XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Задачи:

1) Изучить формы и совокупность геометрических фигур в выбранных сооружениях.

2) Изучить историю возникновения измерений;

3) Изучить понятие площадь;

4) Измерить площадь застройки в выбранных геометрических фигурах на местности

5) Создание учебного макета в качестве учебного пособия для школьников на уроках и факультативах (см. приложение 8) .

В ходе работы над проектом применялись следующие методы исследования:

• Теоретический;

• Исследовательский;

• Математический.

Практическая значимость работы имеет значительный практический интерес, закрепляет полученные знания по геометрии и может использоваться в качестве учебного пособия и для практических работ на уроках и факультативах (так как именно практические работы с использованием измерительных инструментов повышают интерес учащихся к геометрии), помогая ребенку по своему желанию организовать информацию по изучаемой теме, лучше понять и запомнить материал, необходимый для решения поставленной проблемы.

Глава I. Основные геометрические фигуры и формы, встречающиеся в архитектуре

1.1. История возникновения геометрии, архитектуры

Начало геометрии было положено в древности. Человек столкнулся с необходимостью измерений в древности, на раннем этапе своего развития – в практической жизни, когда потребовалось измерять расстояния, площади, объемы, веса, и, разумеется, времени. Измерения имеют древнее происхождение - они относятся к истокам возникновения материальной культуры человечества. Когда человек научился изготовлять орудия труда, пользоваться ими и воздействовать на окружающую его природу, он стал производить измерения. В самых древних памятниках человеческой культуры имеются указания об измерениях, производимых человеком1.

Когда-то слово «геометрия» означало только «землемерие», и использовалось только в аграрных интересах. Геометрия, как практическая наука, нужна была египтянам не только для восстановления земельных участков после каждого разлива Нила, но и при различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, храмов и пирамид. Д.И. Менделеев писал: "Наука начинается с тех пор, как начинают измерять: точная наука немыслима без меры"2. Но на самом деле, геометрии лет почти столько, сколько лет появлению человека на Земле.

В самом далеком прошлом измерения были весьма примитивны и имели цель определить, какая из двух или нескольких величин больше и какая меньше. Например, какое расстояние или какой путь из двух возможных до какого- либо места короче, какая площадь земли больше, какая масса или объем больше и какая меньше. Такие измерения производились на глаз, на мускульное ощущение (взвешивание на руках), на продолжительность

1 Депман И.Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин. - М.: Учпедгиз, 1956. - 136 с.

2 Левин В.И. История информационных технологий [Электронный ресурс]: учебник/ Левин В.И.— Электрон. текстовые данные.— Москва, Саратов: Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2020.— 750 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/89440.html.— ЭБС «IPRbooks»

ходьбы. Затем измерения стали преследовать цель найти, во сколько раз одна величина больше или меньше другой. На втором этапе человек сопоставлял и сравнивал наблюдаемые им предметы и величины с размерами собственного тела. Первые единицы длины он отождествлял с частями своего тела: длина локтя, ступни, расстояние между концами большого пальца и мизинца при наибольшем раздвижении пальцев, длина между концами вытянутых в стороны рук и т.п. Единицей для измерения больших расстояний служило расстояние, на которое можно было бросить камень, или расстояние, которое можно пройти за день, от зари до зари.

1.3. История измерения площадей.

Еще 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Задача деления площадей фигур с помощью прямых, пересекающих их, и превращение одной фигуры в другую путем разрезания и пересоставления их частей возникла из потребности практики, землемерия и архитектуры3.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалось на высоту. Для вычисления площади четырехугольника со сторонами а, б, с, д применялась формула:

3Б. А. Кордемский, Н. В. Русалев Удивительный квадрат – М.: Столетие, 1994. – 160с.

То есть умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольников. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырех угольников, у которых углы близки к прямым.

Труды ученого Евклида изложены в его знаменитом труде «Начала», состоящем из тринадцати книг. В «Началах» содержатся задачи на преобразование площадей, т. е. на построение фигур определенной формы, равновеликих данным фигурам. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площади благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы4. Квадрат легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов. Поэтому издавна появилось стремление превращать любую фигуру в равновеликий квадрат. Евклид, например, ставит и решает задачу о построении квадрата, равновеликого данному многоугольнику.

Для решения этой задачи проще всего исходить из того, что любой многоугольник можно разбить на некоторое число треугольников, а всякий треугольник можно превратить в параллелограмм с тем же основанием и высотой, равной половине высоты треугольника (рис. 1).

Параллелограмм легко превратить в прямоугольник. Далее, на рисунке 2 показан пример превращения прямоугольника в квадрат. Возможность превращения двух квадратов в один квадрат вытекает из многих доказательств теоремы Пифагора, в которых показано, что квадрат на гипотенузе не только равновелик, но и равносоставлен с вместе взятыми двумя квадратами на катетах. В итоге, превращая многоугольник в треугольники, каждый из треугольников в равновеликий ему параллелограмм

— прямоугольник — квадрат, складывая затем попарно квадраты, получаем один квадрат, равновеликий исходному многоугольнику. Конечно, на практике нет необходимости проходить всегда через все указанные этапы. Задачи на разрезание фигур на части и конструирование из них других фигур представляли на протяжении веков не только теоретический, но и практический интерес. Они применялись в вопросах землемерия и строительства.

