Используя матрицу, найди стоимость акций в каждом из филиалов после скидок.

Таблица 1. Стоимость запасов в филиалах В1, В2, В3

 

С1

С2

С3

С4

В1

65 000

40 000

55 000

35 000

В2

50 000

30 000

60 000

45 000

В3

70 000

55 000

75 000

50 000

Решение

Снижение на 30% означает, что товары продаются за 70% от стоимости. Используя данные таблицы 1, можно записать матрицу

Тогда после скидки стоимость акций будет выражаться выражением:

Представим в виде матрицы

Задача 2. (Дистрибутивный закон умножения матриц) В магазине продаются товары С1, С2, С3 в двух филиалах В1, В2. В таблице 2 приведены данные за неделю о количестве проданных товаров, о ценах на товары, о затратах магазина. Найдите прибыль каждого магазина за неделю, используя

а) общий анализ

в) удельный анализ

показать, что матричное умножение дистрибутивно.

Таблица 2. Стоимость товаров С1, С2, С3

 

Количество товаров

Цена за товар

Расходы магазина

 

В1

В2

С1

200

250

2.00

1.50

С2

350

400

4.00

3.00

С3

100

150

5.00

4.00

Решение

Количество товаров (Q), отпускные цены (P) и затраты магазина (C) могут быть представлены в матричной форме:

а) общий анализ

Общий доход в В1 составляет:

200 · 2.00 + 350 · 4.00 + 100 · 5.00 = 2300

и в В2:

250 · 2.00 + 400 · 4.00 + 150 · 5.00 = 2850

Эти расчеты можно записать в виде произведения двух матриц, т.е. общий доход равен произведению :

Аналогично находится общая стоимость

Тогда прибыль можно найти как разность двух матриц :

в) удельный анализ

Удельная прибыль составляет:

Общая прибыль определяется произведение количества товаров на удельную прибыль:

Из пунктов а) и в) имеем, что и равны, а . Значит,

Задача 3. (Дистрибутивный закон умножения матриц) Предприятие выпускает три вида продукции С1, С2, С3 и на производство данной продукции использует два вида сырья К1 и К2. В таблице 3 приведены данные о ценах каждого типа сырья, о планируемым выпуске продукции. Найдите затраты на сырье используя данные таблицы 3.

Таблица 3. Количество продукции С1, С2, С3

Виды сырья

Количество продукции

Цена каждого типа сырья

С1

С2

С3

К1

5

3

4

80

К2

7

1

2

50

Планируемый выпуск продукции

160

120

70

 

Решение

Количество три вида продукции каждого вида сырья (А), планируемый выпуск продукции (В) и цена каждого типа сырья (С) могут быть представлены в матричной форме:

, ,

Затраты сырья К1 составляет:

5

и затраты сырья К2 составляет:

7

Эти расчеты можно записать в виде произведения двух матриц, т.е. затрата на сырье равна произведению АВ:

 

Общая стоимость сырья будет равна:

Р = 1440

Эти расчеты можно записать в виде произведения двух матриц, т.е. общая стоимость сырья равна произведению АВ

АВ = 184 200

Задача 4. (сложение матриц и умножение числа на матрицу) В склад А1 и В1 поступили 9 одинаковых товаров в разном количестве. Данные о количестве товаров приведены в таблице 4. По договору производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров в каждый из складов. Найдите а) суммарный завоз товаров; в) годовой завоз товаров.

Таблица 4. Количество товаров на складах А1 иВ1

Вид товаров

Количество товаров в складе А1

Количество товаров в склад В1

Набор посуды (столовые приборы, чашки и тарелки)

14

23

19

12

45

50

Бытовая техника (чайник, пылесос и микроволновка)

38

41

11

17

21

36

Мебель (диваны, столы и шкафы)

8

32

17

15

18

29

Решение

Для удобства количество товаров в складах А1 и В1 могут быть представлены в матричной форме:

а) Расчет суммарного завоза можно записать в виде сложения двух матриц А1 и В1 :

А1 + В1 =

в) Расчет годового завоза можно записать в виде умножения числа на матрицу. Год состоит из 12 месяцев, поэтому умножаем 12 на матрицу А11

