XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Вычисление объемов тел с помощью интеграла.
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I ВВЕДЕНИЕ
Объект исследования: объем тел.
Предмет исследования: вычисление объема тел с помощью интеграла.
Цель работы: рассмотреть методы и подхода для нахождения объема тел с помощью интеграла, изучить достоинства и недостатки каждого из них.
Задачи:
ознакомиться с основными понятиями и ее свойствами;
выделить основные методы для вычисления объема тел с помощью интеграла;
Методы исследования:
метод сравнительного анализа (аналитические средства для вычисления объемов тел с помощью интеграла);
анализ литературы и информационного материала;
метод классифицирования;
изучение и обобщение сведений;
Актуальность работы: Вычисление объема с помощью интеграла пространственных тел является объектом изучения в алгебраической геометрии и находят свое применение как в самой математике, так и в жизнедеятельности человека. Они часто используются в самых разнообразных исследованиях, упрощает нахождения объема нестандартных тел, находят широкое применение в программировании 3D-графики и компьютерных играх и др.
II ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Первообразная для данной функции является такая функции , производная которого равна на всей области определения . То есть:
Интеграл— характеризуется как аналог суммы бесконечного количества малых слагаемых.
Интегрирование – процесс нахождения первообразной.
Неопределенный интеграл – это совокупность всех первообразных данной функции. Задается следующим видом:
, где C – произвольная постоянная.
Определенный интеграл — это неопределенный интеграл на заданном промежутке. Общий вид:
,
где C – произвольная постоянная; a и b – границы интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница представляет собой разность первообразных границ, то есть:
, где a и b – границы интеграла.
Замечание! f(x) должна быть определена и непрерывна на отрезке [a, b].
Кратные интегралы – такое множество интегралов с n ≥ 2, где n – количество переменных в интеграле. Примером могут послужить двойные:
и тройные интегралы:
III ТЕЛА, ОБРАЗОВАННЫЕ ВРАЩЕНИЕМ ВОКРУГ ОСИ ОХ
Объемные тела, образованные при вращении фигуры или кривой вокруг оси OX являются телами вращения.
Тела, образованные вращением вокруг оси x фигуры ограничиваются:
графиком функции на интервале [a; b];
осью ОХ;
прямым ;
прямым .
Формула нахождения объема тел, образованные вращением вокруг оси OX:
[a; b] – нижний и верхний предел, где определена функция ;
Пример: Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей вокруг оси OX, ограниченных указанными линиями: ; ; .
Решение:
Для вычисления объема нам необходимо найти:
Пределы интегрирования. В данном случае, нижний предел равен 0 и верхний предел равен 4, т.е. a = 0, b = 4;
Выражаем основную функцию: ;
Подставляем значения в формулу ;
Решаем интеграл .
Ответ:
IV ТЕЛА, ОБРАЗОВАННЫЕ ВРАЩЕНИЕМ ВОКРУГ ОСИ ОY
Объемные тела, образованные при вращении фигуры или кривой вокруг оси OY являются телами вращения.
Тела, образованные вращением вокруг оси x фигуры ограничиваются:
графиком функции на интервале [a; b];
осью ОX или осью OY;
прямым ;
прямым .
Формула нахождения объема тел, образованные вращением вокруг оси OY(если тело ограничена осью абсцисс):
[a; b] – нижний и верхний предел, где определена функция ;
Формула нахождения объема тел, образованные вращением вокруг оси OY(если тело ограничена осью ординат):
[a; b] – нижний и верхний предел, где определена функция ;
Пример: Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями: ; ; .
Решение:
Для решения данного примера нам необходимо найти:
Находим пределы интегрирования. Нижний предел равен 0 и верхний предел равен , т.е. a = 0, b = ;
Проверяем ограниченность тела по абсциссе или по ординате для выбора нужной формулы;
Выражаем x из функции ;
Подставляем значения в формулу ;
Решаем интеграл .
Ответ:
V НАХОЖДЕНИЕ ОБЪЕМА ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ
Если фигура ограничена кривыми и и прямыми и , то формулы для тел вращения вокруг оси примут вид:
где 0 ≤ ≤ , а [a; b] – нижний и верхний пределы интеграла
Пример: Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox) фигуры, заключённой между параболами и .
Решение:
Искомый объем можно представить как разницу объемов тел, вращением двух криволинейных трапеций: ABCDE и ABFDE.
Находим пределы интегрирования, по графику можно заметить, что они находятся в точках B и D, т.е. точки пересечения парабол. Отсюда, и ;
Вычислим разницу объемов, полученных вращением двух парабол:
Ответ:
VI ОБЪЕМ ТЕЛА В ДЕКАРТОВОМ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Декартовая система координат – наиболее простая и удобная система координат, что является причиной широкого использования. По-другому называют еще прямоугольной системой координат. Основная сложность при нахождении объема в декартовом системе координат – это кратные интегралы, если быть точнее тройные.
Общий вид тройных интегралов записывается таким образом:
где D – область интегрирования; f(x, y ,z) – функция с тремя переменными; dxdydz – произведение дифференциалов.
Вычислить интеграл это значит найти численное значение равное объему тела в заданной области или же:
где С = const (константа).
Для простоты, dxdydz можно воспринимать как произведение длины, ширины и высоты, которая стремится бесконечно малому значению. А результатом будет являться сумма бесконечно большого количества бесконечно малых значений.
Алгоритм решения тройных интегралов:
Определить область интегрирования;
Подстановка значений в формулу: V = ;
Изобразить проекцию или само тело.
Нахождение порядка обхода;
Переход к повторным интегралам.
Вычисление объема.
IX ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Объем тел с помощью интегралов являясь неотъемлемой частью изучения алгебраической геометрии, необходимы к применению в различных сферах. Помимо их практического применения при решении различных математических примеров и задач, использовании их в программировании, они играют роль в формирование умения выделять главное, развивают логическое мышление, внимание и память.
X СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Виноградов И.М. «Интеграл. Математическая энциклопедия», 1977год
Фролов С.В., Шостак Р.Я. «Курс высшей математики», 1973год
Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике «Наука», 1969
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу «Наука», 1977год