1.4. Виды геометрических форм и их площади

С конкретными геометрическими фигурами человек столкнулся в своей трудовой деятельности при выделке орудий труда и сосудов, при обработке полей и постройке зданий5. Уже в глубокой древности изготовлялись скребки и ножи в форме дисков, треугольников, ромбов и сегментов, круглые сосуды; поля обычно имели форму прямоугольника, а здания — форму конуса, цилиндра и параллелепипеда.

В геометрии сначала появились геометрические эталоны: мяч — для шарообразных предметов, сосновая шишка — для остроконечных и т. д., а в последствии названия этих эталонов стали названиями абстрактных геометрических фигур6.

Рассмотрим геометрические формы и их площади:

5Юшкевич Ю. П. История математики с древнейших времѐн до начала XIX столетия /под редакцией Ю.П. Юшкевича. - издательство Наука., М., 1970г – 340с

6 Погорелов А.В. Геометрия 10-11 кл./А. В. Погорелов. -М.:Просвещение, 2010г – 450с

- Плоские фигуры - фигуры, которые располагаются на плоскости. Геометрические фигуры на плоскости имеют два измерения: длину и ширину а) Треугольник

Геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

 б) Квадрат

Это правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

в) Прямоугольник

Это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

г) Круг

Фигура, которая ограничена окружностью. Она имеет центр, поэтому все точки, которые расположены от центра до окружности, являются плоскостью круга. Радиус круга – это расстояние от его центра до окружности.

д) Трапеция

Выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Глава 2. Обзор архитектурных сооружений города Новосибирская

2.1. Обзор архитектурных сооружений города Новосибирска

Городское пространство – это мир геометрических тел.

Архитектурные сооружения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. По сути, все, что окружает нас в городе, представляет собой набор геометрических фигур.

Нас окружает множество построек состоящих из сложных геометрических фигур, большинство из которых являются многогранниками.

Наблюдая архитектурные сооружения моего города меня заинтересовало следующее: какие геометрические формы использованы в архитектуре города. Я сфотографировала и проанализировала использование различных геометрических фигур при строительстве домов города Новосибирска:

1) Цилиндр

Цилиндры могут используются как самостоятельные сооружения , а также могут украшать фасады жилых домов , а общественные здания украшать колоннами ( см. приложение 1 рис.1,2).

2) Прямоугольный параллелепипед

Такую форму имеют большинство жилых помещений, складов и цехов промышленных предприятий (см. приложение 1 рис.3,4).

3) Шар

Это конструкция не используется для строительства жилых домов. С его помощью строят торговые центры, кафе (см. приложение 1 рис. 5,6).

4) Призма

Используют для строительства жилых домов и общественных зданий (см. приложение 1 рис.7).

5) Конус

Это основные излюбленные детали у архитекторов, которые являются лишь составляющими многих сооружений. Крыши, либо шпили домов (см. приложение 1 рис.8).

Таким образом, видно, что форма любого архитектурного сооружения имеет своей моделью определенную геометрическую фигуру.

Но чаще всего современные архитектурные сооружения являются комбинациями различных геометрических тел. (см. приложение 1 рис.9)

В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы:

• Здание Главпочтампа- сочетание прямоугольного параллелепипеда с цилиндром;

• Здание Министерства труда и занятости НСО – сочетание прямоугольного параллелепипеда с усеченной призмой;

• Здание кукольного театра - сочетание прямоугольного параллелепипеда с цилиндром, окружностью и призмой;

• Жилой дом ул. Авиастроителей – сочетание прямоугольного параллелепипеда с конусом.

Мы видим, что в архитектурной композиции наиболее употребляемы- квадраты и прямоугольники (кубы и параллелепипеды). Это объясняется тем, что прямоугольные строения самые устойчивые, поэтому на улицах города их больше, чем других фигур.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Необходимость в измерении площади присутствует во всех сферах жизнедеятельности человека. Наиболее часто при этом пользуются понятиями: площадь фигуры, площадь застройки и площадь поверхности.

Мы решили измерить площадь застройки некоторых строений города Новосибирска, чтобы на практике применить наши знания и проверить как это работает.

Площадь застройки здания — это занимаемая площадь земли под готовое строение.

Площадь застройки — это площадь горизонтального сечения по внешнему обводу здания по цоколю, включающая выступающие части (входные площадки и ступени, веранды, террасы, приямки, входы в подвал)7.

Для измерения площади строений мы использовали обмерные работы и натурный метод измерения.

7 https://101jurist.com/nedvizhimost/dokumenti/ploschad-zastroyki.html

Обмерные работы — это целый комплекс мероприятий, направленных на установление точных размеров строительных конструкций и их элементов. В качестве объектов обмерных работ могут выступать внутренние помещения, здания в целом и даже инженерные сооружения — мосты, эстакады, другие конструкции8.

