XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Новые учебные пособия для приближённого определения числа «Пи»
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Компьютеры позволяют получить число «Пи» с любой точностью. Но компьютеры не говорят, как получилось число «Пи». Наглядный математический опыт выполнил Николай Николаевич Андреев на сайте «Математические этюды». Он показал, что число «Пи» равно трём с хвостиком. Я поставила цель – определить этот хвостик, то есть дробную часть этого числа. Несколько учебных пособий были сделаны и показаны в самом начале исследования. Теперь появился небольшой и удобный механизм, позволяющий быстро увидеть очень хорошее приближение числа «Пи», равное 22/7.
Характеристика аналогов
Первое устройство для определения приближённого значения числа «Пи» предложил Николай Николаевич Андреев из Математического института Российской академии наук. Это устройство показано на сайте «Математические этюды» [1,2,3]. Прибор очень простой. Надо взять любой круг. Удобно сделать круг из картона. На концах диаметра надо воткнуть две булавки. Потом круг надо один раз обмотать нитью. Длину нити надо измерить в диаметрах, наматывая её на булавки. Получается три диаметра и небольшой хвостик. Значит, число «Пи» равно трём с чем-то. Но Николай Николаевич не сказал, как определить этот остаток нити и дробную часть числа «Пи».
Второе устройство для более точного определения числа «Пи» предложила я. Чтобы определить дробную часть числа «Пи», надо выполнить два измерения и одно вычисление.
1. Измерить линейкой диаметр круга, то есть расстояние между булавками в картонном круге в приборе Николая Николаевича Андреева [1,2,3].
2. Измерить линейкой длину хвостика, то есть ниточки, оставшейся после намотки на булавки.
3. Разделить в столбик или на калькуляторе длину хвостика на расстояние между булавками. Результатом деления будет дробная часть числа «Пи».
Например, в моём первом опыте диаметр круга был 405 мм, а хвостик 51 мм. Делю 51 на 405, получаю 51:405=0,13. Добавляю три полных диаметра, обмотанных нитью на картонном круге. Получилось хорошее приближение числа «Пи», равное 3,13.
Чтобы сделать второе учебное пособие, надо иметь обычную школьную линейку. Чтобы линейка не потерялась, её удобно приклеить к картонному или фанерному кругу. Об этом я рассказала в своей первой работе [4,5]. Проведение этого опыта я показала в своём первом видеоролике [6].
Третье устройство – это несколько приборов [4,5]. Они основаны на первых двух опытах – приборе Николая Николаевича Андреева и моём измерении. Недостатком этих приборов являются большие размеры. Например, я предложила сделать круг диаметром 1 метр. Это очень удобно для измерений. Если на такой круг приклеить линейку, то длина хвостика будет равна приблизительно 142 мм. Не нужно никаких вычислений. Дробную часть числа «Пи» покажет линейка при измерении хвостика. Учитель экономит время на уроке, потому что не нужно делить длину хвостика на диаметр круга и добавлять три. Но круг очень большой. Для намотки на него нужна нить длиной больше трёх метров, которая постоянно запутывается. Прибор получился наглядным, но не удобным для класса из-за больших размеров. Я начала искать способы уменьшения прибора. Сначала я предложила сделать половинку круга. Тогда нить надо наматывать на полуокружность два раза. Прибор всё равно оказался большим – размеры 1метр на 50 см, а нить длинной – больше трёх метров. Потом я изготовила четвертинку круга, а булавки воткнула не на концах диаметра, как раньше, а на концах радиуса. Диаметр уменьшился в два раза и превратился в радиус, но и дуга тоже уменьшилась в два раза. На четвертинке круга дугу надо два раза обматывать ниточкой, как на полукруге, но потом измерять её длину в радиусах, а не в диаметрах. Результат приближённого определения числа «Пи» будет таким же, как на полукруге и круге. Наконец, я предложила совместить четвертинку круга с транспортиром и сделать универсальный прибор. Можно уменьшать сектор. Например, можно сделать сектор 45 градусов, то есть четвертинку круга разрезать ровно пополам. Но тогда дугу 45 градусов надо четыре раза обматывать нитью, а потом измерять длину нити в радиусах. При уменьшении дуги уменьшается точность измерения числа «Пи».
