XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Методы решения алгебраических уравнений высших степеней
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Актуальность проблемы : отсутствие навыков решения уравнений высших степеней различными способами у учащихся мешает им успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике и математическим олимпиадам, обучению в профильном математическом классе. При подготовке к экзамену в 9 классе я встретилась с уравнениями степени выше второй. Было понятно, что решать уравнения необходимо разложением на множители, но не все уравнения удавалось решить. Поэтому, обучаясь уже в 10 классе, я решила исследовать какие еще существуют методы решения уравнения.
Гипотеза: Знание методов решения различных уравнений значительно упростит нахождение корней, а также сэкономить время при решении уравнений.
Объект исследования: уравнения высших степеней
Предмет исследования – способы решения уравнений высших степеней.
Методы исследования: теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов; анализ полученной информации; сравнение способов решения уравнений на удобство и рациональность.
Цель: Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.
Задачи:
Исследовать историю возникновения методов решений.
Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней
Практически выяснить, какой из способов более понятен для 9-ых классов.
Основная часть
Историческая справка
Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.
Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. Установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. В конце 18 века французский ученый Луи Лагранж пытался доказать невозможность алгоритма общих уравнений, а вначале 19 века француз Галуа развил идею Лагранжа.
С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней.
Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют: метод разложения левой части уравнения на множители; метод замены переменной (метод введения новой переменной); графический способ. С этими методами мы знакомимся в 9 классе при изучении темы: «Целое уравнение и его корни». В учебнике Алгебра 9 (авторы Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г и др) последних годов издания достаточно подробно рассматриваются основные методы решения уравнений высших степеней.
Рассмотрим некоторые из них.
Разложение многочлена на множители.
При разложении на множители многочлена степени выше второй не существует универсального метода решения.
Так одним из способов является способ группировки.
Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена. Вынести этот общий множитель за скобки.
Примеры решения уравнений способом группировки:
x⁴-5x³-16x²+100x-80=0
x⁴-5x³-20x²+4x²+100х-80=0 («искусственно» -16х2=-20x²+4x²)
x²(x²-20)-5x(x²-20)+4(x²-20)=0 (нужно догадаться как сгруппировать)
(x²-5x+4)(x²-20)=0
x²-5x+4=0 или x²-20=0
D=25-16=9 x²=20
x1=(5+3)÷2=4x=±√20
x2=(5-3)÷2=-1
Ответ:-√20; -1; 1; √20.
Еще один способ: по формулам сокращенного умножения
1. Квадрат суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Квадрат разности: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3. Разность квадратов: а2- b2 = (a - b) (a + b)
4. Кубсуммы: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Кубразности: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6. Суммакубов: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
7. Разностькубов: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Примеры:
+18a⁴+108a²+216=0
(a²+6)³=0
a²+6=0
a²=-6
Ответ: корней нет.
Метод введения новой переменной:
Биквадратные уравнения.
К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени: ax4 + bx2 + c = 0, называемые биквадратными, причем, а ≠ 0. Достаточно положить в этом уравнении х2 = y, следовательно, ay² + by + c = 0. Найдём корни полученного квадратного уравнения y1,2 =
заменим y на x и получим
Примеры решения уравнения методом введения новой переменной:
(x2+4x)(x2+4x-17)=-60
Пусть = t, тогда
t( t – 17 ) = -60
- 17t = -60
t2 - 17t + 60 = 0
= 5
= 12
При t = 5,
= 1
= -5
При t = 12,
= 2
= -6
Ответ: -6, -5, 1, 2.
Но не всегда удается решить уравнения степени выше второй указанными методами.
Попробуем решить уравнение используя выше изложенные приёмы. НЕ УДАЕТСЯ!!!
В учебнике Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева «Алгебра и начала анализа» для 10 класса сказано, что вычислять значения многочленов в математике приходится довольно часто и важно делать это как можно проще.
Решим уравнение .
Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-1), т.е. равняется одному из чисел: . Проверка показывает, что корнем уравнения является число -1. Значит, многочлен можно представить в виде произведения , т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:
Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
Итак, данное уравнение имеет три корня:
Наиболее известный способ вычисления многочленов называется схемой Горнера в честь английского математика Уильяма Горнера (1786-1837).
Схема Горнера
Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837) - английский математик. Родился в городе Бристоль в Англии.
Основные труды относятся к решению алгебраических уравнений. В 1819 году опубликовал способ приближённого вычисления действительных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини-Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII веке). Работа была напечатана в философских работах Королевского научного сообщества.
Схема Горнера – способ деления многочлена
на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a:
Первую строку заполнили. Вторая заполняется по следующему правилу:
|
a0 |
a1 |
a2 |
… |
an-1 |
an |
|
|
a |
c0 = a0 |
c1= a1+ ac0 |
c2= a2+ ac1 |
…….. |
cn-1= an-1+acn-2 |
R= an+acn-1 |
Т.е для заполнения второй строки: c0 = a0, далее в следующей пустой строке: к стоящему над ней числу первой строки прибавить произведение числа a на предыдущее число второй строки.