Натурный метод. Самый простой и в течение долгого времени единственно доступный метод обмеров. Используется он и сейчас для обмеров небольших строений — беседок, павильонов, интерьеров зданий (квартир) и архитектурных деталей, доступных для непосредственного измерения9. При натурном методе применяются простейшие измерительные инструменты — отвесы, уровни, линейки, рулетки и водяной нивелир.

В качестве измерительных инструментов мы использовали два вида рулеток

– обычную, это металлическая лента (см. приложение 2 рис. 10), с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на местности и электронную геодезическую рулетку (см. приложение 2 рис.11). Затем составляли обмерные наглядные планы.

Если строение состоит из нескольких частей, имеющих разное количество этажей или расположено на наклонной территории, все его части рассчитываются отдельно10. В случае, когда объект имеет нестандартную форму, необходимо разбить ее на несколько простых фигур и так же по порядку произвести расчеты.

Задача №1 (здание по ул. Гоголя,44)

Жилой дом представлен в виде восьмиугольного параллелепипеда. Для вычисления площади были выполнены обмеры всех его сторон в натуре в соответствии со схемой 1. Фотоотчет работ см. приложение 3.

8 https://aif.ru/boostbook/obmer-zdanii-i-sooruzhenii.html

9 Там же.

10 http://mirkadastra.ru/kadastrovomu-inzheneru/ploshhad-zastrojki-zdaniya.html

1 способ.

Разбиваем восьмиугольник на 2 трапеции и один прямоугольник. Вычисляем площадь каждой фигуры и суммируем их. Это и будет площадь восьмиугольника.

2 способ.

1 способ.

Все промеры делались наборами, а точнее пошагово. Площадь шара считалась на уровне земли, то есть рулетку ставили на землю. Фотоотчет работ см. приложение 4

2 способ.

Задача №3 (административное здание по ул.Тюленина, 17/1). Фотоотчет работ см. приложение 5

Для начало вычислим площадь общего прямоугольника, в который вписано здание. Затем вычисляем площади двух маленьких прямоугольников. Таким образом, чтобы вычислить площадь фигуры застройки искомого здания надо из площади общего прямоугольника вычесть площади двух прямоугольников.

Вычисляем площадь заштрихованной фигуры №1

Вычисляем площадь заштрихованной фигуры №2.Таким образом площадь искомой фигуры – это площадь заштрихованной фигуры №2 минус площадь заштрихованной фигуры №1.

Заключение

В результате проведенной работы были сделаны следующие выводы:

1) Изучены такие понятия как геометрия, измерения, площадь, площади фигур, площадь застройки;

2) Экспериментально определены площади застройки зданий города Новосибирска;

3) Используя два способа измерения площади застройки здания мы видим, что площади с учетом погрешности измерений совпадают.

4) Итогом нашего исследования стало создание учебного макета для использования его как учебного пособия для учеников на уроках и факультативах.

Список литературы:

1. Глейзер Г. И. История математики в школе 8-11 кл. Пособие для учителей\ Г. И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1982.- 240 с.

2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики\ И.Я. Депман, Н. Я. Виленкин. - М.: Дрофа, 2010г.-180с.

3. Депман И.Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин \ И. Я. Депман. - М.: Учпедгиз, 1956. - 136 с.

4. Кордемский Б. А., Русалев Н. В. Удивительный квадрат \ Б. А. Кордемский, Н. В. Русалев. – М.: Столетие, 1994. – 160с.

5. Левин В.И. История информационных технологий [Электронный ресурс]: учебник/ Левин В.И.— Электрон. текстовые данные.— Москва, Саратов: Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), Ай Пи Ар Медиа, 2020.— 750 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/89440.html.— ЭБС «IPRbooks»

6. Погорелов А.В. Геометрия:10-11 кл. \ А. В. Погорелов. -М.: Просвещение, 2010г.-450с.

7. Перельман Н.И. Занимательная геометрия \ Н. И. Перельман. - М.: Просвещение, 2011г.-

8. Фридман И. Научные методы в архитектуре \ И. Фридман. – М.: Стройиздат, 2011г.-340 с

9. Юшкевич Ю.П. История математики с древнейших времѐн до начала XIX столетия /под редакцией Ю.П. Юшкевича.- издательство Наука., М., 1970г

10. электронная библиотека - http://library.ru ; www.e.lanbook.com,

11. www.znanium.com, www.iprbookshop.ru

12. Оригинал статьи: https://aif.ru/boostbook/obmer-zdanii-i-sooruzhenii.html

Приложение 1

Рис.1 Здание Управление Западно-Сибирской железной дороги

Рис.2 Театр «Красный факел»

Приложение 1

Рис.3 Жилмассив «Родники»Рис. 4 Жилые дома по ул. Выборной

Приложение 1

Рис.5 Торговый центр «Тюльпан»Рис.6 Кафе «Шарик»

Приложение 1

Рис.7 Главный офис Сбербанка

Рис.8 Краеведческий музей

Приложение 1

Рис.9 Совокупность геометрических фигур

Приложение 2

Рис.10 Рулетка – металлическая лента

Рис.11 Электронная геодезическая рулетка

Приложение 8 Создание макета