XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Практическое применение арифметической прогрессии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цель: Установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Объектом исследования:арифметическая про.грессия.
Предмет исследования:практическое пр.именение про.грессий.
Гипотеза исследования: на уроках м.атематики м.ы много раз с.лышали о то.м, что мате.матика – н.аука очень дре.вняя и воз.никла она из пр.актических ну.жд человек.а. Видимо, и про.грессии име.ют определе.нное практ.ическое зн.ачение.
Цель исследования: установить воз.можности пр.именения по.нятий об ар.ифметическо.й и геометр.ической про.грессиях д.ля решения пр.актически з.начимых за.дач жизнеде.ятельности че.ловека.
Задачи исследования:
Выяснить:
когда и в с.вязи, с ка.кими потреб.ностями че.ловека поя.вилось
понятие пос.ледователь.ности, в ч.астности - про.грессии;
какие учен.ые внесли бо.льшой вкла.д в развит.ие теоретичес.ких и
практических з.наний по изуч.аемой проб.леме;
теоретические ос.новы геометр.ической и ар.ифметическо.й
прогрессий.
Установить: и.меют ли ар.ифметическ.ая и геометр.ическая про.грессии пр.икладное з.начение? Н.айти пример.ы применен.ия прогресс.ий в нашей ж.изни.
Методы исследования:
анализ шко.льных учеб.ников мате.матики, мате.матической, с.правочной л.итературы, л.итературы по истор.ии математ.ики, матер.иала из Интер.нета;
обобщение н.айденных ф.актов в учеб.никах по б.иологии, по э.кологии, по э.кономики и в ме.дицинских с.правочника.х.
В данной р.аботе, мы отр.азим приме.нение прогресс.ий в повсе.дневной
жизни, и по.кажем, что м.атематика я.вляется част.ью общечело.веческой ку.льтуры.
Паспорт работ.ы………………………………………………………….2
Содержание……………………………………………………………..4
Введение…………………………………………………………….…..5
Глава 1. Теоретические основы арифметической прогрессии.…5
Определение ар.ифметическо.й прогресс.ии……………………5
Формула ар.ифметическо.й прогресс.ии………...…………...….6
Историческая с.правка…………………………………………..7
Интересные ф.акты об ар.ифметическо.й прогресс.ии………….7
Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни…………………………………………………………………...8
Арифметические и гео.метрические про.грессии в по.вседневной ж.изни……………………………………………8
Глава 3. Применение арифметической прогрессии в задачах…11
Заключение………………………………………………………….....16
Введение
Математика все.гда была неотъе.млемой и су.щественней.шей состав.ной частью че.ловеческой ку.льтуры, он.а является к.лючом к поз.нанию окру.жающего мир.а, базой н.аучно-техн.ического про.гресса и в.ажной компо.нентой раз.вития личност.и.
Математика встреч.ается и ис.пользуется в по.вседневной ж.изни, следо.вательно, о.пределенные м.атематичес.кие навыки ну.жны каждому че.ловеку.
В 9 классе м.ы начинаем изуч.ать числов.ые последо.вательност.и. Изучили ар.ифметическу.ю и геометр.ическую про.грессии: д.али опреде.ление, науч.ились нахо.дить по фор.мулам любо.й член про.грессии, су.мму членов про.грессии.
Найдя ответ.ы на вопрос.ы: имеет л.и это, какое - л.ибо практичес.кое значен.ие и как д.авно люди з.нают после.довательност.и, как воз.никло это по.нятие, мы по.дтвердим и.ли опровер.гнем утвер.ждение о то.м, что мате.матика – н.аука очень дре.вняя и воз.никла она из пр.актических ну.жд человек.а, что мате.матика явл.яется част.ью общечело.веческой ку.льтуры.
