XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Случайные события. Классическая вероятность.
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Объект исследования: Случайные события. Классическая вероятность.
Предмет исследования: Определение и методынахождения вероятностей.
Цель работы: Овладеть начальными знаниями про классическую вероятность.
Задачи:
Ознакомиться с понятием события и вероятности;
Выделить основные моменты классической вероятности;
Методы исследования: Изучение литературы; обработка материалов и результатов; анализ; классификация; обобщение.
Актуальность работы: Случайные события и классическая вероятность являются предметом изучения раздела математики называемый теория вероятности. Являясь лишь введением в выше упомянутый раздел, классическая вероятность затрагивает более теоретическую часть, а также простые жизненные события.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Теория вероятности – раздел математики, изучающий вероятные закономерности массовых случайных событий.
Испытание -создание некоторого комплекса или совокупности условий, которое можно воспроизводить многократно.
Событие – это то, что происходит, наступает или имеет место в какой-то точке пространства и времени. Обозначается большими латинскими буквами A, B, C…
Вероятность – есть число, характеризующее возможность появления события. Обозначается P(A), P(B), P(C)…
ИСПЫТАНИЯ И СОБЫТИЯ
Событие может произойти или не произойти при определенной совокупности условий S. Для упрощения, в математике ввели понятие “испытания”. Поэтому в дальнейшем мы будем использовать фразу “проведено испытание”.
Пример:
Рассмотрим случай стрельбы из лука по мишени: выстрел – испытание, попадание в мишень – событие.
События делятся на три вида:
Достоверное событие – событие, которое точно произойдет если будет проведено испытание. Например, вытягивание красного шарика из ящика полного только красных шаров.
Невозможное событие – событие, которое точно не произойдет если будет проведено испытание. Например, вытягивание синего шарика из ящика полного только красных шаров.
Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при проведении испытания. Например, вытягивание красного шарика из ящика полного красных и синих шаров.
ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
Когда все предельно ясно с достоверными и невозможными событиями, случайные события делятся на три вида:
Несовместные события – события, у которых появление одного события исключает появление других в одном и том же испытании. Например, из коробки, содержащей шарики синего и красного цветов вытянули всего один шар. Появление “синего” шарика исключает появление “красного” и наоборот. В итоге “появление синего шарика” и “появление красного шарика” – несовместимые события.
Единственно возможные события – событие, которое будет единственно достоверным после одного испытания. Например, приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события единственно возможные. А также, единственно возможные события попарно несовместимы.
Равновозможные события – это события, каждое из которых имеет одинаковый шанс на реализацию. Например, появление обоих сторон монет при бросании является равновозможным. Ведь ни материал, из которого она сделана, ни правильная форма, ни чеканка не смогут повлиять на результат.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Классическая вероятность является самой первой предоставленной для изучения. Но даже она не идеальна, иначе люди бы не ссылались на остальные виды вероятности.
Рассмотрим пример. В коробке лежат 1 белый, 2 красных, 3 синих шариков. Проведем испытание вытащив любой шарик. Какова вероятность того, что извлеченный шарик будет цветным?
И из-за того, что этот шанс-это число то его можно подсчитать и увидеть закономерность.
Каждое событие можно назвать элементарным исходом, то есть извлечение белого шарика исход , извлечение красного и извлечение синего . Не сложно заметить, что все исходы единственно возможны (появится только один шар при извлечении) и равновозможны (шары одинаковые кроме цвета, хорошо перемешаны и вытаскивают их не глядя).
И так у нас есть условие что шары должны быть цветными. Все элементарные исходы, удовлетворяющие условию, назовем благоприятствующими. В нашем примере таких благоприятствующих исходов 5: .
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают P(A). В нашем примере P(A) =.
Получаем формулу:
P(A) = , гдеm – количество благоприятных событий, а n – количество всех событий, при чем 0 ≤ m ≤ n
СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
1. Вероятность достоверного события равна 1: P(A) = 1
2. Вероятность невозможного события равна 0: P(A) = 0
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. 0 < P(A) < 1
Итак, для всех вероятностей справедливо двойное неравенство 0 ≤ P(A) ≤ 1.
ПРИМЕРЫ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пример 1.
Набирая номер телефона абонент забыл а) последнюю цифру. Найдите вероятность того, что абонент выберет правильный вариант. б) последние 2 цифры. Найдите вероятность того, что абонент наберет правильно учитывая, что эти цифры разные.
А) набор нужной цифры - это наше событие А
Абонент выбирает среди 10 цифр, так что количество элементарных исходов 10 (n). А так как нам нужна всего 1 цифра то количество благоприятствующих исходов тоже 1 (m).
P(A) = =
Б) набраны обе нужные цифры – событие B. Расстановка десяти цифр в 2 ячейки будет представлено в виде : (n - общее количество исходов). И всего 1 благоприятствующий.
P(A) =
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Классическая вероятность характеризует повседневные события и вероятность их исполнения, а также являясь введением в раздел теория вероятности, не должно вызывать трудности при освоении данной темы. Успешное познание и применение данных знаний на практике требует от учащегося умение мыслить нестандартно, проявлять креатив и иметь хорошее воображение.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Гмурман В.Е. “Теория вероятностей и математическая статистика”. Издание 4-е. 1972 год
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C#%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5