Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения.

XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения.

Чурикова И.С. 1Муминов А.Ш. 1
1Академический лицей Международного Вестминстерского университета в Ташкенте
Хамраева Р.Р. 1
1WIUT
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

I ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования: обратные матрицы.
Предмет исследования: подходы и методынахождения обратных матриц.
Цель работы: овладеть методами нахождения обратных матриц.
Задачи:

ознакомиться с понятием обратной матрицы и ее свойствами;

выделить основные методы нахождения обратных матриц;

Методы исследования: изучение литературы; обработка материалов и результатов; анализ; классификация; обобщение.
Актуальность работы: Обратные матрицы являются объектом изучения линейной алгебры и находят свое применение как в самой математике, так и в ее приложениях. Они часто используются в самых разнообразных исследованиях, упрощают решение системы уравнений с тремя и более неизвестными, находят широкое применение при программировании задач 3D-графики и компьютерных игр и др.

II ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Матрица — прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов и заполненная числами. Обозначается заглавными буквами A, B, С и т. д.

Элементы матрицы (числа) характеризуются их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса (aij).

Квадратная матрица – это матрица, содержащая одинаковое количество сток и столбцов.

Единичная матрица E – это диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1

Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A-1 = A-1·A = E

Транспонированная матрица А’ – это матрица, полученная заменой строк матрицы A на ее столбцы и наоборот, ее столбцов на ее строки.

Присоединённая (союзная) матрица А* - матрица, элементами которой служат алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы A'.

Алгебраическим дополнением Aijк элементу aij определителя n-го порядка называется число Aij = (-1)i + j · Mij

Минор Mijк элементу aij определителя n-го порядка – это определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Определитель (детерминант) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA (также |A| или Δ), и вычисляется определённым образом.

III КРИТЕРИЙ ОБРАТИМОСТИ МАТРИЦЫ

Лемма 1. Матрица, обратная к матрице А, будет существовать только, если матрица А является квадратной и их порядок будет одинаковым.

Доказательство:

Предположим, что существует матрица А=[m×n] А-1=[a×b]

Из определения обратной матрицы:

АА-1

Из алгоритма перемножения матриц получаем:

[m×n][a×b]=[m×b]

n=a,

-где n и a «транзитны» и должны быть равны.

То же будет выполняться и для обратного:

А-1 А =Е

[a×b][m×n] =[a×n]

m=b

Отсюда можно заключить, что А=[m×n] А-1=[n×m]. Согласно определению A·A1 = A-1·A = E, поэтому размеры матриц будет строго совпадать.

[m×n] =[n×m]

m=n

Что, в свою очередь, доказывает лемму 1.

Лемма 2. Если матрица А обратима, то для нее существует только одна обратная матрица.

Доказательство:

Предположим, что существуют две матрицы В и С, обратные к матрице А. При этом:

В≠С

Тогда по определению обратных матриц будет верным:

AB=BA

AC=CA

Из леммы 1 все четыре матрицы A, B, С и Е являются квадратными матрицами одинакового порядка. Отсюда следует:

ВАС

Так как умножение матриц является ассоциативным будет верным следующее:

BAC=(BA) C=EC=С

BAC=B (AC)=BE=B

BAC=C=B


C=B

Получаем две равные обратные матрицы, что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.

Лемма 3. Матрица, обратная к матрице А, существует только в том случае, когда она невырождена, то есть ее определитель |А| не равен нулю.

Доказательство:

Предположим, что |А|= 0 и существует матрица А-1, обратная к A. Тогда |A| = |A| · |B| = 0 по теореме определителя произведения матриц. В тоже время, по определению обратной матрицы: |AB| = |E| = 1. Полученное противоречие показывает, что матрица, обратная к A, существует только при |A| ≠0.

IV СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

1.

Если квадратная матрица А имеет обратную, то:

   

, где det – определитель.

2.

Если квадратные матрицы А и В порядок n имеют обратные матрицы, то их произведение AВ также имеет обратную матрицу:

   

, для двух квадратных обратимых матриц A и B.

3.

Если матрица А порядка n имеет обратную, то транспонированная матрица AT также имеет обратную:

   

, где обозначает транспонированную матрицу.

4.

Если квадратная матрица А имеет обратную, то:

     

V НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДОПОЛНЕНИЙ

Порядок нахождения обратной матрицы:

1.Нахождение определителя данной матрицы A (Если |А|=0, то обратная матрица не существует).

2. Вычисление дополнительных миноров и алгебраических дополнений и составление союзной матрицы А*.

3. Нахождение матрицы, транспонированной относительно A*.

4. Применение формулы:

где |A| - определитель матрицы А, а - транспонированная союзная матрица с матрицей А.

Пример:

Найти обратную матрицу для А= методом алгебраических дополнений.

Решение:

Найдем определитель матрицы А:

|A|=3·(-3)·1+ (-4)·1·3 + 5·2·(-5) - 5·(-3)·3 - 3·1·(-5) - (-4)·2·1 = -9 - 12 - 50 + 45 + 15 + 8= -3

|A|≠0 - следовательно, А-1 существует.

Найдем миноры и алгебраические дополнения для матрицы А

   
   
   
   
   
   
   
   
   

Составим союзную матрицу:

Транспонируем полученную союзную матрицу:

По формуле находим обратную матрицу:

5. Проверим полученный результат умножением данной матрицы A на обратную матрицу (При обратная матрица была найдена верно).

Ответ:

VI НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ МАТРИЦЫ 2×2

Для квадратной матрицы второго порядка обратная матрица А-1 будет равна при .

Пример:

Найти обратную матрицу для

Решение:

Ответ:

VII НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Порядок нахождения обратной матрицы:

Нахождение определителя данной матрицы A (Если |А|=0, то обратная матрица не существует).

Составление системы линейных уравнений вида

где aij - элементы матрицы A, для данной невырожденной матрицы A.

Решение полученной систему относительно y – нахождение обратного линейного преобразования

в котором Aij - алгебраические дополнения элементов матрицы A, |А| - определитель матрицы A.

Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице*

Нахождение коэффициентов при y: , которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A, и запись найденной обратной матрицы.

Метод линейных преобразований можно считать тем же методом алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи.

Пример:

Найти обратную матрицу для А= методом линейных преобразований.

Решение:

Определитель для данной матрицы отличен от нуля, значит матрица обратима.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется алгебраические дополнения, найденные выше. Запишем обратное линейное преобразование:

Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании являются элементами A-1, следовательно

Ответ:

VIII НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА)

1. Написание матрицы А и Е рядом через черту .

2. Приведение полученной матрицы к виду с помощью элементарных преобразований* над ее строками.

3. Получение обратной матрицы .

*К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Пример:

Найти обратную матрицу для А= с помощью элементарных преобразований ее строк.

Решение:

Выпишем матрицу:

С помощью элементарных преобразований приводим левую часть к единичной матрице

=

=

Выписывает обратную матрицу A-1.

Ответ:

IX ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обратные матрицы являясь неотъемлемой частью изучения линейной алгебры, необходимы к применению в различных сферах. Помимо их практического применения при решении различных математических уравнений и задач, использовании их в программировании, они играют роль в формирование умения выделять главное, развивают логическое мышление, внимание и память.

X СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

А.Г. Курош, «Курс высшей алгебры», 1968 год;

А.С. Бортаковский «Линейная алгебра в примерах и задачах», 2005 год;

Д.К. Фаддеев, «Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов», 1984 год;

Б.М. Верников, «Лекция 11: Обратная матрица»;

Peeyush Chandra, "Notes on Mathematics – 102».

Просмотров работы: 19