Возникновение проблемы и появление гипотезы
После изготовления первых приборов для приближённого измерения числа «Пи» появилось противоречие.
Во-первых, для увеличения точности измерения прибор надо делать как можно больше, нить должна быть как можно длиннее. Этим способом было предложено выйти на площадь, нарисовать большой круг на асфальте, уложить на него нить, а потом измерить длину нити в диаметрах. Этот способ пригоден для школьного исследования, но не для применения на уроках.
Во-вторых, для удобства применения прибора в школе устройство надо делать небольшим, чтобы свободно держать одной рукой и показывать ученикам в классе. Но тогда точность измерения числа «Пи» уменьшается.
Для разрешения этого противоречия сначала я предложила небольшой круг, на который надо семь раз намотать ниточку [7,8].
Идея нового опыта и прибора появилась после упоминания старинной русской поговорки : «Семь раз отмерь, один раз отрежь!»
Что будет, если круг семь раз обмотать ниточкой?
Появилась интересная гипотеза. Суть её в следующем. Предлагаю посчитать вместе. Для вычисления нужно взять более точное значение числа «Пи», равное 3,141592654. Дробная часть равна 0,141592654. Что будет, если число «Пи» умножить на семь? Целая часть 3 умножится на 7, получится 3х7=21. Дробная часть тоже умножится на 7, получится очень важный результат 7х0,141592654=0,991148578. Это почти единица. Полученное число меньше единицы всего на 0,008851422. Отличие полученного числа от единицы меньше чем на один процент. Такую точность измерения трудно получить в опытах. Этим надо воспользоваться.
Основная идея нового прибора
Круг можно изготовить любого диаметра. Большой круг делать не нужно, иначе им не удобно будет пользоваться. Маленький круг тоже не подойдёт, в нём точность измерения будет маленькой. Сначала я изготовила круг диаметром приблизительно 20 см. Точно задавать диаметр круга не нужно. В этом смысл нового учебного пособия и математического прибора. Если круг один раз обмотать ниточкой, как в опыте Николая Николаевича Андреева [1,2,3], а потом измерить длину нити в диаметрах, то получится три диаметра и хвостик. Длину хвостика Николай Николаевич не определял, она равна 0,141592654 от диаметра. Если круг два раза обмотать ниточкой, то длина нити будет равна шести диаметрам и останется хвостик длиной 2х0,141592654. Если три раза обмотать круг, то длина нити равна девяти диаметрам и останется хвостик 3х0,141592654. И так далее до семи обмоток круга нитью. Если семь раз обмотать круг нитью, то длина нити будет равна 21 диаметру и останется хвостик в семь раз больше, чем при одной обмотке, то есть равный почти полному диаметру круга 7х0,141592654=0,991148578. Этот почти полный диаметр добавляется к 21 диаметру и получается длина нити, равная приблизительно, но очень точно, 22 диаметрам.
Новый демонстрационный прибор работает очень просто. Надо 7 раз обмотать круг любого диаметра нитью, а потом показать, что длина нити приблизительно равна 22 диаметрам круга.
Первый вариант нового прибора
Преимуществом нового прибора является любой диаметр круга. Для изготовления была выбрана фанера. На фанеру я положила круглую тарелку и обвела её карандашом. Диаметр приблизительно равен 20 см. Фанеру можно взять не обязательно новую. После изготовления прибор нужно покрасить. На рис.1 показано начало изготовления нового прибора из подручного материала, найденного в школьной мастерской.