А11)=

Задача 5. (разность двух матриц) По заказу с завода в магазин поступили товары. Однако не все товары пользуются большим спросом. В таблице 5 приведены данные о начальном количестве товаров и о купленном количестве товаров. Найдите количество оставшихся товаров в магазине, используя данные таблицы. [8]

Таблица 5. Количество товаров

Товары

Начальное количество товаров

Купленное количество товаров

870

350

260

690

240

197

490

620

170

375

540

148

570

702

127

390

604

84

Решение

Начальное количество товаров (А) и купленное количество товаров (К) можно представить в матричной форме:

А=

Расчет количества оставшихся товаров в магазине можно найти как разность двух матриц А и К:

Заключение

В первую очередь работать над исследовательской работой под названием «Матрица и ее практическое применение» было очень интересно, так как во время работы я узнала много интересной информации. В особенности про виды матрицы и операции над ними. Перед нами стояла цель - узнать что такое матрица, их основное применение и каково значение в сферах жизни. Как оказалось, данный термин употребляется не только в математике, но и в других науках, как информатика, биология, химия, физика, экономика и психология. В первобытном обществе существовала теория бракосочетания, которая имела сходство с матрицей. С помощью этой абстрактной модели были представлены допустимые варианты бракосочетания.

В настоящее время матрицы получили широкое применение, так как матричный язык является неотъемлимой частью в сферах жизни. Матричная алгебра применима к решению большого круга важных задач, ведь она упрощает процедуру вычисления и облегчает понимание процесса. Если в математике и физике они используются в качестве компактной записи, то в биологии в решении реальных задач генетики, популяции и систематики. В экономике матрицы позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал (особенность социально-экономического комплекса, исходные данные, характеризующий уровень и структура), а также вести расчеты с ними. Все эти сведения и примеры ведут к тому, что матрицы использовались и будут использоваться в будущем. Поэтому я делаю вывод о том, что матричная алгебра широко применялась и применяется до сих пор, а также она всегда будет актуальной в разных сферах жизни. Следовательно, высказанная гипотеза полностью подтвердилась, а поставленная цель - достигнута.

Список использованной литературы

1. Ахмедханова А.И., Кожемякина В.А., Мамаев И.И. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИКЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4.; https://clck.ru/Rkcq3

2. В.Н.Задорожный, В.Ф.Зальмеж, А.Ю.Трифонов, А.В.Шаповалов. Линейная алгебра: Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 310с.

3. П.С.Александров, А.И.Маркушевич, А.Я.Хинчин. Энциклопедия элементарной математики. ГТТИ, 1951. С.424

4. Интерактивный справочник https://clck.ru/RkcpJ

5. Д.К.Агишева, С.А.Зотова, В.Б.Светличная, Матрицы и их применение к решению систем линейных уравнений, /Методическое пособие. – 2001. – 61с

6. А.В.Конюх, В.В.Косьянчук, С.В.Майоровская, О.Н.Поддубная, Е.И.Шилкина. Сборник задач и упражнений по высшей математике: в 2ч. – Минск: БГЭУ, 2014. – 299с

7. Хомицкий Д.В., Горевский А.С., Тележников А.В. Сборник задач по линейной алгебре: практикум. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2010. – 51с. https://clck.ru/RkcrE

8. Shivdeep Kaur Assistant professor Mata Gujri College, Fatehgarh Sahib. Applications of Matrices. International Journal of Engineering Technology Science and Research IJETSR www.ijetsr.com ISSN 2394 – 3386 Volume 4, Issue 11 November 2017. https://clck.ru/Rkcrx

9. Лайтхилл Дж. и др. В.И. Новые области применения математики Под ред. Дж. Эндрюса и Р. Мак−Лауна. −М.: Мир, 2009.

10. Алгебра и начала математического анализа: учебник для общеобразоват.организаций: базов. и углубл. уровни/ Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др. – М.: Просвещение, 2016, - 463с.

11. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. – К.: Знания, Макаренко В.А., 2008 – 517с.

12. Математика: Учебник/ О.М. Афанасьева, Я.С. Бродский и др. – К.: Высшая школа, 2001.

13.Дидактический материал по математике: Учебное пособие/ О.М. Афанасьева, Я.С. Бродский и др. – К.: Высшая школа, 2001.

14. Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. – М.: Высшая школа, 1983.

Просмотров работы: 983