Применять схему Горнера для решения уравнений удобно тогда, когда один корень уравнения уже известен.
По теореме Безу
В XIX - начале XX века метод Горнера занимал значительное место в английских и американских учебниках по алгебре. Де Морган показал широкие возможности метода Горнера в своих работах.
До этого предшественник Горнера Этьенн Безу доказал теорему о том, что остаток от деления Р(х) на двучлен (х-а) равен Р(а). [1]
Теорема Безу была, по существу, сформулирована Исааком Ньютоном в его доказательстве 28-й леммы первого тома его Начал в 1687 году, где он утверждает, что число точек пересечения двух кривых задаётся произведением их степеней. Эта теорема была позднее опубликована Этьеном Безу в 1779 году. Безу, который не имел в своём распоряжении современных алгебраических обозначений уравнений от нескольких переменных, дал доказательство, основанное на манипуляциях с громоздкими алгебраическими выражениями. С современной точки зрения, подход Безу был довольно эвристическим, так как он не сформулировал точные условия, в которых теорема имеет место. Это привело к чувству, выраженному некоторыми авторами, что его доказательство не было корректным и не было первым доказательством этого факта.[2].
Для решения алгебраических уравнений полезны следствия из теоремы Безу.
Следствие 1. Если х=а – корень уравнения Рn(х)=0, то R=0 и многочлен Рn(х) делится на двучлен (x ‑ a).
Следствие 2. Если многочленРn(х) делится на двучлен (x ‑ a), то х=а – корень уравнения Рn(х)=0.
Решить уравнение x3 - 2x2 - 6x + 4=0
Возможные рациональные корни: ±1 ; ± 2 ; ±4.
P(x)= x3 - 2x2 - 6x + 4 = 0
P(1)= 2 – 2 – 6 + 4 не равно 0 – не является корнем
P(-1)= - 1 – 2 + 6+ 40 не равно 0– не является корнем
P(2)= 8 – 8 – 12 + 40 не равно 0– не является корнем
P(- 2)= - 8 – 8+ 12 + 4 = 0 –корень уравнения
(х+2)( х2-4х+2) = 0
х+2=0
х2-4х+2 = 0
D=16-8= 8
Ответ: -2; ;
Способ нахождения целых корней некоторых уравнений дает следующая теорема:
Если уравнение а0хn+a1xn-1+a2xn-2+….+an-1x+an=0 с целыми коэффициентами а0,а1,….аn-1, аn, где аnне равно 0 имеет целый корень, то этот корень является делителем числа аn (свободного члена уравнения.
Анкетирование учащихся.
Мы провели анкетирование учащихся 9-ых классов с целью выявления проблемы понимания в решении уравнений высших степеней. В анкетировании участвовало 72 ученика. Результаты анкетирования отражены в диаграммах.
Диаграмма 1
Диаграмма 2
Вывод: из социального опроса стало понятно, что упрощенные методы решений уравнений высших степеней нужны.
Практическая часть
В ходе практической работы мы использовали материалы 10 класса. Взяв уравнение с сайта [4], мы предложили учащимся 9-х классов решение предложенное на сайте.
Вот оно:
Сделаем замену , тогда .
Имеем: .
Вернемся к исходной переменной. Если ,
то .
Если , то
Данный вариант решения вызвал затруднение у обучающихся, и мы предложили им решить уравнение с помощью теоремы Безу.
Вот что получилось.
Этот вариант решения оказался более понятен для аудитории 9-х классов.
Заключение
В ходе научной работы я выяснила, что теорема Безу –метод решения ,которой более понятен для аудитории 9-х классов.
Вывод:
Моя гипотеза, выдвинутая в начале работы, оказалась верна. В ходе исследовательской работы я научилась решать однородные и возвратные уравнения, познакомилась с теоремой Безу и схемой Горнера, а также узнала о многих учёных, которые внесли большой вклад в историю математики. По-моему мнению, интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи
Практически всё, что окружает нас, связано в той или иной мере с математикой. А достижения в физике, технике, информационных технологиях только подтверждают это. И что очень важно – решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Список литературы
https://sites.google.com/site/mnogocleny/istoriceskaa-spravka
https://ru.wikipedia.org/wikipediy
http://fb.ru/article/35783/teorema-vieta-i-nemnogo-istorii
https://math-ege.sdamgia.ru/test?id=20755061
https://multiurok.ru/files/nauchno-issliedovatiel-skaia-rabota-po-tiemie-urav.html
http://www.cleverstudents.ru/equations/equations_of_higher_degree.html
https://math1.ru/education/raznoe/gorner.html
Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин Учебник «Алгебра и начала анализа» 10 класс «Просвещение», 2019 г
У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.