XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Сложные примеры - легкие решения
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Тема моей научно-практической работы – «Сложные примеры – легкие решения». Я выбрала эту тему для своей работы, так как для меня очень интересна и увлекательна математика. Чем дольше я учусь в школе и чем больше изучаю математику, тем чаще задаюсь вопросом: «Как можно решать такие сложные задачи и примеры быстро и, не прибегая к помощи калькулятора или компьютера». Интерес к этим вопросам побудил меня искать информацию в интернете, читать статьи и книги с этим связанные, спрашивать своих одноклассников и друзей, что они используют, чтобы облегчить себе изучение математики. Оказалось, что существует масса приемов устного счета, зная которые можно очень быстро считать в уме. Владение такими приемами не только облегчает изучение математики, но и значительно помогает в простой жизни. Мне захотелось поделиться со всеми найденной информацией, но для того, чтоб все легко запомнилось, появилась идея изложить в стихах алгоритмы решения примеров.
Цель моей работы – разработать свое пособие-напоминание, в котором изложены основные алгоритмы решения примеров на умножение и деление двузначных и трехзначных чисел. Это пособие выполнить в виде брошюры с примерами, объяснениями решений в стихах, которые я сочинила сама и иллюстрациями.
Моя гипотеза – с помощью моего пособия дети проявят большой интерес к математике, научатся быстро решать в уме сложные примеры, в том числе благодаря стихотворной форме изложения алгоритма.
Задачи моей работы:
Ознакомиться с алгоритмами решений сложных математических решений в уме.
Выяснить, что знают мои одноклассники о таких приемах.
Сочинить стих – объяснение про каждый пример, используемый в моем пособии.
Составить пособие и распечатать его в виде брошюры.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Каждый день каждый человек десятки, а то и сотни раз сталкивается с математикой. Начиная с момента пробуждения, мы весь день применяем в жизни наши математические навыки, иногда не замечая этого (как для приготовления завтрака и измерения пропорций), а иногда (как в магазине, например) вполне осознанно.
Чтобы что-то посчитать, человек применяет свои вычислительные навыки. И навыки эти нужно развивать. А развить их может каждый человек, независимо от его феноменальных математических способностей, хотя бы для того, чтобы не стать жертвой обмана в магазине или на рынке.
Развивать их можно, в том числе и с помощью применения различных техник и приемов устного счета. С давних времен люди изобретали или находили все новые такие приемы.
Когда я начала изучать этот вопрос, поняла, что мало знать о таких методах, их надо разобрать, запомнить, и тогда ты сможешь их активно применять в жизни. Разбираться с приемами устного счета оказалось не так уж сложно. Но вот запомнить столько различных задач сразу не удалось.
Так мне пришло в голову, что наиболее понравившиеся мне методы нужно зарифмовать. Ведь стихи запоминаются всегда лучше прозы. Пока я сочиняла стихи, все, используемые мной для работы математические примеры запомнились сами собой. Тогда и возникла идея поделиться своими стихами со своими друзьями, чтобы они тоже смогли легко запомнить алгоритмы решения сложных примеров.
Вас может удивит, но такая смесь математики и литературы дала очень хорошие результаты.
В ходе работы над своим проектом я ознакомилась со множеством подобных работ других учеников и пришла к выводу, что во всех случаях, когда ученики целенаправленно в счете использовали общеизвестные алгоритмы устного счета, скорость вычислений значительно увеличивалась, иногда даже в два раза. В просмотренных мною работах приводились таблицы с результатами таких экспериментов. Поэтому, я не стала доказывать в своей работе результативность применения различных методов устного счета. Это факт общепризнанный.
Моей задачей стало облегчить сам способ запоминания этих методов. Поскольку я очень люблю стихи и в повседневной жизни часто что-нибудь рифмую, выбор способа запоминания стал очевиден.
Вот что у меня получилось.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и поставить между ними сумму этих цифр.
63 х 11 = 693
26 х 11 = 286
Сложи числа две половинки
Помести их в серединку
3.2 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше или равна 10.
Надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и поставить между ними сумму этих цифр. Единицы числа записываем в середину, а десяток прибавляем к первой цифре.