Глава 1. Теоретические основы арифметической прогрессий
Определение арифметической прогрессии
Арифметической про.грессией н.азывают та.кую последо.вательност.ь, в которо.й каждый ч.лен, начин.ая со второ.го, равняетс.я предыдуще.му, к которо.му прибавл.яют одно и то же ч.исло.
Число d, которое в пере.воде обозн.ачает слово «р.азница», нос.ит название р.азницы ариф.метической про.грессии.
Иными слов.ами можно с.казать, что ар.ифметическ.ая прогресс.ия — это ч.исловая пос.ледователь.ность (аn), з.аданная ре.куррентно соот.ношениями
an+1 = an + d
При этом n = 2, 3, 4
Где, a и d я.вляются за.данными чис.лами.
То есть, т.акая число.вая последо.вательност.ь, как a1, a.2, а3, ..., а.n ... счит.ается ариф.метической про.грессией.
Иначе говор.я, числова.я последов.ательность a1, a.2, а3, ..., а n ... я.вляется ар.ифметическо.й прогресс.ией, если д.ля любого н.атурального ч.исла n выпо.лняется ус.ловие an + 1 = a.n + d. Из это.го равенст.ва следует р.авенство a.n + 1 - an = d котор.ая означает, что р.азница меж.ду любым с.ледующим и пре.дыдущим чле.нами арифмет.ической про.грессии р.
Формула арифметической прогрессии
Такое нахо.ждение ариф.метической про.грессии, в которо.м чтобы выч.ислить аn, необ.ходимо еще н.айти и 99 пре.дшествующи.х членов пос.ледователь.ности, явл.яется не со.всем удобн.ым. Естест.венно, что т.акую вычис.лительную р.аботу буде.н лучше вы.полнить пр.и помощи фор.мулы n-го ч.лена, то ест.ь осуществ.ить аналит.ическое за.дание ариф.метической про.грессии.
Припустим, что пер.вый член ар.ифметическо.й прогресс.ии равен а1, а d - р.азница.
Тогда:
a1 = a1,
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d,
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d,
a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d,
Мы видим, что в эт.их формула.х коэффицие.нт при чис.ле d на од.ин меньше пор.ядкового но.мера члена про.грессии.
Историческая справка
А известно л.и вам, что соз.дание форму.лы 1-х n – ч.ленов ариф.метической про.грессии тес.но переплет.ается с име.нем такого уче.ного, как К.арл Фридри.х Гаусс. Бу.дучи еще со.всем ребен.ком, он про.являл себя ист.инным вундер.киндом, и кро.ме того, что у.мел читать и п.исать, уму.дрялся испр.авлять ошиб.ки отца в по.дсчетах.
Если верит.ь легенде, то во вре.мя учебы, ко.гда учител.ь предложи.л детям сосч.итать сумму ч.исел от од.ного до ст.а, то вось.милетний К.арл Гаусс оче.нь быстро н.ашел искому.ю величину, т.ак как смо.г заметить, что по.парные сум.мы с проти.воположных сторо.н имеют од.инаковый резу.льтат. Нем.ного позднее о.н вывел фор.мулу арифмет.ической про.грессии.
А вот «про.грессия», к.ак термин по.явился в шесто.м веке бла.годаря рим.лянину Боэ.цию и воспр.инимался, к.ак бесконеч.ная числов.ая последо.вательност.ь. И уже дре.вние греки из теории не.прерывных про.порций выде.лили такие н.азвания, к.ак «арифмет.ическая» и «.геометричес.кая» прогресс.ия.
Интересные факты об арифметической прогрессии
В 1796 году К.арл Фридри.х Гаусс ре.шил окончате.льно посвят.ить себя м.атематике, пото.му что обн.аружил мето.д, который поз.волил постро.ить правил.ьный семна.дцатиуголь.ник только с по.мощью лине.йки и цирку.ля! Над это.й задачей б.ились все из.вестные мате.матики-гео.метры еще со вре.мен великого Э.вклида! А ве.дь изначал.ьно Гаусс соб.ирался пос.вятить себ.я классичес.кой литературе, из-з.а необыкно.венных скло.нностей к яз.ыкам.
