Вычисление объемов тел с помощью интеграла.

XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Вычисление объемов тел с помощью интеграла.

Самижонов Боймирзо Нарзулло угли 1Ризаева Г.Ф. 1
1Академический лицей Международного Вестминстерского университета в Ташкенте
Хамраева Р.Р. 1
1WIUT
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

I ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования: объем тел.
Предмет исследования: вычисление объема тел с помощью интеграла.
Цель работы: рассмотреть методы и подхода для нахождения объема тел с помощью интеграла, изучить достоинства и недостатки каждого из них.
Задачи:

ознакомиться с основными понятиями и ее свойствами;

выделить основные методы для вычисления объема тел с помощью интеграла;

Методы исследования:

метод сравнительного анализа (аналитические средства для вычисления объемов тел с помощью интеграла);

анализ литературы и информационного материала;

метод классифицирования;

изучение и обобщение сведений;

Актуальность работы: Вычисление объема с помощью интеграла пространственных тел является объектом изучения в алгебраической геометрии и находят свое применение как в самой математике, так и в жизнедеятельности человека. Они часто используются в самых разнообразных исследованиях, упрощает нахождения объема нестандартных тел, находят широкое применение в программировании 3D-графики и компьютерных играх и др.

II ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Первообразная для данной функции является такая функции , производная которого равна на всей области определения . То есть:

Интеграл— характеризуется как аналог суммы бесконечного количества малых слагаемых.

Интегрирование – процесс нахождения первообразной.

Неопределенный интеграл – это совокупность всех первообразных данной функции. Задается следующим видом:

, где C – произвольная постоянная.

Определенный интеграл — это неопределенный интеграл на заданном промежутке. Общий вид:

,

где C – произвольная постоянная; a и b – границы интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница представляет собой разность первообразных границ, то есть:

, где a и b – границы интеграла.

Замечание! f(x) должна быть определена и непрерывна на отрезке [a, b].

Кратные интегралы – такое множество интегралов с n ≥ 2, где n – количество переменных в интеграле. Примером могут послужить двойные:

и тройные интегралы:

III ТЕЛА, ОБРАЗОВАННЫЕ ВРАЩЕНИЕМ ВОКРУГ ОСИ ОХ

Объемные тела, образованные при вращении фигуры или кривой вокруг оси OX являются телами вращения.

Тела, образованные вращением вокруг оси x фигуры ограничиваются:

графиком функции на интервале [a; b];

осью ОХ;

прямым ;

прямым .

Формула нахождения объема тел, образованные вращением вокруг оси OX:

[a; b] – нижний и верхний предел, где определена функция ;

Пример: Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей вокруг оси OX, ограниченных указанными линиями: ; ; .

Решение:

Для вычисления объема нам необходимо найти:

Пределы интегрирования. В данном случае, нижний предел равен 0 и верхний предел равен 4, т.е. a = 0, b = 4;

Выражаем основную функцию: ;

Подставляем значения в формулу ;

Решаем интеграл .

Ответ:

IV ТЕЛА, ОБРАЗОВАННЫЕ ВРАЩЕНИЕМ ВОКРУГ ОСИ ОY

Объемные тела, образованные при вращении фигуры или кривой вокруг оси OY являются телами вращения.

Тела, образованные вращением вокруг оси x фигуры ограничиваются:

графиком функции на интервале [a; b];

осью ОX или осью OY;

прямым ;

прямым .

Формула нахождения объема тел, образованные вращением вокруг оси OY(если тело ограничена осью абсцисс):

[a; b] – нижний и верхний предел, где определена функция ;

Формула нахождения объема тел, образованные вращением вокруг оси OY(если тело ограничена осью ординат):

[a; b] – нижний и верхний предел, где определена функция ;

Пример: Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями: ; ; .

Решение:

Для решения данного примера нам необходимо найти:

Находим пределы интегрирования. Нижний предел равен 0 и верхний предел равен , т.е. a = 0, b = ;

Проверяем ограниченность тела по абсциссе или по ординате для выбора нужной формулы;

Выражаем x из функции ;

Подставляем значения в формулу ;

Решаем интеграл .

Ответ:

V НАХОЖДЕНИЕ ОБЪЕМА ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ

Если фигура ограничена кривыми и и прямыми и , то формулы для тел вращения вокруг оси примут вид:

где 0 ≤ ≤ , а [a; b] – нижний и верхний пределы интеграла

Пример: Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox) фигуры, заключённой между параболами и .

Решение:

Искомый объем можно представить как разницу объемов тел, вращением двух криволинейных трапеций: ABCDE и ABFDE.

Находим пределы интегрирования, по графику можно заметить, что они находятся в точках B и D, т.е. точки пересечения парабол. Отсюда, и ;

Вычислим разницу объемов, полученных вращением двух парабол:

Ответ:

VI ОБЪЕМ ТЕЛА В ДЕКАРТОВОМ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Декартовая система координат – наиболее простая и удобная система координат, что является причиной широкого использования. По-другому называют еще прямоугольной системой координат. Основная сложность при нахождении объема в декартовом системе координат – это кратные интегралы, если быть точнее тройные.

Общий вид тройных интегралов записывается таким образом:

где D – область интегрирования; f(x, y ,z) – функция с тремя переменными; dxdydz – произведение дифференциалов.

Вычислить интеграл это значит найти численное значение равное объему тела в заданной области или же:

где С = const (константа).

Для простоты, dxdydz можно воспринимать как произведение длины, ширины и высоты, которая стремится бесконечно малому значению. А результатом будет являться сумма бесконечно большого количества бесконечно малых значений.

Алгоритм решения тройных интегралов:

Определить область интегрирования;

Подстановка значений в формулу: V = ;

Изобразить проекцию или само тело.

Нахождение порядка обхода;

Переход к повторным интегралам.

Вычисление объема.

IX ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Объем тел с помощью интегралов являясь неотъемлемой частью изучения алгебраической геометрии, необходимы к применению в различных сферах. Помимо их практического применения при решении различных математических примеров и задач, использовании их в программировании, они играют роль в формирование умения выделять главное, развивают логическое мышление, внимание и память.

X СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Виноградов И.М. «Интеграл. Математическая энциклопедия», 1977год

Фролов С.В., Шостак Р.Я. «Курс высшей математики», 1973год

Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике «Наука», 1969

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу «Наука», 1977год

Просмотров работы: 44