Рис. 1. Диаметр круга в новом приборе может быть любым
Нужно разметить два одинаковых круга, а третий сделать поменьше, примерно на 1-2 см меньше в диаметре, чем первые два круга. Маленький круг будет зажат между двумя большими. Сбоку получится канавка, в которую удобно укладывать нить семь раз. Такая канавка обязательно нужна. Один раз обмотать круг можно очень легко, но когда обматывают семь раз, ниточка постоянно соскальзывает, а канавка не даст ей упасть. Фанера имеет толщину 3-5 мм. Можно взять оргалит – древесно-волоконную плиту (ДВП), с ним работать ещё удобнее, он легче пилится. После разметки трёх кругов на фанере началась работа лобзиком. Оргалит пилится легко, поэтому я пользовалась ручным лобзиком. Электрическим тоже можно, но линия получается не очень ровной. На рис.2. показана технология изготовления трёх кругов из оргалита.
Рис. 2. Выпиливание лобзиком трёх кругов из оргалита
Три круга я соединила вместе винтами и гайками М4. Маленький круг зажат между двумя большими кругами этими винтами. Центры всех трёх кругов должны совпадать. В центрах кругов я просверлила отверстие диаметром 10 мм для большого винта-ручки. Этот винт с гайкой М10 и шайбами тоже стягивает круги, поэтому детали не нужно склеивать. На кругах в канавке я сразу же закрепила один конец нити. Потом покрасила изготовленный прибор в зелёный цвет. Зелёный цвет очень хорошо воспринимается учениками и учителями, потому что это самый распространённый цвет летом – все листья зелёные. На рис.3 показан готовый только что покрашенный прибор.
Рис. 3. Готовый покрашенный первый прибор
Канавка сбоку обязательно должна быть. В неё надо укладывать семь раз нить. Диаметр первого прибора приблизительно 20 см. Значит, один оборот ниточки потребует длины приблизительно 60 см. Умножаю на семь оборотов, получаю общую длину нити более четырёх метров. Если круг сделать без канавки, то уложить на него сбоку такую длинную нить будет очень трудно. Даже невозможно. Нить постоянно будет спадать с круга толщиной около 5 мм. Когда канавка будет сделана, винты надо расположить так, чтобы они были на концах диаметра внутреннего круга, а не внешнего. Нить укладывается на внутренний круг, поэтому её длину надо измерять в диаметрах тоже внутреннего круга. Два внешних круга нужны не для измерения, а только для образования канавки и удобства применения прибора. На рис.4 показана канавка на приборе, в которую надо укладывать нить. Видны два винта М4 на концах диаметра внутреннего измерительного круга. В центре кругов большой винт с шайбами и гайкой М10 не только стягивает три круга, но ещё служит ручкой, за которую удобно держать прибор. Резьба на большом винте не позволяет прибору выскальзывать из руки во время проведения опыта.
Рис. 4. Измерительный круг в канавке и два винта на его диаметре
Работа с прибором очень простая. Нить уже закреплена в канавке на одном измерительном винте. Напротив этого винта сделана прорезь, чтобы потом начинать измерение нити в диаметрах от первого винта. Во время опыта надо стараться как можно точнее наматывать нить на два выступающих винта М4, чтобы не задевать ею шляпку большого центрального винта М10 и центральную большую шайбу. Для этого ниточку надо наматывать на винты немного повыше шляпки большого центрального винта. После намотки нити семь раз на круг в канавке я отметила второй конец нити узелком. Просто завязала его на ниточке. С такой отметкой нить можно размотать с круга, а потом легко найти узелок при намотке на винты диаметра. Нить длинная, больше четырёх метров, поэтому хранить прибор нужно с намотанной на внутренний круг нитью. На рис.5. показана работа с первым новым прибором. Слева показано, как наматывать нить на круг в канавке, а справа – намотка нити на винты М4 на диаметре малого круга для измерения длины нити в диаметрах.
Рис. 5. Работа с первым прибором
На этом принципе работают ещё два прибора для определения приближённого значения числа «Пи». Но этот первый прибор оказался самым удобным, потому что он небольшой, простой, всегда готов к работе, достаточно точен для демонстрации, вандалоустойчив – его нельзя сломать, разве что нить оторвать, которую потом легко привязать снова.