Некоторые ф.акты, о мате.матических про.грессиях б.ыли извест.ны еще дре.вним китайс.ким и инди.йским мудре.цам. Так, н.апример, ест.ь древняя и.ндийская ле.генда, котор.ая рассказ.ывает об изобрете.нии шахмат, а которо.й проходят мо.менты, связ.анные со з.наниями ар.ифметическо.й прогресс.ии.
Легенда расс.казывает, к.ак индийск.ий шах Шер.ам пообеща.л награду то.му, кто пр.идумает интерес.ную игр, котор.ая вызовет д.лительный и.нтерес у и.ндийского в.ладыки. Но му.дрец Сета, котор.ый придума.л шахматы, по.просил за ее изобрете.ние такое ко.личество зере.н, которое бу.дет увелич.иваться в з.ависимости от к.леток на ш.ахматной дос.ке. И если н.а первую к.леточку ну.жно положит.ь только о.дно зерныш.ко, то на с.ледующую в д.ва раза бо.льше. И та.к каждый р.аз количест.во зерен н.а каждой с.ледующей к.летке снов.а удваиваетс.я по сравне.нию с пред.ыдущей и т..д. вплоть до шест.ьдесят чет.вертой клет.ки. Это зн.ачит, что ко.личество зере.н равняетс.я сумме шест.идесяти чет.ырех членно.й геометричес.кой прогресс.ии. В итоге до.лжно было по.лучиться т.акое число зере.н, которое ну.жно было б.ы собирать со все.й планеты. Поэто.му шах прос.ьбу ученого в.ыполнить н.икак не мо.г.
А вот с по.мощью вычис.лений англ.ийский мате.матик Абра.хам де Муа.вр смог пре.дсказать д.ату своей ко.нчины. Наб.людая за про.должительност.ью своего с.на, он замет.ил, что он.а с каждым д.нем увелич.ивается на п.ятнадцать м.инут в ден.ь и, рассч.итав арифмет.ическую про.грессию, о.н узнал дату с.воей смерт.и и в этот же де.нь и умер.
Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни
Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни
Первые зад.ачи, дошед.шие да нас н.а прогресс.ии, были с.вязаны с з.апросами хоз.яйственной ж.изни и общест.венной пра.ктикой. Та.к и в наше вре.мя формулы ар.ифметическо.й и геометр.ической про.грессии ис.пользуются пр.и подсчёте д.анных в про.граммирова.нии, эконо.мике, хими.и, литературе, физике, био.логии, гео.метрии, эко.номике, ст.атистике, а т.акже и в по.вседневной ж.изни. Расс.мотрим при.меры приме.нения более по.дробно:
Химия: при по.вышении те.мпературы по ар.ифметическо.й прогресс.ии скорост.ь химическо.й реакций р.астёт по гео.метрическо.й прогресс.ии. При по.вышении те.мпературы от +.20 до + 60 гр.адусов, скорост.ь реакции у.величиваетс.я в 150 раз;
Физика: не.йтрон, удар.яя по ядру ур.ана, раска.лывает его н.а 2 части, по.лучаются 2 не.йтрона. Зате.м 2 нейтро.на, ударяя по д.вум другим я.драм, раск.алывают их е.щё на 4 част.и и т.д. – это гео.метрическа.я прогресс.ия;
Литература: д.аже в литер.атуре мы встреч.аемся с мате.матикой. Т.ак, вспомн.им строки из «.Евгения Оне.гина».
…Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить…
Ямб – это ст.ихотворный р.азмер с уд.арением на чёт.ных слогах 2,
4, 6, 8… . Но.мера ударн.ых слогов обр.азуют ариф.метическую про.грессию с пер.вым членом 2 и р.азностью про.грессии 2.
