XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Орбитальный переход Гомана посредством вращающихся тросовых систем
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Аннотация
Тросовые системы – это новый вид космических аппаратов (КА). Вращающиеся тросовые системы могут не только создавать искусственную гравитацию, но и запасать энергию вращения для последующего орбитального маневрирования. Энергия высвобождается после управляемого разрыва троса между частями системы. Одна часть КА получает разгонный импульс и увеличивает апогей орбиты. Другая часть, напротив, получает тормозной импульс и уменьшает перигей орбиты. Силы натяжения тросов в различных системах были изучены ранее. В этой работе начинается исследование орбитальных манёвров тросовых систем только за счёт энергии вращения, то есть без использования химического топлива. В работе изучаются движения двух вариантов тросовых систем после разрыва троса. При каких условиях можно выполнить двухимпульсный переход по схеме Гомана?
Введение
Идея работы появилась после критики традиционных конструкций космических аппаратов (КА). Сейчас всё чаще начинают применять малые КА [1]. Но в таких аппаратах нельзя разместить запас топлива даже для возвращения на Землю, не говоря о межорбитальных переходах. Возвратить КА на Землю можно без расхода топлива. В Ракетно-космической корпорации «Энергия» им. С.П.Королёва разработан проект возвращения КА с помощью качающейся тросовой системы [2]. Но если качательное движение способно перевести КА на другую орбиту, то вращение и подавно повторит то же самое. В этой работе изучаются орбитальные переходы, требующие небольшой энергетики. Например, для возвращения КА на Землю с низкой орбиты достаточно уменьшить его скорость на 80-130 м/с [3]. В традиционных КА тормозной импульс получается от тормозной двигательной установки. В качательной тросовой системе импульс получается в момент определённого относительного движения. Это же можно сделать при вращении тросовой системы. Если два груза связать тросом и раскрутить, то скорости движения будут противоположно направлены друг другу. Раскрутку грузов можно провести как в космосе, если конструкции большие, так и на Земле, если габариты обтекателя ракеты-носителя позволяют. После выведения на орбиту грузы вращаются вокруг центра масс. Если трос разорвать в момент времени, когда один груз движется в ту же сторону, что и КА, а другой против, то первый груз получит разгонный импульс, а второй тормозной. При этом используется запасённая энергия вращательного движения. В работе предполагается, что тормозная скорость для возвращаемого КА равна 100 м/с. При таком условии даже пилотируемый аппарат может быть возвращён с орбиты [4]. Но тогда появилась задача о движении второго груза, ушедшего на эллиптическую орбиту с увеличенным апогеем. Какова будет его орбита? Можно ли будет маневрировать далее? Ответам на эти вопросы посвящена исследовательская работа. Расчётные формулы взяты из книги С.А.Мирера [4].
Орбитальный манёвр двух одинаковых грузов после разрыва троса
Самая простая тросовая система состоит из двух одинаковых грузов, связанных абсолютно гибким тросом. Трос предполагается невесомым. Это означает, что масса троса намного меньше массы грузов. Тросовая система закручивается на Земле или в космосе на орбите. Способ закрутки системы в этой работе не изучается, но является вполне осуществимым в современных условиях. Например, при орбитальной раскрутке большой тросовой системы для получения относительной скорости вращения грузов достаточно иметь радиус 100 метров, то есть трос длиной 200 м, и угловую скорость вращения 1 рад/с, то есть около 60 град/с. При разрыве троса в момент, когда скорость одного груза направлена против скорости орбитального движения центра масс системы, этот груз получит торможение 100 м/с. Этого достаточно для безопасного возвращения КА на Землю. Суть манёвра торможения заключается в сообщении тормозного импульса в точке апогея. Тогда высота перигея уменьшится. Если перигей находится в атмосфере Земли, то аппарат возвращается, как возвращаются космонавты. Цель достигнута, но остался второй груз, который можно применить для других целей на другой орбите. Появилась задача определения орбиты груза, получившего разгонный импульс. Для решения этой задачи были применены реальные исходные данные.
Исходные данные: высота начальной круговой орбиты h1=200 км, дополнительная разгонная скорость сонаправлена со скоростью центра масс до разрыва троса и равна dV1=100 м/с.
Надо определить высоту апогея эллиптической орбиты второго груза.
Из книги [4] были взяты следующие расчётные формулы.
Круговая скорость равна .
Гравитационный параметр Земли м3/с2. Значение взято из справочника [5] и переведено в единицы измерения системы СИ.
Радиус Земли равен м.
Радиус начальной круговой орбиты .
В книге [5] есть формула, по которой связываются начальный радиус орбиты r1, круговая скорость V1, высота апогея новой орбиты r2, разгонная скорость на круговой орбите dV1. Вот эта формула: .