78 х 11 = 858
64 х 11 = 704
Сложи числа две половинки
Помести их в серединку.
Про десяток не забудь,
Прибавь к началу, Умным будь!
3.3 Умножение на 111 (если сумма чисел множимого меньше 10).
Также мысленно раздвигаем цифры этого числа, находим сумму цифр данного двузначного числа и ставим ее в середину дважды.
36 х 111 = 3996
3 + 6 = 9
42 х 111 = 4662
4 + 2 = 6
Опять сложи две половинки
Помести их в серединку.
Только дважды повтори,
Так как единицы три.
3.4 Умножение на 111 (если сумма чисел множимого больше 10).
Опять мысленно раздвигаем это число, складываем цифры и вставляем их в середину числа. Но поскольку сумма цифр составляет двузначное число, прибавляем его к первым цифрам.
76 х 111 = 8436
(7+6=13)
7136
13
8436
И вновь сложи две половинки
Снова вставь их в серединку
Ну, а так как число двузначное
нужно вставить в ответ два раза
Мы прибавим его однозначно
К первым цифрам. И без отказа!
3.5 Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25 , надо данное число (36) умножить на 100 и произведение разделить на 4:
37 х 25 = 900
(37 х 100) : 4 = 925
Если множимое делится на 4, то сначала можно разделить множимое на 4 и полученное частное умножить на а 100.
48 х 25 = 1200
(48 : 4) х 100 = 1200
При умножении на двадцать пять
Число на сто нам надо умножать,
Потом разделим на четыре,
Вот и ответ мы получили
3.6 Деление на 25.
Чтобы разделить число на 25, надо разделить его на 100 (если делится на 100) и полученное частное умножить на 4, или сначала делимое умножить на 4, а потом полученное произведение разделить на 100:
800 : 25 = (800 : 100) х 4 = 32
225 : 25 = (225 х 4) : 100 = 9
Сделаем наоборот от предыдущего примера
При делении на двадцать пять
Число на сто нам нужно разделять
Потом уже умножим на четыре
Вот снова и ответ мы получили
А если разделить на сто нельзя
То мы пойдем другим путем, друзья
Сначала на четыре мы умножим
Потом на сто поделим и отложим.
3.7 Умножение чисел от 11 до 19.
Умножать такие числа можно используя следующую формулу, которую стоит запомнить.
100 + 10 х (а + в) + а х в
Где а и в это единицы множителей
Формула только на первый взгляд кажется сложной
Любое число из диапазона от 11 до 19 представляем как десятки и единицы.
Получаем формулу: (10+a)×(10+b).
Раскрываем скобки: 100+10×b+10×a+a×b.
Выносим за скобки общий множитель и получаем окончательную формулу, по которой можно считать и которую есть смысл запомнить: 100+10×(a+b)+a×b.
14 х 18 = 252
100 + 10 х (4 + 8) + 4 х 8 =
= 100 + 120 + 32 = 252
Чтобы перемножить два числа
Между десятью и двадцатью
Единицы перемножь сперва
И запомни как свою семью.
А еще сложи их и умножь
На десятку. Это тоже впрок.
Вот теперь сложи все результаты
И еще плюс сто. И весь урок.
3.8 Старинный русский способ умножения.
Умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.
32 х 13
16 х 26
8 х 52
4 х 104
2 х 208
1 х 416
32 х 13 = 416
Произведение не изменяется, если один множитель вдвое увеличить, а другой вдвое уменьшить.
Первое число дели на два,
Второе же, напротив, умножай.
Дели до единицы и тогда
Записывай ответ и отдыхай!
Произведение не изменяется, если один множитель вдвое увеличить, а другой вдвое уменьшить.
Немного усложняется, если делимое нечётное число, то нужно откинуть единицу и делить остаток пополам, но в результате прибавить все те числа, которые стоят напротив нечётных чисел левого столбца.
19 х 17
((19-1):2) = 9 х 34
((9-1):2) = 4 х 68
2 х 136
1 х 272
19 х 17 = 272 + 17 + 34 = 323
А если разделить на 2 нельзя,
То просто единицу убирай
Все делать точно так же продолжай
А то, что не делил - к ответу прибавляй
3.9 Умножение двузначных чисел на 9, 99, 999.