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…» (А.С.Пушк.ин)
Прогрессия 2, 4, 6, 8…
«Так бей, не знай отдохновенья,
Пусть жила жизни глубока:
Алмаз горит издалека -
Дроби, мой гневный ямб, каменья!» (И. Блок)
Прогрессия 2,4,6, 8, 10,1.2…
Хорей – это ст.ихотворный р.азмер с уд.арением на нечёт.ных слогах ст.иха. Номер.а ударных с.логов образу.ют арифмет.ическую про.грессию 1, 3, 5, 7…
«Я пропАл , как звЕрь в загОне…» (Б.Л.Пастер.нак)
Прогрессия 1, 3, 5, 7…
Листья падают в саду…
В этот старый сад, бывало,
Ранним утром я уйду
И блуждаю, где попало. (И.Бунин) [10].
Биология: в м.икробиолог.ии также р.аботают за.коны матем.атики. Так, м.икроорганиз.мы размнож.аются деле.нием попол.ам. При на.личии благо.приятных ус.ловий и через о.динаковый про.межуток вре.мени их ко.личество у.дваивается, н.апример:летом инфузор.ии размнож.аются беспо.лым способо.м делением по.полам. Во.прос: скол.ько будет и.нфузорий пос.ле 15-го р.азмножения?
Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)
Экономика: про.грессия имеет оче.нь широкое пр.именение в э.кономике. С её по.мощью банк.и производ.ят расчеты с в.кладчиками, о.пределяют, к.акие средст.ва можно р.азместить в кре.диты, реша.ют, стоит л.и вкладыват.ь средства в кру.пные проект.ы, доход от котор.ых будет по.лучен через нес.колько лет и т..д. Так, вк.лады в бан.ках увелич.иваются по с.хемам слож.ных и прост.ых проценто.в. Простые про.центы – уве.личение пер.воначально.го вклада в ар.ифметическо.й прогресс.ии. Сложные про.центы – уве.личение пер.воначально.го вклада в гео.метрическо.й прогресс.ии.
В медицине: Больной пр.инимает ле.карство по с.ледующей с.хеме: в пер.вый день о.н принимает 5 к.апель, а в к.аждый следу.ющий день — н.а 5 капель бол.ьше, чем в пре.дыдущий. Пр.иняв 40 ка.пель, он 3 д.ня пьет по 40 к.апель лекарст.ва, а пото.м ежедневно у.меньшает пр.ием на 5 к.апель, дове.дя его до 5 к.апель. Ско.лько пузыр.ьков лекарст.ва нужно ку.пить больно.му, если в к.аждом содер.жится 20 м.л лекарств.а (что сост.авляет 250 к.апель)?
Найдя сумму пер.вых членов ар.ифметическо.й прогресс.ии, найдете, что в.ам надо ку.пить 180 к.апель. Т.е. 2 пуз.ырька лекарст.ва.
Решение. Сост.авим матем.атическую мо.дель задач.и:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 ап=а1+d(n-1), 40=5+5(.п-1), п=8,
Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,
180 капель бо.льной прин.имал по схе.ме в первы.й период и сто.лько же по второ.й период. Все.го он прин.ял 180+40+180=400(.капель), все.го больной в.ыпьет 400:.250=1,6 (пуз.ырька). Зн.ачит, надо ку.пить 2 пуз.ырька лекарст.ва.
Глава 3. Применение арифметической прогрессии в задачах
Задача №1 (экономическая)
15 января п.ланируется вз.ять кредит в б.анке на 14 мес.яцев. Усло.вия его воз.врата тако.вы: -1-го ч.исла каждо.го месяца до.лг возраст.ает на 4% по ср.авнению с ко.нцом преды.дущего мес.яца:- со 2-го по 14-е ч.исло каждо.го месяца необ.ходимо вып.латить част.ь долга;
- 15-го чис.ла каждого мес.яца долг до.лжен быть н.а одну и ту же су.мму меньше до.лга на 15-е ч.исло преды.дущего мес.яца.Известно, что з.а первые 7 мес.яцев нужно в.ыплатить б.анку 1 080 т.ыс. рублей. К.акую сумму п.ланируется вз.ять в кред.ит?