Из этой формулы надо выразить удаление r2 апогея новой орбиты.
Сначала выражается отношение .
Правую часть удобно обозначить .
Из этой пропорции находится апогей .
Высоту апогея новой эллиптической орбиты над поверхностью Земли можно вычислить по формуле .
На рис.1. показана схема первого орбитального перехода груза, получившего разгонный импульс.
Рис.1. Первый орбитальный переход в схеме Гомана
Расчёты по формулам можно упростить, применив табличный редактор Microsoft Excel. Оставленная в этом редакторе программа позволяет выполнять множество расчётов с различными исходными данными.
Программа для расчёта первого орбитального перехода
По разработанной методике была составлена программа в табличном редакторе Microsoft Excel. Рабочее окно экрана с таблицей показано на рис.2.
Рис.2. Рабочее окно программы Microsoft Excel
Исходные данные вводятся в ячейки В5 (высота орбиты над поверхностью Земли в метрах) и В8 (разгонная скорость на первой круговой орбите). В промежуточных ячейках запрограммированы расчётные формулы. Результат расчёта появляется в ячейке G15 в виде высоты апогея над поверхностью Земли в километрах. Рядом в ячейке Е15 выводится высота начальной круговой орбиты тоже в километрах.
Пример расчёта выполнен для начальной круговой орбиты высотой 200 км с первой разгонной скоростью 100 м/с. Такой разгон второго груза тросовой системы поднимает высоту апогея до 349 км, то есть на 149 км. Первый груз затормозился, его движение не изучается, потому что он свою задачу выполнил, вернувшись на Землю с допустимыми перегрузками, даже с космонавтами.
Достоинство такой простой программы заключается не только в быстроте расчёта, но и в обучающей направленности. Например, увеличивая разгонную скорость, можно убедиться в увеличении удалённости апогея при неизменном перигее во время первого орбитального маневрирования. На рис.3 показана таблица с разгонной скоростью в 10 раз большей, то есть 1000 м/с.
Рис.3. Увеличение разгонной скорости поднимает апогей
Увеличение разгонной скорости до 1000 м/с при первом маневрировании подняло апогей почти на 5000 км, а не на 149 км, как при 100 м/с. Для возвращения первого груза на Землю такой импульс нельзя сообщать, потому что спускаемый аппарат резко войдёт в атмосферу с большими перегрузками и нагревом и разрушится. Силы натяжения тросов в различных системах были изучены ранее [6,7].
Ограниченность тросовой системы из двух грузов
Первый груз затормозился и вернулся на Землю. Второй груз перешёл на эллиптическую орбиту. Закономерен вопрос о более высокой круговой орбите. Можно ли перевести второй груз с эллиптической орбиты на круговую, но более высокую, чем первая? Это известная схема Гомана для орбитального маневрирования, причём самого экономичного [4]. В традиционных КА такое маневрирование выполняется с помощью ракетных двигателей. Целью этой работы является отказ от топлива и замена химической энергии совершенно другим видом – энергией вращения тел.
Сначала надо определить вторую разгонную скорость второго груза в точке апогея. Для этого применены формулы из той же книги [4]. Но теперь нужно воспользоваться формулой для определение второй разгонной скорости в апогее новой эллиптической орбиты: .
Для ускорения расчётов удобно программу в табличном редакторе дополнить этой формулой, расчётами по ней и полученным результатом. На рис.4 показана дополненная таблица. В ней в ячейке F18 записан результат – разгонный импульс в апогее для завершения перехода Гомана на более высокую круговую орбиту.
Рис.4. Второй разгонный импульс в схеме Гомана
Разгонная скорость оказалась немного меньше 100 м/с, потому что круговая скорость уменьшается с высотой, тяготение Земли становится меньше.
Однако второй груз не может совершить манёвр, потому что у него нет запаса энергии.
Вывод по первой части работы.
Тросовые вращающиеся системы с двумя грузами после управляемого разрыва троса могут обеспечить возвращение на Землю одного груза и одновременно перевести на эллиптическую, а не круговую, орбиту второй груз.
Первый манёвр тросовой системы из трёх грузов
Для маневрирования на эллиптической орбите второй груз должен иметь запас энергии. Цель работы заключается в обеспечении энергией космических аппаратов за счёт вращения системы. У точки понятие вращения отсутствует. Как говорил Евклид: «Точка – это то, что не имеет частей». Значит, второй груз тоже должен быть вращающейся системой. Исследование новой системы началось с простейшего симметричного варианта, схема которого показана на рис.5.