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
28 х 9 = 280 - 28 = 152.
18 х 99 = 1800 - 18 = 1782.
23 х 999 = 23000 - 23=22977.
Так как 10а-а=9а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число. Аналогично умножение на 99 и на 999. Число а умножают на 100 и на 1000 и отнимают само число.
Сколько девяток – столько нулей
Пусть даже три, ты не робей
Смело нули к числу припиши,
Ну, а потом, число отними.
3.10 Умножение трёхзначного числа на 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только на уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9.
385 х 999 = 384615
Но в принципе, здесь работает тот же принцип, что и в предыдущем примере.
385 х 999 = 385000 – 385 = 384615
Даже, если множитель трехзначный
Три нуля к нему прибавить можно
И само число из цифры этой
Вычесть для тебя совсем не сложно.
3.11 Умножение чисел от 91 до 99 друг на друга.
Первый множитель вычесть из 100, второй множитель вычесть из 100, результаты сложить. Сумму вычесть из 100 и записать ответ первыми цифрами ответа. Далее перемножить ответы и записать следующими цифрами ответа.
97 х 96 = 9312
100 – 97 = 3, 100 – 94 = 4.
4 + 3 = 7, 100 – 7 = 93, 4 х 3 = 12.
Из ста вычесть и второй и первый
Все сложить, поверьте, это верно.
Результат опять от ста отнимем
И началом для ответа примем.
А в конец ответа – очень просто,
Перемножим отнятое от ста.
3.12 Умножение трёхзначных чисел от 101 до 109.
Если к одному из чисел прибавить единицы второго числа, то это
будут первые цифры ответа, затем перемножить единицы - это будут
последние цифры ответа.
105 х 107=11235.
105 + 7 = 112, 5 х 7 = 35.
Целое число плюс единицы
И отправим их за знак «равно»
Только единицы перемножим
И поставим рядом заодно.
3.13 Умножение двузначного числа на 101.
Самое простое правило: припишите число к самому себе.
57 х 101 = 5757
На сто один умножить просто
Число ставь рядом как по росту.
3.14 Применение моего пособия.
Стихи получились не сложными и легкими в запоминании. Я раздала своим одноклассникам брошюры, в которых объясняются сами методы устного счета и рядом располагаются стихи для запоминания метода.
Спустя месяц, я провела исследование способом анкетирования и получила такие результаты. Из 29 опрошенных 20 человек сказали, что мои стихи им очень помогли в запоминании способов быстрого счета.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение я бы хотела сказать, что выбранная мной тема мне очень понравилась, мне было очень интересно искать разные возможности облегчения устного счета. Оказалось очень интересно и захватывающе самой разбираться в примерах, проверять и перепроверять работает ли алгоритм, сочинять стихи и разрабатывать свое пособие, а потом раздать его друзьям.
В ходе работы над проектом мне удалось кратко познакомиться с историей появления различных приемов устного счета и узнать, как человечество развивалось в этом направлении.
Цель моей работы было создание своего пособия по запоминанию некоторых методов устного счета. Указанное пособие основано на стихах про математические примеры, которые я сочинила сама. Цель моей работы достигнута.
После знакомства с моей брошюрой, ребята стали интересоваться математикой и, в частности, исследованием алгоритмов устного счета. А это, в свою очередь, развивает память, мышление, другие умственные способности, приучает к поиску решений в любых жизненных ситуациях. Таким образом, казалось бы простая тема получила большой отклик у моих одноклассников и все получили новые знания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Арутюнян Е., Левитас Г. "Занимательная математика" -М.:АСТ-пресс,1999г.
Владимиров, А. И. Интересные способы быстрого счета / А. И. Владимиров, В. В. Михайлова, С. П. Шмелева. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2016. — № 6.1 (9.1). — С. 15-17. — URL: https://moluch.ru/young/archive/9/633/ (дата обращения: 27.10.2020).
Гарднер М. "Математические чудеса и тайны." М. 1978.
ГлейзерГ.И." История математики в школе." - М,1981.
"Библиотечка Первого сентября»,серия «Математика».Вып.3(15). http//portfolio 1 September ru/subjest
ПРИЛОЖЕНИЕ