Решение:
Пусть в ба.нке взяли су.мму S млн. рубле.й, на 14 мес.яцев с про.центной ст.авкой 4% , по ус.ловию задач.и выплата з.а 7 месяце.в составляет
1) S * 0,04 ( 14/14 + 1.3/14 + 12/11 + … 8/14) – кро.ме того, необ.ходимо вып.латить дол.г перед ба.нком за 7 мес.яцев:
7/14 * S = 1/2S млн. рубле.й.
Тогда за вес.ь период н.адо выплат.ить
S/2 + S * 0,04 ( 14/14 + 1.3/14 + 12/14 … 8/14)
Выражение 14/14 + 1.3/14 + 12/14 … 8/14 ест.ь сумма чле.нов арифмет.ической про.грессии.
По формуле Sn = a1 + an/2 * n – получим S7 = 22/4 = 11/.2
тогда S * 0,04 * 11/.2 = S * 0,02 * 11
Так как из.вестно, по ус.ловию, что з.а первые 7 мес.яцев нужно в.ыплатить S/2 + S * 0,02 * 11 = 1080 т.ыс. рублей.
S ( 0,5 + 0,0.2 * 11) = 1080
S = 1080/(0,5 + 0,0.2 * 11)
S = 1080/0,7.2 = 1500 т.ыс. или 1.500.000
Ответ: 1500 т.ыс. или 1.500.00
Задача №2
Известно, что пос.ледние чле.ны двух ар.ифметическ.их прогресс.ий a1 = 5, a2 = 8, … , amи b1 = 9, b2 = 14, … , bk совпадают, а су.мма всех об.щих членов р.авна 815. Н.айти M и K.
Решение:
Очевидно, что аm = 5 + 3 * (m – 1), где 1<= m<= M, bk = 9 + 5 * (k-1) , где 1<=k<=K. Для нахо.ждения обще.го члена сост.авим и реш.им диофанто.во уравнен.ие 5 + 3 * (m-1) = 9 + 5 * (k-1) 3m= 5k+2
Левая част.ь полученно.го уравнен.ия делится н.а 3, значит, до.лжна делит.ься на 3 и первая ч.асть. Расс.матривая все.возможные ост.атки от де.ления k на 3 получ.им, что k = 3n -1, 3m = 5 * (3n -1) + 2 = 15n – 1, где 1<= n<= N
Определим N. Нетрудно в.идеть, что об.щие члены обо.их арифмет.ических про.грессий са.ми составл.яют арифмет.ическую про.грессию, поэто.му
SN= (14 + 15n – 1)/2 * N = 815 15N2 + 13N – 1630 = 0 N = 10
K = 3N – 1 = 29 и M = 5N – 1 = 49
Ответ: K = 29, M = 49
Задача №3
В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти её членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются натуральными числами.
An = A1+(n-1)*d - n-йчлена.п.
2*.A1 + (n-1)*d
Sn = ------------------- * n - су.мма n чле.нова.п.
2
Значит сре.днее арифмет.ическое бу.дет Sn/n = (.2*A1 + (n-1)*d)/.2
(2*A1+ 9*d)/.2 = 20
2* A1+9* d = 40, т.е., 9*d = 40 - 2*.A1
Т. к. A1 и d - н.атуральные ч.исла, то 9d до.лжно делит.ься нацело н.а 9
Переберем в.арианты
A1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9d: 38 36 34 3.2 30 28 26 24 2.2 20 18 д.альше не н.адо, т. к. т.ам нет чет.ных чисел. де.лящихся на 9
Видим 2 по.дходящих п.ары
A1 = 2, d=4 и A!=11, d = 2 это от.вет. т.е. 2 в.арианта
Задача №4
Компьютерная игра состоит в последовательном прохождении нескольких уровней. За прохождение каждого уровня игрок получает 50 баллов. Кроме того, начисляются и премиальные баллы по следующей схеме: 10 баллов за второй уровень и за каждый следующий уровень на 10 балов больше, чем за предыдущий. Сколько уровней надо пройти, чтобы набрать ровно 1100 баллов?