Рис.5. Вращающаяся тросовая система с тремя грузами
Обозначения скоростей приведены в системе центра масс, который движется по начальной круговой орбите высотой h1, как и в случае двух грузов, связанных тросом. Крайние грузы имеют одинаковые массы М, центральный груз имеет массу m. Большая буква в обозначении массы не означает, что эта величина больше. Длина каждого троса равна R. До разрыва первого (правого на рисунке) троса общий импульс системы равен нулевому вектору, то есть . Момент импульса равен . В системе центра масс импульс и момент импульса системы сохраняются после разрыва первого (правого на рисунке) троса.
По закону сохранения импульса определяется скорость центра масс новой системы из двух грузов (левой на рисунке) сразу после разрыва первого троса: . Это та дополнительная разгонная скорость, которая переведёт связку из двух грузов на эллиптическую орбиту, подняв апогей. Но высота апогея не такая, как в предыдущей задаче, потому что скорость центра масс второй связки равна не dV1, а меньше, то есть . Повторяем расчёты, как в предыдущей задаче. При этом круговая скорость на нижней круговой орбите прежняя V1, а дополнительная разгонная скорость равна .
Вот эта формула: .
Из этой формулы надо выразить удаление r2 апогея новой орбиты.
Сначала выражается отношение .
Правую часть удобно обозначить .
Из этой пропорции находится апогей .
Высоту апогея новой эллиптической орбиты над поверхностью Земли можно вычислить по формуле .
Положение центра масс двух грузов (слева на рисунке) определяется по формуле из курса статики: .
По закону сохранения момента импульса определяется угловая скорость вращения двух связанных грузов: ;
.
Угловая скорость вращения двух грузов такая же, как и трёх грузов до разрыва первого троса.
Линейная скорость груза m на оставшемся втором тросе равна
.
Линейная скорость груза М на оставшемся втором тросе равна
.
Задача определения движения системы после разрыва первого троса решена полностью.
Конкретный практический пример остался прежним. К скорости dV1 предъявлено требование dV1=100 м/с, связанное с безопасным возвращением первого груза на Землю с орбиты высотой h1=200 км над поверхностью Земли. Первый груз вернулся на Землю, а вторая часть системы, то есть два груза М и m, вращающиеся на втором тросе, перешли на эллиптическую орбиту с апогеем h2=349 км над поверхностью Земли. У этих двух грузов, как новой вращающейся тросовой системы, есть запас вращательной энергии, которую можно использовать для дальнейшего маневрирования после разрыва второго троса. Появилась следующая задача. Как выполнить в апогее второй импульс для перевода КА, а точнее, одного груза, на высокую круговую орбиту?
Второй манёвр тросовой системы из трёх грузов
В предыдущей задаче о тросовой системе из двух грузов была определена необходимая разгонная скорость в апогее эллиптической орбиты для перехода КА на высокую круговую орбиту. В изученном конкретном примере она оказалась равна 98,7 м/с. Однако запаса вращательной энергии у одного второго груза нет. Тросовая система из трёх грузов позволила один груз вернуть на Землю после тормозной скорости 100 м/с, а на эллиптическую орбиту перевести два вращающихся груза, связанных вторым тросом. Массы грузов различны, обозначены буквами М и m. Вращение связанных грузов происходит вокруг общего центра масс, поэтому линейные скорости грузов различны. До этого момента массы М и m грузов предполагались произвольными. Теперь появилась очередная задача. Надо так подобрать соотношение масс М и m грузов, чтобы один из них при вращении имел линейную скорость вращения относительно центра масс, точно соответствующую второму импульсу в схеме Гомана. В рассмотренном примере эта скорость равна 98,7 м/с, но с тремя грузами эта скорость будет другой, потому что высота апогея изменилась (уменьшилась). В такой системе надо выполнить управляемый разрыв троса. Управляемый, потому что трос должен быть разорван в тот момент в апогее, когда относительная скорость вращения dV2 груза сонаправлена со скоростью движения центра масс вращающейся тросовой системы по орбите. После разрыва троса этот груз получит требуемую добавочную скорость и перейдёт на высокую круговую орбиту. Был получен следующий результат.
Линейная скорость груза m на втором тросе равна .
Линейная скорость груза М на втором тросе равна .
Обе скорости меньше заданной величины V1=100 м/с.
Предположим, что dV2=V3 Это означает, что на высокую круговую орбиту в манёвре Гомана после разрыва второго троса будет переведён груз М, то есть такой же, по массе, какой был возвращён на Землю после разрыва первого троса. Вычисляем соотношение масс:
.
Вывод. Для выполнения манёвра Гомана с переводом космического аппарата с низкой круговой орбиты на более высокую круговую орбиту надо иметь вращающуюся тросовую сиcтему.
Программа для расчёта манёвра системы с тремя грузами
При проведении тестового расчёта оказалось, что груз М обязательно должен быть больше груза m, но на круговую орбиту надо переводить более лёгкий груз m. Особенность работы с программой поясняется таблицей на рис.6.
