XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Понятие матрицы и их виды. Ранг матрицы Операции над матрицами.
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I.Введение
Объект исследования: матрицы
Предмет исследования: методы нахождения ранга матрицы, применение матриц для решения задач
Задачи:
научиться находить ранг матрицы и применять полученные знания при решении задач
применение матриц в программировании
дать определение понятию матрицы и ее видам
Методы исследования: изучение литературы; обработка материалов и результатов; анализ;
Актуальность работы:
Теория матриц и определителей имеет широкое применение, как в самой математике, так и в ее приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат. Актуальность данного проекта заключается в том, что с помощью матриц удобно решать системы линейный уравнений, выполнять многие операции с векторами.
II. Понятие матрицы
Матрицей типа m × n (m 1, n 1, m и n — целые) называется прямоугольная таблица из m × n чисел, состоящая из m строк и n столбцов и такая, что на пересечении строки и столбца находится ровно одно число. Таблица, задающая матрицу, записывается в круглых скобках. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матриц
– матрица типа 2 x 2
– матрица типа 1 x 3
Матрицы обозначают большими латинскими буквами. В матрице А(название матрицы) типа m x n для обозначения элемента в i-й строке (1 ) и j-м столбце (1 ) используется прописная малая буква с индексами i и j –
aij(первый индекс — номер строки, 2-й индекс — номер столбца). При необходимости в имени матрицы A указывается дополнительно ее тип в виде индекса Am×n.
С3x2 = c1 1 =0.1, c2 1 =15.6, c3 1 =2.3,
c 1 2 =1, c2 2 =1.2, c3 2= 6
Матрицу AMxNможно записать так:
AMxN =
III. Виды матриц
Если в матрице A типа m × n число строк равно числу столбцов (т. е. m = n), то матрица A называется квадратной матрицей n-го порядка, а число n — порядком матрицы A.
Если в матрице A типа m × n число строк не равно числу столбцов (т. е. m n), то матрица A называется прямоугольной матрицей.
– квадратная матрица второго порядка
– прямоугольная матрица типа 3 x 2
Матрица называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю. Нулевая матрица обозначается греческой буквой «тета» -- .
Пусть A — матрица типа m × n. Набор чисел a i j таких, что i = j, образует главную диагональ матрицы A. Элементы, входящие в главную диагональ, называются диагональными элементами, остальные элементы называются недиагональными. Для квадратных матриц главная диагональ совпадает с геометрической диагональю матрицы.
– элементы a11 = 2 и a22 = 6 образуют главную диагональ
A = – элементы a11 = -5 и a22 = -8 образуют главную диагональ
Наконец, если у квадратной матрицы все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны нулю, то такая матрица называется единичной. Единичная матрица обозначается Е.
E = – единичная матрица 2го порядка.
Квадратная матрица называется нижней (верхней) треугольной матрицей, если все ее элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю.
A = – верхняя треугольная матрица 3-го порядка
B = – нижняя треугольная матрица 3-го порядка
IV. Действия над матрицами
Суммой матриц A и B типа m × n называется матрица C = A + B того же типа такая, что c i j = a i j + b i j
+ =
Произведением матрицы A типа m × n на число α называется матрица B = αA того же типа такая, что b i j = α a i j, (1 ) (1 )
5A =
Следствие:
Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
= 5 ×
Разность матриц B и A – такая матрица X, что A + X = B
Разность матриц B и A всегда единственная, находится по формуле X = B + (−1)A и обозначается B − A. Определение. Матрица (−A) = (−1) × A называется противоположной к A.
Свойства действий над матрицами
1) A + B = B + A - коммутативность по отношению к сложению;
2) (A + B) + C = A + (B + C) - ассоциативность по отношению к сложению;
3) существование нейтрального элемента 0 : A+0=A;
4) существование противоположной матрицы, такой что A + A = 0
5) 1 × A = A
6) α(A + B) = αA + αB -- свойство дистрибутивности матриц относительно сложения матриц и умножения матрицы на число
7) (α + β)A = αA + βA; -- свойство дистрибутивности матриц относительно сложения чисел и умножения матрицы на число
8) α(βA)=(αβ)A -- свойство ассоциативности матриц относительно умножения чисел и умножения матрицы на число
V. Элементарные преобразования над матрицами
Преобразования матрицы, при котором сохраняется эквивалентность матриц, называются элементарными преобразованиями матрицы. Множество решений системы линейных алгебраических уравнений не изменяются элементарными преобразованиями
Элементарные преобразования
Перестановка любых двух строк матрицы
Сложение строки с другой строкой матрицы, умноженной на ненулевое число
Умножение на любой строки матрицы, при – ненулевая константа
Эквивалентными матрицами называются матрицы, при котором от одной матрицы перешли к другой с помощью элементарных преобразований над строками. ,где A и B эквивалентные матрицы.