Решение:
S = (2a1 + d(n-1))/2 * n
1100 = (100 + 10(.n-1)/2 * n
2200 = (100 + 10.n – 10)n
2200 = n(90 + 10.n)
2200 = 10n2 + 90n : 10
n2 + 9n – 220 = 0
D = b2 – 4ac
D = 961
961 = 312
n1 = (-9 + 31)/.2 = 22/2 = 11 n2 = (9 + 31)/.2 = 40/2 = 20(.не подходит)
Задача №5
Для полива 20 деревьев, расположенных по прямой линии на расстоянии 2 метра друг от друга, садовник приносит воду для каждого отдельного дерева из колодца, находящегося на той же прямой линии в 10 метров от первого дерева. Сколько всего метров пройдет садовник, чтобы полить все деревья и возвратиться к колодцу?
Решение:
Расстояние от ко.лодца до пер.вого дерев.а расстоян.ие от коло.дца до сле.дующего дере.ва на 2 метр.а больше, то.гда d = 2, рассто.яние, скол.ько пройдет с.адовник, чтоб.ы полить все дере.вья равно су.мме арифмет.ической про.грессии.
Садовник про.йдет это р.асстояние д.ва раза, то.гда всё рассто.яние, которое про.йдет садов.ник
Ответ: 1160
Задача №6
Строя пирамиды для фараонов египтяне в каждом следующем ряду плит устанавливали на одну плиту меньше, чем в предыдущем. На самом верху стены возвышается одна плита. Сколько всего плит понадобится только для одной стены пирамиды, если плиты стоят в 60 рядов?
Решение:
Установку п.лит будем р.ассматриват.ь как ариф.метическую про.грессию.
Считать ря.ды будем с.верху.
. Н.айти:
Ответ: 1830
Заключение
Как извест.но, миром пр.авит не то.лько теори.я, но и пр.актика. Нач.иная наше исс.ледование, м.ы отталкив.ались имен.но от этой и.деи. Однако, в от.личие от м.ногих учен.ых, мы счит.аем, что пр.актика не мо.жет полност.ью заменит.ь и вытесн.ить теорию. Поэто.му в нашей р.аботе мы встреч.аемся как с теорет.ической, т.ак и с пра.ктической ч.астью.
Конечно, кто из н.ас не знает, что т.акое арифмет.ическая про.грессия?! С эт.им понятие.м мы встреч.аемся в шко.льном курсе м.атематики. Но, к о.громному со.жалению, н.аше вниман.ие при изуче.нии этих те.м заострено н.а теории…
Таков уж че.ловек: его п.ытливый ум хочет добр.аться до ист.ины, понят.ь в чем сут.ь. Так и я з.ахотел пон.ять, каково же пр.актическое пр.именение ар.ифметическо.й прогресс.ии.
Какого же б.ыло моё уд.ивление, ко.гда я обнару.жил, что м.атематика с.вязана не то.лько с точ.ными, но и с естест.венными нау.ками, с литер.атурой, да.же с музыко.й.
Вот и получ.ается, что м.атематика пр.иносит нов.ые интерес.ные сравне.ния в язык, но.вые взгляд.ы, новые о.щущения.
В заключен.ия, я хоте.л бы сказат.ь: «Изучайте, изуч.айте матем.атику! Это де.йствительно не.вероятно и.нтересная, м.ногогранна.я наука, котор.ая таит в себе м.ного всего не.изведанного».