Рис.6. Расчёт второго импульса в манёвре Гомана
Отношение M/m масс грузов определяется формулой и зависит от отношения дополнительных скоростей dV2/dV1. Вот эта зависимость: . Дополнительная скорость dV1 задана, в расчётном примере она равна 100 м/с. Однако вторая дополнительная скорость dV2 в апогее эллипса зависит от искомого отношения M/m масс грузов. Получился замкнутый логический круг. Для определения отношения масс M/m надо знать вторую дополнительную скорость dV2, но для определения второй дополнительной скорости dV2 надо знать отношение масс M/m. Для решения такой «замкнутой» задачи был применён ручной итерационный метод. Итерации – это подбор отношения масс M/m, причём ручным способом, до тех пор, пока не будет выполнено равенство . Отношение масс M/m вручную вводится в ячейку G1, потом значение изменяется тоже вручную, пока в ячейках G1 и J1 не появятся одинаковые числа с заданной точностью. В этой задаче точность 0,0001, что соответствует ста граммам массы на одну тонну. Точность можно делать любой – это вопрос времени подбора.
Главный результат записан в ячейке F18 – это дополнительная скорость второго импульса при манёвре Гомана.
Недостаток – как обычно, очень большие затраты энергии на орбитальные манёвры. В расчётном примере только 1/78 часть груза перейдёт на высокую круговую орбиту.
Выводы
1. Космическая тросовая система с тремя грузами позволяет выполнить манёвр Гомана для перевода КА с низкой круговой орбиты на высокую.
2. Химическое топливо не требуется, используется только энергия вращения тросовой системы – это главное преимущество нового типа КА.
3. Раскрутить небольшую тросовую систему с малыми КА можно на Земле под обтекателем перед стартом ракеты-носителя, для больших конструкций раскрутку можно выполнять только в космосе на орбите, затратив топливо, но следующие манёвры не требуют химического топлива.
4. Разработана программа Microsoft Excel расчёта манёвра Гомана, выполнен тестовый расчёт тросовой системы с тремя грузами: высота начальной круговой орбиты 200 км, конечной круговой орбиты 344 км, первый возвращаемый на Землю груз получает торможение 100 м/с на низкой круговой орбите после разрыва первого троса, во второй вращающейся связке двух грузов 1/78 часть массы переводится на высокую круговую орбиту дополнительной скоростью 97,5 м/с, полученной от вращения второй части системы после разрыва второго троса.
5. Перспектива – изучение других вариантов тросовых систем.
Список использованных источников и литературы
1. Меньшиков В.А., Перминов А.Н., Урлич Ю.М. Глобальные проблемы человечества и космос. – М.: «Изд. МАКД», 2010. – 570 с.
2. Осипов В.Г., Шошунов Н.Л. Космические тросовые системы: история и перспективы / Земля и Вселенная. Космонавтика. – Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С.П.Королёва. - №4, 1998.
3. Микрин Е.А., Комарова Л.И., Орловский И.В., Евдокимов С.Н., Лукашевич А.И. Особенности бортового баллистико-навигационного обеспечения спуска в системе управления транспортного пилотируемого корабля “Союз ТМА”, Пробл. управл., 2010, выпуск 6, 58–63.
4. Мирер С.А. Механика космического полёта. Орбитальное движение. Учебное пособие. Часть 2. – М.: МФТИ (НИУ), 2013.
5. Астрономические постоянные. Электронный ресурс: http://www.sai.msu.ru/neb/rw/cm_const.htm
6. Екимовская А.А. 10 класс. Механика космических тросовых вращающихся систем. Секция: Физика. X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся. - Москва: Российская академия естествознания (РАЕ), август, 2019 г. Диплом Победителя 1 степени. - Электронный ресурс: конкурсная работа https://school-science.ru/10/11/45529; полный текст работы https://files.school-science.ru/pdf/10/5f3d29c48c57f.pdf; Диплом победителя 1 степени https://files.images.rae.ru/certificate/13/5f4e32880a7b8.png
7. Екимовская А.А. 9-й класс, МАОУ "Центр образования №32" города Череповца Вологодской области. Применение табличного редактора Microsoft Excel для решения задачи о космической тросовой вращающейся системе / Научно-методическое издание: Материалы XXXI конференции "Современные информационные технологии в образовании". Ред. группа: Алексеев М.Ю. и др. - Фонд новых технологий в образовании "БАЙТИК", ИТО-Троицк-Москва, 2-3 июля 2020. - 572 с. - ISBN 978-5-89513-468-9. - С.507-511.- Эл. ресурс: https://lk-ito.bytic.ru/uploads/files/materials.pdf
Приложение: результаты проверки статьи в двух системах «Антиплагиат» с показателями более 97%
Информационная система TEXT.RU
Информационная система ANTIPLAGIAT.RU4