Главным выводом после создания первого нового прибора является возможность очень просто показать школьникам приближённое значение числа «Пи». Опыт может проводить не только учитель, но и любой ученик, даже первоклассник. Ведущий наматывает нить в канавке семь раз, показывает наматывание нити классу и одновременно считает: «Один, два, три, четыре, пять, шесть, семь!» На другом конце нити после семи витков уже есть узелок – это отметка. Её тоже надо показать классу. Когда все ученики убедились, что нить намотана семь раз, ниточку надо размотать с круга, но не запутать, потому что её длина больше четырёх метров. Потом ведущий наматывает нить второй раз, но теперь уже на выступающие на концах диаметра винты. Тоже считает: «Один, два, три… двадцать один, двадцать два!» Ошибка очень маленькая, но она есть. Ошибку-хвостик тоже надо показать ученикам, потому что число «Пи» можно определять бесконечно долго с любой точностью на более точных приборах или другими способами, на компьютерах. Потом на школьной доске надо выполнить простое вычисление 22/7=3,14. Можно делить в столбик, а можно воспользоваться калькулятором. Завершение опыта показано на рис.6.
Рис. 6. Завершение опыта и выводы
Результатом опыта стало практическое определение приближённого значения числа «Пи» 22/7, которым часто можно пользоваться на практике.
Второй вариант нового прибора
Этот вариант появился случайно после ремонта испорченного круглого стола. У стола школьники отломали ножку. Для школы это было чрезвычайное происшествие. В мастерской школьного кружка решено было быстро починить мебель. Я тоже участвовала в ремонте. Мы не только привинтили ножку, но и предложили новый способ её крепления, как в моём первом приборе. Привинтили ножку к столу не шурупами, которые постоянно выдираются, а стянули винтами и гайками М4 с большими шайбами. А потом решили провести профилактику и дополнительно укрепили таким же способом три другие ножки стола. На рис.7 показан отремонтированный круглый стол. Отвалившаяся ножка притянута к столешнице восемью винтами М4, а три другие укреплены четырьмя винтами М4.
Рис. 7. Большой круглый стол – новая идея и второй прибор
Большой круглый стол имеет диаметр один метр. Это очень хорошая деталь для второго прибора. Такой большой прибор нельзя переносить, но зато можно проводить опыт в школьном коридоре. На большом приборе точность измерения лучше. Сбоку на концах диаметра круглого стола я привинтила два шурупа, которые потом можно очень просто отвинтить. Для повторения опыта в столе остались отверстия для этих двух шурупов. Шурупы можно укреплять даже рукой, не пользуясь отвёрткой. Для опыта нужен большой моток нитки. Нить должна быть прочной, чтобы не порвалась, например, капроновой. Длина нити нужна больше двадцати одного метра, поэтому помещение для опыта должно быть большим. Удобно проводить опыт в школьном коридоре. Один конец нити привязывается к одному шурупу. Потом нить семь раз наматывается на столешницу сбоку. После намотки семи раз на ниточке делается узелок-отметка. Потом нить разматывается со стола и наматывается на диаметр на два шурупа. На рис.8 показан опыт со вторым прибором-столом.
Рис. 8. Опыт со вторым прибором-столом
Семь оборотов нити вокруг стола приблизительно такие же, как 22 диаметра. Получился прежний результат.
Вывод по второму новому прибору – возможность показывать опыт в большом зале множеству учеников.
Третий вариант нового прибора
Недостатком двух первых приборов являлась очень длинная нить. В первом приборе она больше четырёх метров, хотя диаметр круга всего лишь 20 см. Во втором приборе с большим круглым столом нужна нить длиной более 21 метра. Длинные нити постоянно запутываются. Без нитей обойтись нельзя. Как сделать, чтобы нить не нужно было наматывать и разматывать рукой?