Пример 1.
Поменяем первую и вторую строки матрицы местами, получаем матрицу , которая эквивалентна матрице
Пример 2.
Умножим вторую строку матрицы на три, то есть каждый элемент строки умножаем на три, получаем матрицу , которая эквивалентна матрице
Пример 3.
Прибавим вторую строку к первой в матрице , получаем матрицу , которая эквивалентна матрице .
VI. Определители
Любой квадратной матрице A по определенному правилу можно сопоставить некоторое число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы A и обозначается det(A). Если A — матрица n-го порядка (n ≥1), то вместо слов определитель матрицы A часто говорят определитель n-го порядка.
Определителем матрицы первого порядка A = (a11) называется число det(A) = a11. Определение. Определителем матрицы второго порядка
A = называется число det(A) = a11a22 − a12a21.
Вычисление определителя второго порядка иллюстрируемой схемой:
Числа, стоящие на прямой, перемножаются, и перед ними ставится множитель ±1, где знак (+) или (−) указан внизу.
A =
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32− − a12a21a33 − a13a22a31.
Для вычисления определителя третьего порядка используется схема, которая называется правилом треугольников:
VII. Миноры матрицы
Определитель матрицы, полученный из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, то есть строки и столбца, на пересечении которых находится элемент , называется минором элемента матрицы.
Минор называется главным, если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов. Минор называется угловым или ведущим главным, если отмечены первые строк и первые столбцов, при котором – порядок этого минора. Любой ненулевой минор максимального порядка матрицы называется базисным минором, при этом все миноры матрицы на единицу большего порядка должны быть равны нулю.
Пример 1.
Найти миноры и матрицы А
Минором k-го порядка матрицы называется определитель, у которого элементы расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы , при и .
Минор k-го порядка матрицы называется главным, если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы .
Например, для матрицы , диагональными элементами будут
VII. Алгебраические дополнения
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется выражение вида:
Где минор элемента , или
Определитель матрицы равен сумме произведений строк и столбцов матрицы на соответствующие им дополнения.
Пример 2.
Найти алгебраические дополнения матрицы
Квадратная матрица, определитель которой не равен нулю называется невырожденной матрицей
Квадратная матрица, определитель которой равен нулю называется вырожденная матрицей
Матрица называется обратной матрице , если , где – единичная матрица. Всякая невырожденная матрица имеет только одну обратную матрицу, то есть для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу, необходимо, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Для получения обратной матрицы используют формулу:
,где дополнительный минор элемента матрицы .
Пример 3.
Дана матрица , найти .
Таким образом, .
IX.Ранг матрицы
Рангом матрицы называется ранг ее системы строк или столбцов. Ранг матрицы – наивысший порядок матрицы, отличный от нуля. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы ступенчатому виду. Элементарные преобразования над строками (столбцами) матрицы не меняют ее ранга. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Метод окаймления миноров
Теорема
Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору.
На этой теореме базируется метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор n-го порядка не равен нулю, а все миноры n + 1-го равны нулю, то ранг матрицы будет равен n.
Пример 1.
Найти ранг матрицы , используя метод окаймления миноров
Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы . Рассмотрим минор , расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:
так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор
Преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:
И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А ранг матрицы равен двум:
Теорема
При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется.
Если мы элементарными преобразованиям от матрицы перешли к матрице , то .
X.Заключение.
На практике умение совершать действия над матрицами помогает сократить количество операций для решения задач. В современном мире матрицы используют повсюду. Они полезны, так как имеют прикладное значение.
Список используемой литературы:
Л и з у н о в а Н. А., Ш к р о б а С. П. Матрицы и системы линейных уравнений, 2007
Lay, David C. Linear algebra and its applications / David C. Lay. – 4th ed. Update
И. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре 1957