Третий прибор – это автомат. Это похоже на ремённую или цепную передачу. Механизм состоит из двух блоков, на которые наматывается нить. Первый блок круглый. Я сделала его диаметром 12 см. Второй блок квадратный. Сторона квадрата точно равна диаметру круга. На круглом блоке закрепляется один конец нити. Потом нить наматывается на круг ровно семь раз. Второй конец нить закрепляется на квадрате. Круг и квадрат размещены на подставке. Круг и квадрат можно вращать ручками сзади подставки, а можно просто вращать рукой. Чтобы полностью размотать нить, круг должен повернуться 7 раз. Но квадрат повернётся на 5,5 оборота. И обратно, чтобы смотать 5,5 витка нити с квадрата, надо 7 раз повернуть нить. Для квадрата 5,5 оборота – это 22 его стороны, то есть 22 диаметра круга, потому что сторона квадрата равна диаметру круга. Как и в первых двух приборах. Результат опытного измерения числа «Пи» тот же, приблизительно 22/7=3,14. Общий вид третьего варианта нового прибора показан на рис.9.
Рис. 9. Общий вид третьего прибора-механизма
Вывод по третьему прибору – маленький, удобный, но не чувствуется длина нити.
Выводы
1. Три новых предложенных прибора позволяют опытным путём определить хорошее приближение числа «Пи», равное 22/7=3,14.
2. Первый прибор оказался самым удобным. Он небольшой, лёгкий, всегда готов к работе. Но нить более четырёх метров требует аккуратного обращения.
3. Второй прибор из большого круглого стола очень наглядный, но применять его можно только в большом зале, потому что длина нити долее 21 метра.
4. Третий прибор автоматический. Механизм похож на ремённую передачу. Прибор постоянно готов к работе. Но в нём не видна длина нити, которая показывает длину окружности.
5. Продолжение исследований я предполагаю в направлении автоматизации экспериментального определения приближённого значения числа «Пи» для создания новых учебных пособий.
Список литературы
1. Андреев Н.Н. и др. Математические этюды. - Электронный ресурс (сайт, новая версия): https://etudes.ru/
2. Андреев Н.Н. и др. Математические этюды. - Электронный ресурс (сайт, старая версия): https://old.etudes.ru/ru/
3. Андреев Н.Н. и др. Математические этюды. Сюжет о числе «Пи». – Электр. ресурс (сайт, старая версия): https://old.etudes.ru/ru/models/number-pi/
4. Сычева Я.Е. Эргономика, дидактика и экономика нового учебного пособия для изучения числа "Пи". Научный руководитель Федоров А.С. / Гении Подмосковья: Сборник статей по материалам фестиваля науки 28 ноября 2020 г. - М.: Издательство "Научный консультант", 2020. - 334 с. - ISBN 978-5-907330-61-0. - УДК 62+316. - ББК 3+6/8 Г34. - Секция "Социально-гуманитарные науки", с.307-311.
5. Сычева Я.Е. Эргономика, дидактика и экономика нового учебного пособия для изучения числа Пи. Научный руководитель Федоров А.С. / XI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся "XI Старт в науке 2020". Секция "Математика". Российская академия естествознания (РАЕ), Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов, 20 декабря 2020 г. Электронные ресурсы: страница сайта РАЕhttps://school-science.ru/11/7/46845; полный текст статьи https://files.school-science.ru/pdf/11/5fc5f7a89a3ed.pdf; Диплом 2 степени школьника https://files.images.rae.ru/certificate/13/5fd0c8482dc47.png; Свидетельство научного руководителя: https://files.images.rae.ru/certificate/14/5fd0c84fcf8f1.png.
6. Сычёва Я.Е. Начинаю изучать число «Пи». 14 ноября 2020. - Электронный ресурс (видеоролик 5:24): https://youtu.be/XuwT7GEKsRQ
7. Сычева Я.Е. Число «Пи». 4 марта 2021 г. - Электронный ресурс (видеоролик 3:16): https://youtu.be/0GjrNzWVBDg
8. Сычева Я.Е. Число «Пи». 20 марта 2021 г. - Электронный ресурс (видеоролик 6:03): https://youtu.be/yoGiUrhyfKg
Приложение. Результаты проверки статьи в системах «Антиплагиат» с показателями более 99%